Was sind trigonometrische Grenzen? (mit gelösten Übungen)

Die trigonometrische Grenzen sie sind Grenzen von Funktionen, so dass diese Funktionen durch trigonometrische Funktionen gebildet werden.

Es gibt zwei Definitionen, die bekannt sein müssen, um zu verstehen, wie die Berechnung einer trigonometrischen Grenze durchgeführt wird.

Diese Definitionen sind:

- Grenze einer Funktion "f", wenn "x" zu "b" tendiert: es besteht darin, den Wert zu berechnen, bei dem sich f (x) nähert, wenn "x" sich "b" nähert, ohne "b" zu erreichen "

- Trigonometrische Funktionen: Die trigonometrischen Funktionen sind die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen, die jeweils mit sin (x), cos (x) und tan (x) bezeichnet werden.

Die anderen trigonometrischen Funktionen ergeben sich aus den drei oben genannten Funktionen.

Grenzen der Funktionen

Um das Konzept der Begrenzung einer Funktion zu verdeutlichen, werden einige Beispiele mit einfachen Funktionen gezeigt.

- Die Grenze von f (x) = 3, wenn "x" zu "8" tendiert, ist gleich "3", da die Funktion immer konstant ist. Egal wie viel "x" wert ist, der Wert von f (x) wird immer "3" sein.

- Die Grenze von f (x) = x-2, wenn "x" zu "6" tendiert, ist "4". Da, wenn "x" sich "6" nähert, nähert sich "x-2" "6-2 = 4".

- Die Grenze von g (x) = x², wenn "x" zu "3" tendiert, ist gleich 9, da, wenn "x" sich "3" nähert, "x²" sich "3² = 9" nähert .

Wie man in den vorhergehenden Beispielen sehen kann, besteht die Berechnung eines Limits darin, den Wert auszuwerten, auf den "x" in der Funktion tendiert, und das Ergebnis wird der Wert des Limits sein, obwohl dies nur für kontinuierliche Funktionen gilt.

Gibt es kompliziertere Grenzen?

Die Antwort ist ja. Die obigen Beispiele sind die einfachsten Beispiele für Grenzwerte. In den Kalkulationsbüchern sind die Hauptlimits Übungen, die eine Unbestimmtheit des Typs 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 und (∞) erzeugen ^ 0.

Diese Ausdrücke werden Unbestimmtheiten genannt, da sie Ausdrücke sind, die mathematisch keine Bedeutung haben.

Zusätzlich dazu kann in Abhängigkeit von den Funktionen, die an der ursprünglichen Grenze beteiligt sind, das Ergebnis, das bei der Auflösung der Unbestimmtheiten erhalten wird, in jedem Fall unterschiedlich sein.

Beispiele für einfache trigonometrische Grenzen

Um Grenzen zu lösen, ist es immer sehr nützlich, die Graphen der beteiligten Funktionen zu kennen. Die Graphen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen sind unten gezeigt.

Einige Beispiele für einfache trigonometrische Grenzen sind:

- Berechnen Sie die Grenze von sin (x), wenn "x" zu "0" tendiert.

Wenn Sie die Grafik betrachten, können Sie sehen, dass, wenn "x" sich "0" annähert (sowohl links als auch rechts), der Sinusgraph ebenfalls "0" nähert. Daher ist die Grenze von sin (x), wenn "x" zu "0" tendiert, "0".

- Berechnen Sie die Grenze von cos (x), wenn "x" auf "0" tendiert.

Wenn man den Kosinusgraph betrachtet, sieht man, dass, wenn "x" nahe bei "0" ist, der Kosinusgraph nahe bei "1" ist. Dies impliziert, dass die Grenze von cos (x), wenn "x" zu "0" tendiert, gleich "1" ist.

Ein Limit kann wie in den vorherigen Beispielen existieren (eine Zahl sein), aber es kann auch vorkommen, dass es nicht existiert, wie im folgenden Beispiel gezeigt.

