Klassifizierung von reellen Zahlen

Die Hauptsache Klassifizierung von reellen Zahlen Es ist unterteilt in natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen und irrationale Zahlen. Die reellen Zahlen sind mit dem Buchstaben R dargestellt.

Reelle Zahlen beziehen sich auf die Kombination von Gruppen von rationalen und irrationalen Zahlen. Um diese Gruppen zu bilden, benötigen Sie natürliche Zahlen und ganze Zahlen.

Es gibt viele Möglichkeiten, in denen die verschiedenen reellen Zahlen konstruiert werden können oder beschrieben, die von einem einfacheren Formen zu komplexeren, abhängig von der mathematischen Arbeit, die Sie durchführen möchten.

Wie werden reelle Zahlen klassifiziert?

Natürliche Zahlen

Sie sind die Zahlen, die zum Zählen verwendet werden, wie zum Beispiel "es gibt vier Blumen im Glas".

Einige Definitionen der natürlichen Zahlen bei 0 beginnen, während andere Definitionen auf 1. Natürliche Zahlen beginnen, werden sagen diejenigen verwendet: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ... etc; Sie werden als Ordinal- oder Kardinalzahlen verwendet.

Natürliche Zahlen sind die Basen, mit denen viele andere Mengen von Zahlen durch Erweiterung konstruiert werden können: ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen unter anderen.

Diese Verlängerungsketten bilden die natürlichen Zahlen, die in den anderen Zahlensystemen kanonisch identifiziert sind.

Die Eigenschaften der natürlichen Zahlen, wie Teilbarkeit und die Verteilung der Primärzahlen, werden in der Zahlentheorie untersucht.

Die Probleme beim Zählen und Ordnen, wie Aufzählungen und Partitionierung, werden in der Kombinatorik untersucht.

In der allgemeinen Sprache, wie in der Grundschule, können natürliche Zahlen als zählbare Zahlen bezeichnet werden, um negative ganze Zahlen und Null auszuschließen.

Sie haben mehrere Eigenschaften, wie Addition, Multiplikation, Subtraktion, Division usw.

Ganze Zahlen

Ganze Zahlen sind solche Zahlen, die ohne eine gebrochene Komponente geschrieben werden können. Zum Beispiel: 21, 4, 0, -76 usw. Auf der anderen Seite sind Zahlen wie 8.58 oder √2 keine ganzen Zahlen.

Man kann sagen, dass ganze Zahlen vollständige Zahlen zusammen mit negativen Zahlen natürlicher Zahlen sind. Sie werden verwendet, um Geld, das geschuldet ist, Tiefe relativ zum Meeresspiegel oder Temperatur unter Null auszudrücken, um ein paar Verwendungen zu nennen.

Eine Reihe von ganzen Zahlen, bestehend aus null (0), die positiven natürlichen Zahlen (1,2,3 ...) und negative ganzen Zahlen (-1, -2, -3 ...). Im Allgemeinen wird dies mit einem ZZ oder mit einem fettgedruckten Z (Z) bezeichnet.

Z ist eine Teilmenge der Gruppe der rationalen Zahlen Q, die wiederum die Gruppe der reellen Zahlen R bilden. Wie natürliche Zahlen ist Z eine unendliche Abrechnungsgruppe.

Ganze Zahlen bilden die kleinste Gruppe und die kleinste Menge natürlicher Zahlen. In der Theorie der algebraischen Zahlen werden ganze Zahlen manchmal irrationale ganze Zahlen genannt, um sie von algebraischen ganzen Zahlen zu unterscheiden.

Rationale Zahlen

Eine rationale Zahl ist eine beliebige Zahl, die als Komponente oder Bruchteil von zwei ganzen Zahlen p / q, einem Zähler p und einem Nenner q ausgedrückt werden kann. Da q gleich 1 sein kann, ist jede ganze Zahl eine rationale Zahl.

