Historischer Hintergrund der analytischen Geometrie

Die Historischer Hintergrund der analytischen Geometrie Sie gehen zurück bis ins 17. Jahrhundert, als Pierre de Fermat und René Descartes ihre Grundidee definierten. Seine Erfindung folgte der Modernisierung der Algebra und der algebraischen Notation von François Viète.

Dieses Feld hat seine Grundlagen im antiken Griechenland, besonders in den Werken von Apollonius und Euklid, die auf diesem Gebiet der Mathematik einen großen Einfluss hatten.

Die grundlegende Idee hinter der analytischen Geometrie ist, dass eine Beziehung zwischen zwei Variablen, so dass eine eine Funktion der anderen ist, eine Kurve definiert.

Diese Idee wurde zum ersten Mal von Pierre de Fermat entwickelt. Dank dieses essentiellen Rahmens konnten Isaac Newton und Gottfried Leibniz die Berechnung entwickeln.

Auch der französische Philosoph Descartes entdeckte offenbar eine algebraische Annäherung an die Geometrie. Descartes 'Arbeit über Geometrie erscheint in seinem berühmten Buch Sprache der Methode.

In diesem Buch wird darauf hingewiesen, dass der Kompass und die geometrischen Konstruktionen von geraden Kanten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Quadratwurzeln beinhalten.

Analytische Geometrie stellt die Vereinigung von zwei wichtigen Traditionen in der Mathematik dar: Geometrie als das Studium der Form, und Arithmetik und Algebra, die mit Quantität oder Zahlen zu tun haben. Daher ist die analytische Geometrie das Studium des Geometriefeldes mit Koordinatensystemen.

Geschichte

Vorläufer der analytischen Geometrie

Die Beziehung zwischen Geometrie und Algebra hat sich in der gesamten Geschichte der Mathematik entwickelt, obwohl die Geometrie früher einen Reifegrad erreicht hat.

Zum Beispiel konnte der griechische Mathematiker Euclid viele Ergebnisse in seinem klassischen Buch organisieren Die Elemente.

Aber es war der antike Grieche Apollonius von Perga, der die Entwicklung der analytischen Geometrie in seinem Buch voraussagte Kegelschnitt. Er definierte einen Kegelschnitt als Schnittpunkt zwischen einem Kegel und einer Ebene.

Unter Verwendung der Ergebnisse von Euklid in ähnlicher Dreiecke und Kreistrocknung fand er eine Beziehung, die durch die Abstände von irgendeinem Punkt "P" eines Kegelschnitts zu zwei senkrechten Linien, der Hauptachse eines Kegelschnitts und der Tangente an einem Endpunkt der Achse gegeben ist. Apollonius benutzte diese Beziehung, um grundlegende Eigenschaften der Kegelschnitte abzuleiten.

Die nachfolgende Entwicklung von Koordinatensystemen in der Mathematik entstand erst nachdem die Algebra dank islamischer und indischer Mathematiker gereift war.

Bis zur Renaissance wurde Geometrie verwendet, um Lösungen für algebraische Probleme zu rechtfertigen, aber es gab nicht viel, was Algebra zur Geometrie beitragen konnte.

Diese Situation änderte sich mit der Einführung einer geeigneten Notation für algebraische Beziehungen und der Entwicklung des Konzepts einer mathematischen Funktion, die jetzt möglich war.

XVI Jahrhundert

Am Ende des 16. Jahrhunderts führte der französische Mathematiker François Viète die erste systematische algebraische Notation ein, wobei Buchstaben verwendet wurden, um sowohl bekannte als auch unbekannte numerische Größen darzustellen.

Er entwickelte auch leistungsfähige allgemeine Methoden zum Arbeiten algebraischer Ausdrücke und zum Lösen algebraischer Gleichungen.

Dadurch waren die Mathematiker nicht vollständig von geometrischen Figuren und geometrischer Intuition abhängig, um Probleme zu lösen.

Sogar einige Mathematiker begannen, die geometrische Standard-Denkweise aufzugeben, nach der die linearen Variablen der Längen und Quadrate Flächen entsprechen, während die Kubik den Volumina entsprechen.

Die ersten, die diesen Schritt taten, waren der Philosoph und Mathematiker René Descartes und der Jurist und Mathematiker Pierre de Fermat.

