Polynomgleichungen (mit aufgelösten Übungen)



Die Polynomgleichungen sind eine Aussage, die die Gleichheit zweier Ausdrücke oder Glieder erhöht, wobei mindestens einer der Ausdrücke, die jede Seite der Gleichheit bilden, Polynome P (x) sind. Diese Gleichungen werden nach dem Grad ihrer Variablen benannt.

Im Allgemeinen ist eine Gleichung eine Aussage, die die Gleichheit zweier Ausdrücke festlegt, wobei es in mindestens einer dieser Variablen unbekannte Größen gibt, die als Variablen oder Unbekannte bezeichnet werden. Obwohl es viele Arten von Gleichungen gibt, werden sie im Allgemeinen in zwei Arten klassifiziert: algebraisch und transzendental.

Polynomgleichungen enthalten nur algebraische Ausdrücke, an denen eine oder mehrere Unbekannte beteiligt sein können. Je nach Exponent (Grad) können sie eingeteilt werden in: erster Grad (linear), zweiter Grad (quadratisch), dritter Grad (kubisch), vierter Grad (Quart), größer oder gleich fünf und irrational.

Index

  • 1 Eigenschaften
  • 2 Arten
    • 2.1 Erste Klasse
    • 2.2 Zweiter Grad
    • 2.3 Resolvens
    • 2.4 Höhere Note
  • 3 Übungen gelöst
    • 3.1 Erste Übung
    • 3.2 Zweite Übung
  • 4 Referenzen

Eigenschaften

Polynomgleichungen sind Ausdrücke, die durch eine Gleichheit zwischen zwei Polynomen gebildet werden; das heißt, durch die endlichen Summen von Multiplikationen zwischen Werten, die unbekannt sind (Variablen) und festen Zahlen (Koeffizienten), wobei die Variablen Exponenten haben können, und ihr Wert kann eine positive ganze Zahl sein, einschließlich Null.

Die Exponenten bestimmen den Grad oder die Art der Gleichung. Der Ausdruck, der den höchsten Exponenten hat, repräsentiert den absoluten Grad des Polynoms.

Polynomgleichungen werden auch als algebraisch bezeichnet, ihre Koeffizienten können reelle oder komplexe Zahlen sein, und Variablen sind unbekannte Zahlen, die durch einen Buchstaben wie "x" dargestellt werden.

Wenn ein Wert durch die Variable "x" in P (x) ersetzt wird, ist das Ergebnis gleich Null (0), dann heißt es, dass dieser Wert die Gleichung erfüllt (es ist eine Lösung) und wird im Allgemeinen Wurzel des Polynoms genannt.

Wenn eine Polynomgleichung entwickelt wird, wollen wir alle Wurzeln oder Lösungen finden.

Typen

Es gibt verschiedene Arten von Polynomgleichungen, die sich nach der Anzahl der Variablen und auch nach ihrem Exponentengrad unterscheiden.

Somit können Polynomgleichungen - wo der erste Term ein Polynom mit nur einer Unbekannten ist, unter Berücksichtigung dessen, dass sein Grad eine beliebige natürliche Zahl (n) sein kann und der zweite Term Null ist - wie folgt ausgedrückt werden:

an * xn + an-1 * xn-1 + ... + a1 * x1 + a0 * x0 = 0

Wo:

- an, an-1 und a0Sie sind echte Koeffizienten (Zahlen).

- an Es ist anders als Null.

- Der Exponent n ist eine positive ganze Zahl, die den Grad der Gleichung darstellt.

- x ist die Variable oder unbekannt, die gesucht werden muss.

Der absolute oder größere Grad einer Polynomgleichung ist der Exponent mit größerem Wert unter allen, die das Polynom bilden; auf diese Weise sind die Gleichungen klassifiziert als:

die erste Klasse

Die Polynome ersten Grades, die auch als lineare Gleichungen bekannt sind, sind solche, bei denen der Grad (der größte Exponent) gleich 1 ist, das Polynom die Form P (x) = 0 hat; und besteht aus einem linearen Begriff und einem unabhängigen Begriff. Es steht wie folgt geschrieben:

ax + b = 0.

Wo:

- a und b sind reelle Zahlen und a ≠ 0.

- ax ist der lineare Ausdruck.

- b ist der unabhängige Begriff.

Zum Beispiel die Gleichung 13x - 18 = 4x.

Um lineare Gleichungen zu lösen, müssen alle Terme, die das unbekannte x enthalten, auf eine Seite der Gleichheit und diejenigen, die nicht haben, auf die andere Seite verschoben werden, um sie zu löschen und eine Lösung zu erhalten:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2

Auf diese Weise hat die gegebene Gleichung eine einzelne Lösung oder Wurzel, die x = 2 ist.

zweiter Grad

Die Polynome zweiten Grades, auch als quadratische Gleichungen bekannt, sind solche, bei denen der Grad (der größte Exponent) gleich 2 ist, das Polynom die Form P (x) = 0 hat und aus einem quadratischen Term besteht , eine lineare und eine unabhängige. Es wird wie folgt ausgedrückt:

Axt2 + bx + c = 0

Wo:

- a, b und c sind reelle Zahlen und a ≠ 0.

- Axt2 ist der quadratische Term und "a" ist der Koeffizient des quadratischen Terms.

- bx ist der lineare Term und "b" ist der Koeffizient des linearen Terms.

- c ist der unabhängige Begriff.