Die Menge der rationalen Zahlen, die oft als "die Rationale" bezeichnet werden, wird durch ein Q bezeichnet.

Die Dezimal-Erweiterung einer rationalen Zahl endet immer nach einer endlichen Anzahl von Ziffern oder wenn dieselbe endliche Folge von Ziffern immer wieder wiederholt wird.

Darüber hinaus stellt jede wiederholte oder terminale Dezimalzahl eine rationale Zahl dar. Diese Aussagen gelten nicht nur für die Basis 10, sondern auch für jede andere Ganzzahlbasis.

Eine reelle Zahl, die nicht rational ist, wird irrational genannt. Irrationale Zahlen umfassen zum Beispiel √2, a π und e. Da racionables ganze Reihe von Zahlen abzählbar ist, und, dass die Gruppe der reellen Zahlen unzählbar ist, können wir sagen, dass fast alle reellen Zahlen irrational sind.

Rationale Zahlen können formal als Äquivalenzklassen von Paaren von ganzen Zahlen (p, q), so dass q ≠ 0 oder dem Äquivalenzverhältnis, definiert durch (p1, q1) (P2, Q2) definiert werden, nur, wenn p1, q2 = p2q1.

Rationale Zahlen bilden zusammen mit Addition und Multiplikation Felder, die ganze Zahlen bilden und in jedem Zweig enthalten sind, der Ganzzahlen enthält.

Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind; Irrationale Zahlen können nicht als Brüche ausgedrückt werden. Die rationalen Zahlen sind die Zahlen, die aus Brüchen ganzer Zahlen bestehen.

Als Ergebnis des Tests Cantor sagen, dass alle reellen Zahlen unzählbar und rational sind, wenn sie zählbar sind, kann geschlossen werden, dass fast alle reellen Zahlen irrational sind.

Wenn der Längenradius von zwei Liniensegmenten eine irrationale Zahl ist, kann gesagt werden, dass diese Liniensegmente inkommensurabel sind; was bedeutet, dass es keine ausreichende Länge gibt, so dass jede von ihnen mit einer bestimmten Vielfachen davon "gemessen" werden könnte.

Unter den irrationalen Zahlen sind der Radius π eines Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser, die Zahl von Euler (e), die goldene Zahl (φ) und die Quadratwurzel von zwei; noch mehr sind alle Quadratwurzeln der natürlichen Zahlen irrational. Die einzige Ausnahme von dieser Regel sind die perfekten Quadrate.

Es kann beobachtet werden, dass, wenn irrationale Zahlen positionell in einem Zahlensystem ausgedrückt werden (wie zum Beispiel in Dezimalzahlen), sie nicht enden oder wiederholt werden.

Dies bedeutet, dass sie keine Ziffernfolge enthalten, die Wiederholung, mit der eine Darstellungslinie erstellt wird.

Zum Beispiel: Die dezimale Darstellung der Zahl π beginnt mit 3.14159265358979, aber es gibt keine endliche Anzahl von Ziffern, die genau π darstellen können, noch können sie wiederholt werden.

Der Beweis, dass die Dezimal-Erweiterung einer rationalen Zahl enden oder wiederholt werden muss, unterscheidet sich von dem Beweis, dass eine Dezimal-Erweiterung eine rationale Zahl sein muss; Obwohl grundlegend und etwas lang, benötigen diese Tests etwas Arbeit.

Normalerweise nehmen Mathematiker im Allgemeinen nicht den Begriff "endend oder wiederholend", um das Konzept einer rationalen Zahl zu definieren.

Irrationale Zahlen können auch über nicht-kontinuierliche Fraktionen behandelt werden.

Referenzen

1. Klassifizierung reeller Zahlen. Von chilimath.com abgerufen.
2. Natürliche Zahl Von wikipedia.org abgerufen.
3. Klassifizierung von Zahlen. Wiederhergestellt von ditutor.com.
4. Von wikipedia.org abgerufen.
5. Irrationale Zahl Von wikipedia.org abgerufen.