Was ist ein Vektor und was sind seine Merkmale?

A Vektor es ist eine Größe oder ein Phänomen, das zwei unabhängige Eigenschaften hat: Größe und Richtung. Der Begriff bezeichnet auch die mathematische oder geometrische Darstellung einer solchen Größe.

Beispiele für Vektoren in der Natur sind Geschwindigkeit, Kraft, elektromagnetische Felder und Gewicht. Eine Menge oder ein Phänomen, die nur Größe ohne spezifische Richtung zeigt, wird Skalar genannt.

Beispiele für Skalare sind Geschwindigkeit, Masse, elektrischer Widerstand und Festplattenspeicherkapazität.

Vektoren können grafisch in zwei oder drei Dimensionen dargestellt werden. Die Größe wird als die Länge eines Segments angezeigt. Die Richtung wird durch die Ausrichtung des Segments und durch einen Pfeil an einem Ende angezeigt.

Die obige Abbildung zeigt drei Vektoren in zweidimensionalen rechtwinkligen Koordinaten (die kartesische Ebene) und ihre Entsprechungen in Polarkoordinaten.

Die Vektoren in der Physik

In der Physik müssen Sie, wenn Sie einen Vektor haben, zwei Größen berücksichtigen: seine Richtung und seine Größe. Mengen, die nur eine Größe haben, werden Skalare genannt. Wenn einer skalaren Größe eine Richtung gegeben wird, wird ein Vektor erstellt.

Visuell werden Vektoren als Pfeile gesehen, was perfekt ist, weil ein Pfeil eine klare Richtung und eine klare Größe (die Länge des Pfeils) hat.

In der folgenden Abbildung stellt der Pfeil einen Vektor dar, der am Fuß des Pfeils (auch Schwanz genannt) beginnt und am Kopf endet.

In der Physik wird normalerweise eine fettgedruckte Schriftart verwendet, um einen Vektor darzustellen, obwohl er auch als ein Buchstabe mit einem Pfeil dargestellt werden kann.

Der Pfeil bedeutet, dass es nicht nur ein Skalarwert ist, der durch A dargestellt wird, sondern auch etwas mit Richtung.

Unterschiede zwischen Vektor und Skalar

Werte, die keine Vektoren sind, sind skalar. Zum Beispiel ist eine solche Menge von 500 Äpfel ein Skalar, hat keine Richtung, ist nur eine Größenordnung. Die Zeit ist auch ein Skalar, sie hat keine Richtung.

Die Geschwindigkeit ist jedoch ein Vektor, da sie nicht nur eine Größe (die Geschwindigkeit) der Route angibt, sondern auch die Richtung (und Richtung) der Route.

Zum Beispiel kann die Wirkungslinie des Geschwindigkeitsvektors sein

30 ° von der Horizontalen entfernt sein. Daher wissen wir, in welche Richtung sich das Objekt bewegt.

Dies gibt jedoch noch nicht die Richtung der Reise an, ob sie sich von uns entfernt oder uns näher kommt. Daher geben wir auch die Richtung an, in der der Vektor durch eine Pfeilspitze wirkt.

Kraft, Beschleunigung und zurückgelegte Strecke sind ebenfalls Vektoren. Wenn beispielsweise gesagt wird, dass sich ein Auto um 10 Meter bewegt hat, zeigt dies nicht an, in welche Richtung es sich bewegt hat. Um die Bewegung vollständig festzulegen, müssen Sie auch die Richtung und die Bewegungsrichtung angeben.

Die Stärke ist auch ein Vektor, denn wenn Sie ein Objekt zu sich ziehen, kommt es Ihnen nahe, und wenn Sie das Objekt drücken, bewegt es sich von Ihnen weg. Also hat Kraft eine Richtung und einen Sinn, und deshalb ist es ein Vektor.

Beispiel

Als Beispiele für die Informationen, die ein Vektor bietet, haben wir folgendes:

Suche nach einer Goldtasche

Angenommen, ein Lehrer sagt dir: "Eine Tüte mit Gold befindet sich außerhalb des Klassenzimmers, um sie zu finden, beweg dich 20 Meter." Diese Erklärung wird Sie sicherlich interessieren, aber es gibt nicht genug Informationen in der Erklärung, um den Goldbeutel zu finden.

