Was ist die Domäne und Eigentumswohnung einer Funktion? (Mit gelösten Beispielen)

Die Konzepte von Domäne und Zählerdomäne einer Funktion Sie werden üblicherweise in den Kalkül-Kursen gelehrt, die zu Beginn der Universitätslaufbahn unterrichtet werden.

Bevor Sie die Domäne und die Zählerdomäne definieren, müssen Sie wissen, was eine Funktion ist. Eine Funktion f ist ein Gesetz (Regel) der Übereinstimmung zwischen den Elementen zweier Mengen.

Die Menge, aus der die Elemente ausgewählt werden, wird als Domäne der Funktion bezeichnet, und die Menge, zu der diese Elemente über f gesendet werden, wird als Zählerdomäne bezeichnet.

In der Mathematik wird eine Funktion mit Domäne A und Gegendomäne B durch den Ausdruck f bezeichnet: A → B.

Der obige Ausdruck besagt, dass die Elemente der Menge A gemäß dem Korrespondenzgesetz f an die Menge B gesendet werden.

Eine Funktion weist jedem Element der Menge A ein einzelnes Element der Menge B zu.

Domänen- und Counter-Domain

Bei einer reellen Funktion einer reellen Variablen f (x) haben wir, dass die Domäne der Funktion alle reellen Zahlen ist, so dass das Ergebnis, wenn es in f ausgewertet wird, eine reelle Zahl ist.

Im Allgemeinen ist die Gegendomäne einer Funktion die Menge der reellen Zahlen R. Der Gegenzug wird auch als Ankunftsmenge oder Codomain der Funktion f bezeichnet.

Ist der Widerruf einer Funktion immer R?

Nein. Solange die Funktion nicht im Detail studiert wird, wird die Menge der reellen Zahlen R gewöhnlich als Gegenbefehl genommen.

Aber sobald die Funktion studiert ist, kann eine geeignetere Menge als eine Gegendomäne genommen werden, die eine Untermenge von R sein wird.

Die entsprechende Menge, die im vorherigen Absatz erwähnt wurde, stimmt mit dem Bild der Funktion überein.

Die Definition des Bildes oder des Bereichs einer Funktion f bezieht sich auf alle Werte, die von der Bewertung eines Elements der Domäne in f herrühren.

Beispiele

Die folgenden Beispiele veranschaulichen, wie die Domäne einer Funktion und ihres Abbilds berechnet wird.

Beispiel 1

Sei f eine reelle Funktion, die durch f (x) = 2 definiert ist.

Die Domäne von f sind alle reellen Zahlen, so dass das Ergebnis, wenn es in f ausgewertet wird, eine reelle Zahl ist. Die Zählerdomäne für den Moment ist gleich R.

Da die gegebene Funktion konstant ist (immer gleich 2), ist es egal, welche reelle Zahl gewählt wird, da das Ergebnis bei der Auswertung in f immer gleich 2 ist, was eine reelle Zahl ist.

Daher sind die Domäne der gegebenen Funktion alle reellen Zahlen; das heißt A = R.

Da nun bekannt ist, dass das Ergebnis der Funktion immer gleich 2 ist, haben wir, dass das Bild der Funktion nur die Nummer 2 ist, daher kann die Gegendomäne der Funktion neu definiert werden als B = Img (f) = {2}

Daher gilt f: R → {2}.

Beispiel 2

Sei g eine reelle Funktion, die durch g (x) = √x definiert ist.

Während das Bild von g nicht bekannt ist, ist die Gegendomäne von g B = R.

Mit dieser Funktion müssen Sie berücksichtigen, dass die Quadratwurzeln nur für nicht negative Zahlen definiert sind; das heißt, für Zahlen größer oder gleich Null. Zum Beispiel ist √-1 keine reelle Zahl.

Daher muss die Domäne der Funktion g alle Zahlen größer als oder gleich Null sein; das heißt, x ≥ 0.

Daher ist A = [0, + ∞).

Um den Bereich zu berechnen, sollte beachtet werden, dass jedes Ergebnis von g (x), das eine Quadratwurzel ist, immer größer oder gleich Null ist. Das heißt, B = [0, + ∞).

Zusammenfassend gilt: g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Beispiel 3

Wenn wir die Funktion h (x) = 1 / (x-1) haben, ist diese Funktion für x = 1 nicht definiert, da wir im Nenner Null erhalten würden und die Division durch Null nicht definiert ist.

Auf der anderen Seite wird das Ergebnis für jeden anderen realen Wert eine reelle Zahl sein. Daher ist die Domäne alle Reellen außer einer; das heißt, A = R \ {1}.

Auf die gleiche Weise kann beobachtet werden, dass der einzige Wert, der als Ergebnis nicht erhalten werden kann, 0 ist, da für einen Bruch gleich Null der Zähler Null sein muss.

Daher ist das Bild der Funktion die Menge aller Realen außer Null, also wird es als eine Zählerdomäne B = R \ {0} genommen.

Zusammenfassend gilt h: R \ {1} → R \ {0}.

Beobachtungen

Die Domäne und das Bild müssen nicht identisch sein, wie in den Beispielen 1 und 3 gezeigt.

Wenn eine Funktion in der kartesischen Ebene gezeichnet wird, wird die Domäne durch die X-Achse und die Zählerdomäne oder der Rang durch die Y-Achse dargestellt.

Referenzen

1. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Vorcalculus Mathematik. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Vorcalculus Mathematik: ein Problemlösungsansatz (2, Illustrierte Ausgabe). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
4. Larson, R. (2010). Vorkalkulus (8 ed.). Cengage-Lernen
5. Leal, J. M. & Viloria, N. G. (2005). Flache analytische Geometrie. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Vorberechnung Pearson Ausbildung.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., und Rigdon, S.E. (2007). Berechnung (Neunte Ausgabe). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentialrechnung mit frühen transzendentalen Funktionen für Wissenschaft und Technik (Zweite Ausgabe ed.). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Kartesische Flächengeometrie, Teil: Analytische Kegelschnitte (1907) (Nachdruck ed.). Blitzquelle
10. Sullivan, M. (1997). Vorberechnung Pearson Ausbildung.