3 Systeme linearer Gleichungen und wie man sie löst

Die lineare Gleichungen sie sind Polynomgleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten. In diesem Fall werden die Unbekannten nicht zu Potenzen erhoben, noch werden sie untereinander multipliziert (in diesem Fall wird gesagt, dass die Gleichung vom Grad 1 oder vom ersten Grad ist).

Eine Gleichung ist eine mathematische Gleichung, bei der es ein oder mehrere unbekannte Elemente gibt, die wir Unbekannte oder Unbekannte nennen, falls es mehr als eins gibt. Um diese Gleichung zu lösen, ist es notwendig, den Wert der Unbekannten herauszufinden.

Eine lineare Gleichung hat folgende Struktur:

a₀· 1 + a₁· X₁+ a₂· X₂+ ... + a_n· X_n= b

Wohin?₀, a₁, a₂, ..., a_n sind reelle Zahlen, von denen wir ihren Wert kennen und die wir Koeffizienten nennen, b ist auch eine bekannte reelle Zahl, die als unabhängiger Ausdruck bezeichnet wird. Und schließlich sind sie X₁, X_2,..., X_n Das sind sogenannte Unbekannte. Dies sind die Variablen, deren Wert unbekannt ist.

Ein System linearer Gleichungen ist ein Satz linearer Gleichungen, bei denen der Wert der Unbekannten in jeder Gleichung gleich ist.

Logischerweise besteht die Lösung eines linearen Gleichungssystems darin, den Unbekannten Werte zuzuweisen, so dass die Gleichheit verifiziert werden kann. Das heißt, die Unbekannten müssen so berechnet werden, dass alle Gleichungen im System gleichzeitig erfüllt sind. Wir repräsentieren ein lineares Gleichungssystem wie folgt

a₀· 1 + a₁· X₁ + a₂· X₂ + ... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ + ... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ + ... + c_n· X_n = c_{n + 1}

… .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ + ... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 wo a_0, a₁, ..., a_n, b₀, b₁, ..., b_n , c₀ , c₁, ..., c_n etc uns reelle Zahlen und die Unbekannten zu lösen sind X₀, ..., X_n , X_{n + 1}.

Jede lineare Gleichung stellt eine Linie dar und daher repräsentiert ein System von Gleichungen von N linearen Gleichungen N Linien, die im Raum gezeichnet sind.

Abhängig von der Anzahl der Unbekannten, die jede lineare Gleichung aufweist, wird die Linie, die die Gleichung darstellt, in einer anderen Dimension dargestellt, das heißt eine Gleichung mit zwei Unbekannten (zum Beispiel 2 · X₁ + X₂ = 0) repräsentiert eine Linie in einem zweidimensionalen Raum, eine Gleichung mit drei Unbekannten (zum Beispiel 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) wäre in einem dreidimensionalen Raum dargestellt und so weiter.

Beim Lösen eines Gleichungssystems werden die Werte von X₀, ..., X_n , X_{n + 1} Sie sind zufällig die Schnittpunkte zwischen den Linien.

Durch die Lösung eines Gleichungssystems können wir zu verschiedenen Schlussfolgerungen kommen. Abhängig von der Art des Ergebnisses, das wir erhalten, können wir zwischen 3 Arten von linearen Gleichungssystemen unterscheiden:

1- Unbestimmte Kompatibilität

Obwohl es wie ein Witz scheint, ist es möglich, dass wir beim Versuch, das Gleichungssystem zu lösen, zu einem Stil 0 = 0 kommen.

Diese Art von Situation tritt auf, wenn es unendliche Lösungen für das Gleichungssystem gibt, und dies geschieht, wenn sich herausstellt, dass in unserem Gleichungssystem die Gleichungen die gleiche Linie darstellen. Wir können es grafisch sehen:

Als ein System von Gleichungen nehmen wir:

Indem wir 2 Gleichungen mit 2 zu lösenden Unbekannten haben, können wir die Linien in einer zweidimensionalen Ebene darstellen

Wie wir die Linien mit ihm sehen können, stimmen daher alle Punkte der ersten Gleichung mit denen der zweiten Gleichung überein, daher hat es so viele Schnittpunkte wie Punkte, also Unendlichkeiten.

2- Inkompatibel

Wenn wir den Namen lesen, können wir uns vorstellen, dass unser nächstes Gleichungssystem keine Lösung haben wird.

Wenn wir versuchen, beispielsweise dieses Gleichungssystem zu lösen

Grafisch wäre es:

Wenn wir alle Terme der zweiten Gleichung multiplizieren, erhalten wir, dass X + Y = 1 gleich 2 · X + 2 · Y = 2 ist. Und wenn dieser letzte Ausdruck von der ersten Gleichung subtrahiert wird, erhalten wir

2 · X-2 · X + 2 · Y-2 · Y = 3-2

Oder was ist das Gleiche?

0 = 1

Wenn wir in dieser Situation sind, bedeutet dies, dass die Linien, die im Gleichungssystem dargestellt werden, parallel sind, was bedeutet, dass sie per Definition nie geschnitten werden und es keinen Schnittpunkt gibt. Wenn ein System auf diese Weise dargestellt wird, wird es als inkonsistent unabhängig bezeichnet.

3- Entschlossene Unterstützung

Schließlich kommen wir zu dem Fall, in dem unser Gleichungssystem eine einzige Lösung hat, den Fall, in dem wir Linien haben, die sich schneiden und einen Schnittpunkt erzeugen. Lass uns ein Beispiel sehen:

Um es zu lösen, können wir die zwei Gleichungen hinzufügen, so dass wir erhalten

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Wenn wir es vereinfachen, sind wir gegangen

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Daraus können wir leicht ableiten, dass X = 2 und Substitution oder X = 2 in irgendeiner der ursprünglichen Gleichungen erhalten wir Y = 3.