Die Verschiebung, die erforderlich ist, um den Goldbeutel zu finden, wurde nicht vollständig beschrieben. Nehmen Sie andererseits an, Ihr Lehrer sagt Ihnen: "Ein Beutel mit Gold befindet sich außerhalb des Klassenzimmers, um ihn von der Mitte der Tür der Klasse 20 Meter in Richtung 30 ° westlich des Nordens zu bewegen."

Diese Aussage liefert nun eine vollständige Beschreibung des Verschiebungsvektors, der die Größe (20 Meter) und die Richtung (30 ° westlich des Nordens) in Bezug auf eine Referenz- oder Startposition (die Mitte der Klassentür) auflistet. ).

Vektorgrößen werden nicht vollständig beschrieben, es sei denn, Größe und Richtung sind angegeben.

Autoverschiebung

Wenn wir uns in einem Auto bewegen, benutzen wir verschiedene Vektoren. Diese Vektoren erscheinen jedes Mal, wenn wir die Geschwindigkeit ändern.

Wenn wir beschleunigen, um ein anderes Auto zu überholen, fügen wir Richtungs- und Geschwindigkeitsvariablen hinzu, die einen neuen Vektor bilden.

Wenn wir andererseits die Geschwindigkeit verringern wollen, subtrahieren wir Vektoren, die der Verzögerung entsprechen.

In einem anderen Sinn, wenn wir umkehren, ohne die Geschwindigkeit zu ändern, modifizieren wir die Bedeutung des Vektors, der aus der Bewegung des Autos entsteht.

Öffne eine Tür

Wenn wir eine Tür öffnen, benutzen wir mehrere Vektoren. Zuerst müssen wir eine Kraft in eine bestimmte Richtung drucken, um den Knopf der Tür zu drehen, dann müssen wir die Tür in eine bestimmte Richtung drücken und eine Kraft drucken.

Diese Kraft- und Richtungswerte entsprechen den Vektoren, die zum Öffnen einer Tür verwendet werden. Der Prozess des Schließens einer Tür wird einen neuen Vektor erzeugen, in dem sein Wert im Verhältnis zu dem anfänglich gegebenen Wert negativ ist, um ihn zu öffnen.

Verschiebe ein Feld

Wenn wir eine sehr schwere Kiste schieben wollen, müssen wir eine Kraft auf ihre Seitenfläche ausüben. Diese Kraft muss in eine Richtung ausgeübt werden, damit sich die Box bewegen kann.

In diesem Fall ergibt sich der Vektor aus der Kombination von Kraft und Richtung, die zum Bewegen der Box angewendet wurde.

Falls die Kraft nicht verwendet wird, um die Box zu drücken, sondern um sie vertikal anzuheben, erscheint ein neuer Vektor.

Dieser Vektor wird durch die vertikale Achse gebildet, auf der die Box angehoben wird, und die Kraft, mit der sie angehoben wird.

Verschiebe eine Schachkachel

Wie im vorherigen Beispiel kann ein Schachplättchen auf der Oberfläche des Tisches bewegt werden - in einer bestimmten Richtung und durch Anwendung einer bestimmten Kraft - um seine Position auf dem Brett zu verändern und einen Vektor zu erzeugen.

Es kann auch von der Tafel abgehoben werden und einen neuen Vektor in vertikaler Richtung erzeugen.

Drücken Sie eine Taste

Ein Botó wird nur in eine Richtung gedrückt, und zwar durch das gleiche System, das die Schaltfläche enthält.

Um diese Taste zu drücken, ist es notwendig, eine Kraft mit dem Finger auszuüben. Aus der Ausübung dieser Bewegung wird ein Vektor resultieren.

Billard spielen

Die Handlung, eine Billardkugel mit dem hölzernen Stichwort zu treffen, ergibt sofort einen Vektor, da es die Wirkung von zwei Größen hat: Kraft und Richtung.

Eine Kraft wird auf die Billardkugel ausgeübt, um sie in eine bestimmte Richtung zu bewegen. Die Billardkugel auf dem Tisch wird einen vorher festgelegten Sinn haben, der von der Entscheidung des Spielers abhängt.

Ein Spielzeugauto ziehen

Wenn ein Kind sein Spielzeugauto nimmt und es von einem Seil zieht oder es einfach mit seinen Händen manipuliert, wird es zahlreiche Vektoren erzeugen.

Jedes Mal, wenn das Kind die Geschwindigkeit oder Richtung ändert, in der sich das Auto bewegt, wird ein neuer Vektor erstellt.

Die Variablen des Vektors würden sich in diesem Fall aus der Energie, die das Kind auf das Auto anwendet, und der Richtung, in die es es bewegen möchte, zusammensetzen.

