Wie berechnet man die Seiten und Winkel eines Dreiecks?

Es gibt verschiedene Möglichkeiten Berechnen Sie die Seiten und Winkel eines Dreiecks. Diese hängen vom Typ des Dreiecks ab, mit dem Sie arbeiten.

In dieser Gelegenheit werden wir zeigen, wie man die Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet, unter der Annahme, dass bestimmte Dreiecksdaten mit bekannten.

Die Elemente, die verwendet werden, sind:

- Der Satz des Pythagoras

Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit den Schenkeln "a", "b" und Hypotenuse "c" gilt "c² = a² + b²".

- Fläche eines Dreiecks

Die Formel für die Berechnung der Fläche eines Dreiecks ist A = (b × h) / 2, wobei "b" die Länge der Basis und "h" die Länge der Höhe ist.

- Winkel eines Dreiecks

Die Summe der drei inneren Winkel eines Dreiecks beträgt 180º.

- Die trigonometrischen Funktionen:

Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck. Dann sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels beta (β) wie folgt definiert:

sin (& bgr;) = CO / Hüfte, cos (& bgr;) = CA / Hüfte und tan (& bgr;) = CO / CA.

Wie berechnet man die Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks?

Bei einem rechtwinkligen Dreieck ABC können folgende Situationen auftreten:

1- Beide Beine sind bekannt

Wenn der Kathete "a" 3 cm und der Kathete "b" 4 cm misst, wird der Satz von Pythagoras verwendet, um den Wert von "c" zu berechnen. Wenn wir die Werte von "a" und "b" ersetzen, erhalten wir, dass c² = 25 cm², was bedeutet, dass c = 5 cm ist.

Wenn nun der Winkel β dem Katheten "b" entgegengesetzt ist, dann ist sin (β) = 4/5. Wenn wir die umgekehrte Sinusfunktion anwenden, erhalten wir in dieser letzten Gleichung β = 53,13º. Zwei innere Winkel des Dreiecks sind bereits bekannt.

Sei θ der zu erkennende Winkel, dann 90º + 53,13º + θ = 180º, woraus sich θ = 36,87º ergibt.

In diesem Fall ist es nicht notwendig, dass die bekannten Seiten die zwei Beine sind, wichtig ist es, den Wert von irgendwelchen zwei Seiten zu kennen.

2- Ein Kathetus und das Gebiet ist bekannt

A = 3 cm das bekannte Bein und A = 9 cm² die Fläche des Dreiecks.

In einem rechtwinkligen Dreieck kann ein Bein als eine Basis und das andere als Höhe betrachtet werden (da sie senkrecht sind).

Angenommen, "a" ist die Basis, also 9 = (3 × h) / 2, woraus sich ergibt, dass die andere Kathete 6 cm misst. Um die Hypotenuse zu berechnen, gehen wir wie im vorherigen Fall vor und erhalten, dass c = √45 cm.

Wenn nun der Winkel β dem Bein "a" gegenüberliegt, dann ist sin (β) = 3 / √45. Wenn man β löscht, erhält man einen Wert von 26,57º. Es bleibt nur noch der Wert des dritten Winkels θ.

Es ist zufriedengestellt, dass 90º + 26,57º + θ = 180º sind, woraus geschlossen wird, daß θ = 63,43º ist.

3- Ein Winkel und ein Bein sind bekannt

Sei β = 45 ° der bekannte Winkel und a = 3 cm der bekannte Schenkel, wobei der Schenkel "a" dem Winkel β entgegengesetzt ist. Mit der Formel der Tangente erhalten wir tg (45º) = 3 / CA, woraus sich ergibt, daß CA = 3 cm ist.

Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir, dass c² = 18 cm², also c = 3√2 cm.

Es ist bekannt, dass ein Winkel 90 ° misst und dass β 45 ° misst, woraus geschlossen wird, dass der dritte Winkel 45 ° beträgt.

In diesem Fall muss die bekannte Seite kein Bein sein, es kann eine der drei Seiten des Dreiecks sein.

Referenzen

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