Homotherty Eigenschaften, Typen und Beispiele

Die Homoteca ist eine geometrische Veränderung in der Ebene, wo von einem festen Punkt, der als Mittelpunkt (O) bezeichnet wird, Entfernungen mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert werden. Auf diese Weise entspricht jeder Punkt P einem anderen Punkt P 'Produkt der Transformation, und diese sind mit dem Punkt O ausgerichtet.

Dann ist die Homotherty eine Entsprechung zwischen zwei geometrischen Figuren, wo die transformierten Punkte homothetisch genannt werden, und diese sind mit einem festen Punkt und mit Segmenten parallel zueinander ausgerichtet.

Index

• 1 Homoteca
• 2 Eigenschaften
• 3 Arten
  • 3.1 Direkte Homothetie
  • 3.2 Reverse Homothéty
• 4 Zusammensetzung
• 5 Beispiele
  • 5.1 Erstes Beispiel
  • 5.2 Zweites Beispiel
• 6 Referenzen

Homoteca

Die Homothetie ist eine Transformation, die kein kongruentes Bild hat, weil aus einer Figur eine oder mehrere Figuren von mehr oder weniger Größe als die ursprüngliche Figur erhalten werden; das heißt, dass die Homotherty ein Polygon in ein anderes ähnliches verwandelt.

Damit die Homothetie erfüllt wird, müssen sie Punkt zu Punkt und gerade zu Punkt entsprechen, so dass die Paare der homologen Punkte mit einem dritten Fixpunkt, der das Zentrum der Homothetie ist, ausgerichtet sind.

Ebenso müssen die Linienpaare, die sich ihnen anschließen, parallel sein. Die Beziehung zwischen solchen Segmenten ist eine Konstante, die das Verhältnis der Homotherty (k) genannt wird; so dass die Homothytie wie folgt definiert werden kann:

Um diese Art von Transformation zu machen, beginnen wir mit der Wahl eines beliebigen Punktes, der das Zentrum der Homothetie sein wird.

Ab diesem Punkt werden Liniensegmente für jeden Eckpunkt der Figur gezeichnet, die transformiert werden soll. Die Skala, auf der die Reproduktion der neuen Figur gemacht wird, ist gegeben durch das Verhältnis der Homothetie (k).

Eigenschaften

Eine der Haupteigenschaften von homothety ist, dass aus homothetischen Gründen (k) alle homothetischen Figuren ähnlich sind. Unter anderen herausragenden Eigenschaften sind die folgenden:

- Das Zentrum der Homothetie (O) ist der einzige Doppelpunkt und dieser wird sich selbst; das heißt, es variiert nicht.

- Die Linien, die durch das Zentrum gehen, transformieren sich selbst (sie sind doppelt), aber die Punkte, die sie bilden, sind nicht doppelt.

- Die geraden Linien, die nicht durch das Zentrum gehen, werden in parallele Linien umgewandelt; auf diese Weise bleiben die Winkel der Homothytie gleich.

- Das Bild eines Segments durch eine Homothetie von Zentrum O und Verhältnis k ist ein Segment parallel dazu und hat k mal seine Länge. Wie zum Beispiel in der folgenden Abbildung zu sehen ist, wird ein Segment AB durch Homothetik zu einem anderen Segment A'B 'führen, so dass AB parallel zu A'B' ist und das k sein wird:

- Homothetische Winkel sind kongruent; das heißt, sie haben das gleiche Maß. Daher ist das Bild eines Winkels ein Winkel, der seine gleiche Amplitude hat.

Auf der anderen Seite variiert die Homothetie in Abhängigkeit von dem Wert ihres Verhältnisses (k), und die folgenden Fälle können auftreten:

- Wenn die Konstante k = 1 ist, sind alle Punkte festgelegt, da sie sich selbst transformieren. Somit stimmt die homothetische Figur mit dem Original überein und die Transformation wird als Identitätsfunktion bezeichnet.

- Wenn k ≠ 1 ist, wird der einzige Fixpunkt das Zentrum der Homothetie (O) sein.

- Wenn k = -1, wird die Homothetie eine zentrale Symmetrie (C); das heißt, es wird eine Drehung um C in einem Winkel von 180 sein^o.

- Wenn k> 1 ist, ist die Größe der transformierten Figur größer als die Größe des Originals.

- Wenn 0 <k <1, ist die Größe der transformierten Figur kleiner als die des Originals.