Darstellung von Vektoren

Vektormengen werden oft durch skalierte Vektordiagramme dargestellt.

Vektordiagramme stellen einen Vektor dar, indem ein Pfeil zum Skalieren in einer bestimmten Richtung verwendet wird. Ein entsprechendes Vektordiagramm muss mehrere Merkmale haben:

• Eine Skala ist klar aufgeführt.
• Ein Vektorpfeil wird (mit einer Pfeilspitze) in eine bestimmte Richtung gezeichnet. Der Vektorpfeil hat einen Kopf und einen Schwanz.
• Die Größe und Richtung des Vektors ist klar gekennzeichnet.

Adresse eines Vektors

Vektoren können nach Osten, Westen, Süden und Norden gerichtet sein. Einige Vektoren sind jedoch nach Nordosten gerichtet (in einem Winkel von 45 °). Daher ist es eindeutig erforderlich, die Richtung eines Vektors zu bestimmen, der nicht von Norden, Süden, Osten oder Westen abhängt.

Es gibt eine Vielzahl von Konventionen, um die Richtung eines beliebigen Vektors zu beschreiben, jedoch werden nur zwei davon nachstehend erläutert.

1 - Die Richtung eines Vektors wird oft als Rotationswinkel des Vektors um seinen "Schwanz" nach Osten, Westen, Norden oder Süden ausgedrückt.

Man kann zum Beispiel sagen, dass ein Vektor eine Adresse von 40 ° nördlich des Westens hat (was bedeutet, dass ein Vektor, der nach Westen zeigt, um 40 ° nach Norden gedreht wurde) oder dass er eine Richtung von 65 ° Grad hat östlich des Südens (was bedeutet, dass ein nach Süden weisender Vektor 65 ° nach Osten gedreht ist).

2 - Die Richtung eines Vektors wird oft als Drehwinkel im Gegenuhrzeigersinn des Vektors ausgedrückt. Unter Verwendung dieser Konvention ist ein Vektor mit einer 30 ° -Richtung ein Vektor, der um 30 ° im Gegenuhrzeigersinn relativ zu dem Osten gedreht wurde.

Ein Vektor mit einer 160 ° -Richtung ist ein Vektor, der gegenüber dem Uhrzeigersinn um 160 ° gegen den Uhrzeigersinn gedreht wurde. Ein Vektor mit einer 270 ° -Richtung ist ein Vektor, der um 270 ° im Gegenuhrzeigersinn relativ zum Osten gedreht wurde.

Größe eines Vektors

Die Größe eines Vektors in einem skalierten Vektordiagramm wird durch die Länge des Pfeils dargestellt. Der Pfeil wird mit einer genauen Länge gemäß einer gewählten Skala gezeichnet.

Wenn Sie beispielsweise einen Vektor mit einer Größe von 20 Metern zeichnen möchten, können Sie als Maßstab 1 cm = 5 Meter wählen und einen Pfeil mit einer Länge von 4 cm zeichnen.

Auf der gleichen Skala (1 cm = 5 Meter) wird ein Verschiebungsvektor von 15 Metern durch einen 3 cm langen Vektorpfeil dargestellt.

Auf die gleiche Weise wird ein Verschiebungsvektor von 25 Metern durch einen Pfeil von 5 cm Länge dargestellt. Und schließlich wird ein Verschiebungsvektor von 18 Metern durch einen 3,6 cm langen Pfeil dargestellt.

Andere Eigenschaften von Vektoren

Gleichheit: Es wird gesagt, dass zwei Vektoren gleich sind, wenn sie die gleiche Größe und Richtung haben. Äquivalent sind sie gleich, wenn ihre Koordinaten gleich sind.

Opposition: zwei Vektoren sind entgegengesetzt, wenn sie die gleiche Größe, aber entgegengesetzte Richtung haben.

Parallelen: Zwei Vektoren sind parallel, wenn sie die gleiche Richtung haben, aber nicht notwendigerweise die gleiche Größe, oder antiparallel, wenn sie die entgegengesetzte Richtung haben, aber nicht notwendigerweise die gleiche Größe.

Vektoreinheit: Ein Einheitsvektor ist ein beliebiger Vektor mit einer Länge von eins.

Vektor Null: Der Nullvektor ist der Vektor mit der Länge Null. Im Gegensatz zu jedem anderen Vektor hat er eine willkürliche oder unbestimmte Richtung und kann nicht normalisiert werden

Referenzen

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