Grundlage der analytischen Geometrie

Descartes und Fermat gründeten in den 1630er Jahren unabhängig voneinander analytische Geometrie und übernahmen Viètes Algebra für das Studium des Ortes.

Diese Mathematiker erkannten, dass die Algebra ein Werkzeug von großer Macht in der Geometrie war und erfanden, was heute als analytische Geometrie bekannt ist.

Ein Fortschritt, den sie machten, war, Viète zu überwinden, indem Buchstaben verwendet wurden, um Abstände darzustellen, die variabel statt fest sind.

Descartes verwendete Gleichungen, um die geometrisch definierten Kurven zu untersuchen, und hob die Notwendigkeit hervor, die allgemeinen algebraisch-graphischen Kurven von Polynomgleichungen in den "x" und "y" Graden zu berücksichtigen.

Fermat betonte, dass jede Beziehung zwischen den Koordinaten "x" und "und" eine Kurve bestimmt.

Mit diesen Ideen strukturierte er Apollonius 'Aussagen über algebraische Ausdrücke um und stellte einige seiner verlorenen Werke wieder her.

Fermat zeigte an, dass jede quadratische Gleichung in "x" und "y" in die Standardform eines der Kegelschnitte gesetzt werden kann. Trotzdem veröffentlichte Fermat nie seine Arbeit zu diesem Thema.

Dank seiner Fortschritte, die Archimedes nur mit großen Schwierigkeiten und in Einzelfällen lösen konnte, konnten Fermat und Descartes es schnell und für eine große Anzahl von Kurven (heute algebraische Kurven genannt) lösen.

Aber seine Ideen wurden erst durch die Bemühungen anderer Mathematiker in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts allgemein akzeptiert.

Die Mathematiker Frans van Schooten, Florimond de Beaune und Johan de Witt haben die Arbeit von Decartes erweitert und wichtige zusätzliche Materialien hinzugefügt.

Einfluss

In England popularisierte John Wallis die analytische Geometrie. Er verwendete Gleichungen, um die Kegelschnitte zu definieren und ihre Eigenschaften abzuleiten. Obwohl er negative Koordinaten frei verwendete, war es Isaac Newton, der zwei schräge Achsen benutzte, um die Ebene in vier Quadranten zu unterteilen.

Newton und der Deutsche Gottfried Leibniz revolutionierten Ende des 17. Jahrhunderts die Mathematik, indem sie die Rechenleistung selbständig demonstrierten.

Newton demonstrierte die Bedeutung analytischer Methoden für die Geometrie und ihre Rolle in der Berechnung, als er behauptete, dass jeder Würfel (oder jede algebraische Kurve dritten Grades) drei oder vier Standardgleichungen für Achsen geeigneter Koordinaten hat. Mit Hilfe von Newton selbst testete der schottische Mathematiker John Stirling es 1717.

Analytische Geometrie von drei und mehr Dimensionen

Obwohl sowohl Descartes als auch Fermat vorschlugen, drei Koordinaten zu verwenden, um Kurven und Oberflächen im Raum zu untersuchen, entwickelte sich die dreidimensionale analytische Geometrie langsam bis 1730.

Die Mathematiker Euler, Hermann und Clairaut erzeugten allgemeine Gleichungen für Zylinder, Kegel und Rotationsflächen.

Zum Beispiel verwendete Euler Gleichungen für Translationen im Raum, um die allgemeine quadratische Fläche zu transformieren, so dass ihre Hauptachsen mit ihren Koordinatenachsen zusammenfielen.

Euler, Joseph-Louis Lagrange und Gaspard Monge haben die analytische Geometrie unabhängig von der synthetischen (nicht-analytischen) Geometrie gemacht.

Referenzen

1. Die Entwicklung der analytischen Geometrie (2001). Wiederhergestellt von Enzyklopädie.com
2. Geschichte der analytischen Geometrie (2015). Wiederhergestellt von maa.org
3. Analyse (Mathematik). Wiederhergestellt von britannica.com
4. Analytische Geometrie. Wiederhergestellt von britannica.com
5. Descartes und die Geburt der analytischen Geometrie. Von sciencedirect.com wiederhergestellt