- Wenn -1 <k <0, wird die Größe der transformierten Figur kleiner und in Bezug auf das Original gedreht.

- Wenn k <-1 ist, wird die Größe der transformierten Figur größer und in Bezug auf das Original gedreht.

Typen

Die Homotherty kann auch in zwei Arten klassifiziert werden, abhängig vom Wert ihres Verhältnisses (k):

Direkte Homothytie

Es passiert, wenn die Konstante k> 0; das heißt, die homothetischen Punkte sind auf der gleichen Seite in Bezug auf das Zentrum:

Der Proportionalitätsfaktor oder das Verhältnis der Ähnlichkeit zwischen direkten homothetischen Figuren wird immer positiv sein.

Reverse homothetisch

Es passiert, wenn die Konstante k <0; das heißt, die Anfangspunkte und ihre homothetischen Punkte befinden sich an den entgegengesetzten Enden in Bezug auf das Zentrum der Homothetie, sind aber zu ihr ausgerichtet. Das Zentrum wird zwischen den beiden Figuren liegen:

Der Proportionalitätsfaktor oder das Verhältnis der Ähnlichkeit zwischen den homothetischen inversen Zahlen wird immer negativ sein.

Zusammensetzung

Wenn mehrere Bewegungen nacheinander ausgeführt werden, bis eine dem Original entsprechende Zahl erreicht ist, tritt eine Komposition von Bewegungen auf. Die Zusammensetzung mehrerer Bewegungen ist ebenfalls eine Bewegung.

Die Zusammensetzung zwischen zwei Homothecien führt zu einer neuen Homothecie; das heißt, wir haben ein homothetisches Produkt, in dem das Zentrum mit dem Zentrum der beiden ursprünglichen Transformationen ausgerichtet wird, und das Verhältnis (k) ist das Produkt der beiden Gründe.

So in der Zusammensetzung von zwei Homotheces₁(O.₁, k₁) und H₂(O.₂, k₂), multipliziert Ihre Gründe: k₁ x k₂ = 1 ergibt eine Homothetie des Verhältnisses k₃ = k₁ x k₂. Das Zentrum dieser neuen Homothetie (O₃) wird auf der O gerade liegen₁ O₂.

Die Homotherty entspricht einer flachen und irreversiblen Veränderung; Wenn zwei Homothecen angewendet werden, die denselben Mittelpunkt und dasselbe Verhältnis haben, aber ein anderes Vorzeichen haben, wird die ursprüngliche Zahl erhalten.

Beispiele

Erstes Beispiel

Wenden Sie eine Homothetie auf das gegebene Zentrumspolygon (O) an, das sich 5 cm von Punkt A entfernt befindet und dessen Verhältnis k = 0,7 ist.

Lösung

Jeder Punkt wird als Zentrum der Homothetie gewählt, und von diesem Strahl werden durch die Eckpunkte der Figur gezeichnet:

Der Abstand von Zentrum (O) zu Punkt A ist OA = 5; damit können Sie den Abstand eines der homothetischen Punkte (OA ') bestimmen, wobei auch k = 0.7 gilt:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 × 5 = 3,5.

Der Vorgang kann für jeden Stützpunkt ausgeführt werden, oder Sie können auch das Polygon zeichnen, wobei Sie daran denken, dass die beiden Polygone parallele Seiten haben:

Schließlich sieht die Transformation so aus:

Zweites Beispiel

Wenden Sie eine Homotherty auf das gegebene Zentrumspolygon (O) an, das sich 8,5 cm von Punkt C entfernt befindet und dessen y-Verhältnis k = -2 ist.

Lösung

Der Abstand von Zentrum (O) zu Punkt C ist OC = 8,5; mit diesen Daten ist es möglich, die Entfernung von einem der homothetischen Punkte (OC ') zu bestimmen, wobei auch bekannt ist, dass k = -2:

OC '= k × OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Nach dem Verfolgen der Segmente der Ecken des transformierten Polygons haben wir, dass die Anfangspunkte und ihre Homothetika an den entgegengesetzten Enden in Bezug auf das Zentrum liegen:

Referenzen

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technisches Zeichnen: Aktivitätsnotizbuch.
2. Antonio Alvarez de la Rosa, J. L. (2002). Affinität, Homologie und Homothetie.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineare Algebra und projektive Geometrie. Kurier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Allgemeine Mathematik, Wahrscheinlichkeiten und Statistik.
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6. Nachbin, L. (1980). Einführung in die Algebra. Reverte