Visuell wäre es:

Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen

Wie wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben, können wir für Systeme mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen, basierend auf einfachen Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Substitution, diese in wenigen Minuten lösen.Aber wenn wir versuchen, diese Methode auf Systeme mit mehr Gleichungen und mehr Unbekannten anzuwenden, werden die Berechnungen mühsam und wir können leicht Fehler machen.

Um die Berechnungen zu vereinfachen, gibt es mehrere Methoden der Auflösung, aber zweifellos die am weitesten verbreiteten Methoden sind die Cramer-Regel und die Gauss-Jordan Elimination.

Cramer-Methode

Um zu erklären, wie diese Methode angewendet wird, ist es wichtig zu wissen, was ihre Matrix ist und wissen, wie man ihre Determinante findet. Lassen Sie uns eine Klammer machen, um diese beiden Konzepte definieren zu können.

Eins Matrix es ist nichts anderes als eine Reihe von Zahlen oder algebraischen Symbolen, die in horizontalen und vertikalen Linien angeordnet und in Form eines Rechtecks ​​angeordnet sind. Für unser Thema verwenden wir die Matrix als eine vereinfachte Art, unser Gleichungssystem auszudrücken.

Lass uns ein Beispiel sehen:

Es wird das System der linearen Gleichungen sein

Dieses einfache System von Gleichungen, das wir zusammenfassen können, ist die Operation von zwei 2 × 2-Matrizen, die zu einer 2 × 1-Matrix führt.

Die erste Matrix entspricht allen Koeffizienten, die zweite Matrix ist die zu lösende Unbekannte und die nach der Gleichheit liegende Matrix wird mit den unabhängigen Termen der Gleichungen identifiziert

Die Determinante ist eine Operation, die auf eine Matrix angewendet wird, deren Ergebnis eine reelle Zahl ist.

Im Fall der Matrix, die wir in unserem vorherigen Beispiel gefunden haben, wäre ihre Determinante:

Sobald die Begriffe Matrix und Determinante definiert sind, können wir erklären, woraus die Cramer-Methode besteht.

Durch dieses Verfahren können wir ein lineares Gleichungssystem leicht lösen, solange das System die drei Gleichungen mit drei Unbekannten nicht überschreitet, da die Berechnung der Determinanten einer Matrix für Matrizen von 4 × 4 oder höher sehr schwierig ist. Im Fall eines Systems mit mehr als drei linearen Gleichungen wird die Gauss-Jordan-Eliminierungsmethode empfohlen.

Um mit dem vorherigen Beispiel fortzufahren, müssen wir mit Cramer einfach zwei Determinanten berechnen und damit den Wert unserer beiden Unbekannten finden.

Wir haben unser System:

Und wir haben ein System, das durch Matrizen repräsentiert wird:

Der Wert von X wird gefunden:

Einfach in der Berechnung der Determinante, die im Nenner der Division liegt, haben wir die erste Kommune für die Matrix der unabhängigen Terme ersetzt. Und im Nenner der Division haben wir die Determinante unserer ursprünglichen Matrix.

Führen Sie die gleichen Berechnungen durch, um das Y zu finden, das wir erhalten:

Eliminierung von Gauss-Jordan

Wir definieren erweiterte Matrix zu der Matrix, die aus einem Gleichungssystem resultiert, in dem wir die unabhängigen Terme am Ende der Matrix hinzufügen.

Wenn wir mit unserem Beispiel fortfahren

Unsere erweiterte Matrix wäre:

Die Methode durch Eliminierung von Gauß-Jordan besteht darin, durch Operationen zwischen Zeilen der Matrix unsere erweiterte Matrix in eine viel einfachere Matrix zu transformieren, in der ich in allen Feldern Nullen habe, mit Ausnahme der Diagonalen, wo ich einige erhalten muss. Wie folgt:

Wobei X und Y reelle Zahlen wären, die unseren Unbekannten entsprechen.

Lassen Sie uns dieses System lösen, indem wir Gauss-Jordan eliminieren:

Multiplizieren Sie die erste Zeile mit 2 und die zweite Zeile mit 3

Wenn wir die erste Zeile von der ersten Zeile subtrahieren, erhalten wir

Wir haben es bereits geschafft, eine Null im unteren linken Teil unserer Matrix zu erhalten, der nächste Schritt ist, eine 0 in den oberen rechten Teil davon zu bekommen.

Ich habe die erste Reihe zwischen 2 und die zweite Reihe zwischen 10 geteilt, um die Zahlen zu vereinfachen multipliziert die zweite Zeile mit 2

Ich schließe mich der zweiten Reihe an

Wir haben eine 0 in der oberen linken Ecke der Matrix erreicht, jetzt müssen wir nur noch die Diagonale in Einsen umwandeln und wir haben unser System bereits durch Gauß-Jordan gelöst.

Ich teilte die erste Reihe mit 3 und die zweite mit 4

Daher kommen wir zu dem Schluss, dass:

Referenzen

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Lineare Gleichungssysteme (ohne Datum). Wiederhergestellt von uco.es.
4. Systeme linearer Gleichungen. Kapitel 7. (undatiert). Von sauce.pntic.mec.es abgerufen.
5. Lineare Algebra und Geometrie (2010/2011). Systeme linearer Gleichungen. Kapitel 1. Abteilung für Algebra. Universität von Sevilla. Spanien Wiederhergestellt von algebra.us.es.