Resolver

Im Allgemeinen ist die Lösung für diesen Typ von Gleichungen gegeben, indem man x aus der Gleichung löscht, und es wird in der folgenden Weise belassen, die ein Resolver genannt wird:

Dort, (b2 - 4ac) wird die Diskriminante der Gleichung genannt und dieser Ausdruck bestimmt die Anzahl der Lösungen, die die Gleichung haben kann:

- Ja (b2 - 4ac) = 0, die Gleichung wird eine einzige Lösung haben, die doppelt ist; Das heißt, Sie haben zwei gleiche Lösungen.

- Ja (b2 - 4ac)> 0, wird die Gleichung zwei verschiedene reale Lösungen haben.

- Ja (b2 - 4ac) <0, die Gleichung hat keine Lösung (sie wird zwei verschiedene komplexe Lösungen haben).

Zum Beispiel haben Sie die Gleichung 4x2 + 10x - 6 = 0, um es zu lösen, zuerst die Begriffe a, b und c identifizieren und dann in der Formel ersetzen:

a = 4

b = 10

c = -6.

Es gibt Fälle, in denen die Polynomgleichungen des zweiten Grades nicht die drei Terme haben, und deshalb werden sie anders gelöst:

- Für den Fall, dass die quadratischen Gleichungen nicht den linearen Term haben (dh b = 0), wird die Gleichung als ax ausgedrückt2 + c = 0. Um es zu lösen, wird es x gelöscht2 und die Quadratwurzeln werden in jedem Mitglied angewendet, wobei daran erinnert wird, dass die zwei möglichen Zeichen, die das Unbekannte haben kann, berücksichtigt werden müssen:

Axt2 + c = 0

x2 = - c ÷ a

Zum Beispiel 5 x2 - 20 = 0.

5 x2 = 20

x2 = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x1 = 2.

x2 = -2.

- Wenn die quadratische Gleichung keinen unabhängigen Term hat (dh c = 0), wird die Gleichung als ax ausgedrückt2 + bx = 0. Um es zu lösen, müssen wir den gemeinsamen Faktor des unbekannten x im ersten Glied extrahieren; Da die Gleichung gleich Null ist, ist es wahr, dass mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist:

Axt2 + bx = 0

x (ax + b) = 0.

Auf diese Weise musst du:

x = 0

x = -b ÷ a.

Zum Beispiel: Sie haben die Gleichung 5x2 + 30x = 0. Erster Faktor:

5x2 + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Es werden zwei Faktoren erzeugt, die x und (5x + 30) sind. Es wird angenommen, dass einer von diesen gleich null ist und die andere Lösung gegeben wird:

x1 = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x2 = -6.

Höhere Klasse

Die Polynomgleichungen größeren Grades sind solche, die vom dritten Grad an gehen, die mit der allgemeinen Polynomgleichung für irgendeinen Grad ausgedrückt oder aufgelöst werden können:

an * xn + an-1 * xn-1 + ... + a1 * x1 + a0 * x0 = 0

Dies wird verwendet, weil eine Gleichung mit einem Grad größer als zwei das Ergebnis der Faktorisierung eines Polynoms ist; Das heißt, es wird ausgedrückt als die Multiplikation von Polynomen vom Grad eins oder größer, aber ohne echte Wurzeln.

Die Lösung dieser Art von Gleichungen ist direkt, weil die Multiplikation zweier Faktoren gleich Null ist, wenn einer der Faktoren null ist (0); daher muss jede der gefundenen Polynomgleichungen gelöst werden, wobei jeder ihrer Faktoren gleich Null ist.

Zum Beispiel haben Sie die Gleichung dritten Grades (kubisch) x3 + x2 + 4x + 4 = 0. Um es zu lösen, müssen die folgenden Schritte befolgt werden:

- Die Begriffe sind gruppiert:

x3 + x2 + 4x + 4 = 0

(x3 + x2 ) + (4x + 4) = 0.

- Die Mitglieder sind aufgeteilt, um den gemeinsamen Faktor des Unbekannten zu erhalten:

x2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x2 + 4)*(x + 1) = 0.

- Auf diese Weise werden zwei Faktoren erhalten, die gleich Null sein müssen:

(x2 + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Es ist ersichtlich, dass der Faktor (x2 + 4) = 0 wird keine echte Lösung haben, während der Faktor (x + 1) = 0 ja ist. Daher lautet die Lösung:

(x + 1) = 0

x = -1

Gelöste Übungen

Löse die folgenden Gleichungen:

Erste Übung

(2x2 + 5)*(x - 3)*(1 + x) = 0.

Lösung

In diesem Fall wird die Gleichung als Multiplikation von Polynomen ausgedrückt; das heißt, es wird berücksichtigt. Um es zu lösen, muss jeder Faktor gleich Null sein:

- 2x2 + 5 = 0, hat keine Lösung.

- x - 3 = 0

- x = 3

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Somit hat die gegebene Gleichung zwei Lösungen: x = 3 und x = -1.

Zweite Übung

x4 - 36 = 0.

Lösung

Es wurde ein Polynom angegeben, das als Differenz von Quadraten neu geschrieben werden kann, um zu einer schnelleren Lösung zu gelangen. Somit bleibt die Gleichung:

(x2 + 6)*(x2 - 6) = 0.

Um die Lösung der Gleichungen zu finden, sind beide Faktoren gleich Null:

(x2 + 6) = 0, hat keine Lösung.

(x2 - 6) = 0

x2 = 6

x = ± √6.

Somit hat die anfängliche Gleichung zwei Lösungen:

x = √6.

x = - √6.

Referenzen

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