- Die Grenze von tan (x), wenn "x" zu "∞ / 2" auf der linken Seite tendiert, ist gleich "+ ∞", wie in der Grafik zu sehen ist. Auf der anderen Seite ist die Grenze von tan (x), wenn "x" auf der rechten Seite zu "-∞ / 2" tendiert, gleich "-∞".

Identitäten trigonometrischer Grenzen

Zwei sehr nützliche Identitäten bei der Berechnung trigonometrischer Grenzen sind:

- Die Grenze von "sin (x) / x", wenn "x" zu "0" tendiert, ist gleich "1".

- Die Grenze von "(1-cos (x)) / x", wenn "x" zu "0" tendiert, ist gleich "0".

Diese Identitäten werden sehr oft verwendet, wenn Sie eine gewisse Unbestimmtheit haben.

Gelöste Übungen

Lösen Sie die folgenden Grenzen mit den oben beschriebenen Identitäten.

- Berechne die Grenze von "f (x) = sin (3x) / x", wenn "x" zu "0" tendiert.

Wird die Funktion "f" in "0" ausgewertet, wird eine Unbestimmtheit vom Typ 0/0 erhalten. Daher müssen wir versuchen, diese Unbestimmtheit mithilfe der beschriebenen Identitäten zu lösen.

Der einzige Unterschied zwischen dieser Grenze und der Identität ist die Nummer 3, die innerhalb der Sinusfunktion erscheint. Um die Identität anzuwenden, muss die Funktion "f (x)" folgendermaßen umgeschrieben werden: "3 * (sin (3x) / 3x)".Jetzt sind sowohl das Argument des Sinus als auch der Nenner gleich.

Wenn also "x" zu "0" tendiert, führt die Verwendung der Identität zu "3 * 1 = 3". Daher ist die Grenze von f (x), wenn "x" zu "0" tendiert, gleich "3".

- Berechne die Grenze von "g (x) = 1 / x - cos (x) / x", wenn "x" zu "0" tendiert.

Wenn "x = 0" in g (x) substituiert ist, wird eine Unbestimmtheit vom Typ ∞-∞ erhalten. Um es zu lösen, werden die Brüche subtrahiert, was das Ergebnis "(1-cos (x)) / x" ergibt.

Wenn nun die zweite trigonometrische Identität angewendet wird, ist die Grenze von g (x), wenn "x" zu "0" tendiert, gleich 0.

- Berechne die Grenze von "h (x) = 4tan (5x) / 5x", wenn "x", neigt dazu, auf "0".

Wenn wiederum h (x) in "0" bewertet wird, wird eine Unbestimmtheit vom Typ 0/0 erhalten.

Neuschreiben als (5 x) sin (5x) / cos (5x) ist, h (x) = (sin (5x) / 5 x) * (4 / cos (x)).

Unter Verwendung die Grenze von 4 / cos (x), wobei „x“ neigt dazu, „0“ ist gleich „4/1 = 4“, und die erste trigonometrische Identität erhalten wird, dass die Grenze der h (x), wobei „x“ die Tendenz eine "0" entspricht "1 * 4 = 4".

Beobachtung

Trigonometrische Grenzen sind nicht immer einfach zu lösen. In diesem Artikel wurden nur grundlegende Beispiele gezeigt.

Referenzen

1. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Vorcalculus Mathematik. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Vorcalculus Mathematik: ein Problemlösungsansatz (2, Illustrierte Ausgabe). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
4. Larson, R. (2010). Vorkalkulus (8 ed.). Cengage-Lernen
5. Leal, J. M. & Viloria, N. G. (2005). Flache analytische Geometrie. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Vorberechnung Pearson Ausbildung.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., und Rigdon, S.E. (2007). Berechnung (Neunte Ausgabe). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentialrechnung mit frühen transzendentalen Funktionen für Wissenschaft und Technik (Zweite Ausgabe ed.). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Kartesische Flächengeometrie, Teil: Analytische Kegelschnitte (1907) (Nachdruck ed.). Blitzquelle
10. Sullivan, M. (1997). Vorberechnung Pearson Ausbildung.