Was sind schräge Dreiecke? (mit gelösten Übungen)

Die Dreiecke schräg sind diese Dreiecke, die keine Rechtecke sind. Das heißt, Dreiecke so, dass keiner ihrer Winkel ein rechter Winkel ist (sein Maß ist 90º).

Da es keinen rechten Winkel gibt, kann der Satz des Pythagoras nicht auf diese Dreiecke angewendet werden.

Um die Daten in einem schrägen Dreieck zu kennen, müssen daher andere Formeln verwendet werden.

Die Formeln, die notwendig sind, um ein schrägwinkliges Dreieck zu lösen, sind die sogenannten Gesetze von Sinus und Cosinus, die später beschrieben werden.

Zusätzlich zu diesen Gesetzen kann immer die Tatsache verwendet werden, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks gleich 180º ist.

Schräge Dreiecke

Wie es am Anfang gesagt wurde, ist ein schräges Dreieck ein Dreieck, so dass keiner seiner Winkel 90º beträgt.

Das Problem, die Längen der Seiten eines schrägwinkligen Dreiecks zu finden und die Winkelmaße zu finden, wird "Auflösung von schrägen Dreiecken" genannt.

Eine wichtige Tatsache beim Arbeiten mit Dreiecken ist, dass die Summe der drei inneren Winkel eines Dreiecks gleich 180º ist. Dies ist ein allgemeines Ergebnis, daher kann es auch für schräge Dreiecke angewendet werden.

Gesetze der Brüste und Kosinus

Gegeben ein Dreieck ABC mit Seitenlängen "a", "b" und "c":

- Das Gesetz der besagt, dass ein Sinus- / sin (A) = B / sin (B) = c / sin (C), wobei A, B und C das Gegenteil von "a", "b" und „c Winkel sind "Beziehungsweise.

- Das Kosinusgesetz besagt: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Äquivalent können die folgenden Formeln verwendet werden:

b² = a² + c² - 2ac · cos (B) oder a² = b² + c² - 2bc · cos (A).

Mit diesen Formeln können Sie die Daten eines schrägwinkligen Dreiecks berechnen.

Übungen

Im Folgenden finden Sie einige Übungen, bei denen Sie die fehlenden Daten der gegebenen Dreiecke anhand bestimmter Daten finden sollten.

Erste Übung

Geben Sie ein Dreieck ABC mit A = 45º, B = 60º und a = 12 cm an und berechnen Sie die anderen Daten des Dreiecks.

Lösung

Wenn Sie die Summe der inneren Winkel eines Dreiecks gleich 180º verwenden, müssen Sie

C = 180º-45º-60º = 75º.

Die drei Winkel sind bereits bekannt. Dann fahren Sie fort, das Gesetz der Brüste zu verwenden, um die zwei Seiten zu berechnen, die fehlen.

Die Gleichungen, die gestellt werden, sind 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Von der ersten Gleichheit kannst du "b" löschen und das bekommen

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6 · 6 · 14,696 cm.

Sie können auch "c" löschen und bekommen

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392 cm.

Zweite Übung

Gegeben sei das Dreieck ABC so, dass A = 60º, C = 75º und b = 10cm, berechne die anderen Daten des Dreiecks.

Lösung

Wie in der vorherigen Übung, B = 180º-60º-75º = 45º. Darüber hinaus hat das Gesetz der Sinusse eine verwenden, das a / sin (60) = 10 / sin (45) = c / sin (75º), woraus sich ergibt, daß a = 10 * sin (60 °) / sin (45 °) = 5 × 6 × 12,247 cm und c = 10 × sin (75 °) / sin (45 °) = 5 (1 + 3) × 13,660 cm.

Dritte Übung

Gegeben sei das Dreieck ABC so, dass a = 10 cm, b = 15 cm und C = 80 °, berechne die anderen Daten des Dreiecks.

Lösung

In dieser Übung ist nur ein Winkel bekannt, daher können Sie nicht wie in den beiden vorherigen Übungen starten. Auch das Gesetz der Brüste kann nicht angewendet werden, weil keine Gleichung gelöst werden konnte.

Daher wenden wir das Kosinusgesetz an. Das ist es dann

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 · 0,173 · 272,905 cm,

so dass c 16,51 cm. Nun, wenn man die 3 Seiten kennt, wird das Gesetz der Brüste benutzt und man bekommt

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80º).

Wenn man B also löscht, ergibt sich ohne (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, was bedeutet, daß B ≈ 63,38º ist.

Nun kann A = 180º - 80º - 63,38º ÷ 36,62º erhalten werden.

Vierte Übung

Die Seiten eines schrägen Dreiecks sind a = 5 cm, b = 3 cm und c = 7 cm. Berechnen Sie die Winkel des Dreiecks.

Lösung

Wiederum kann das Gesetz der Brüste nicht direkt angewendet werden, da keine Gleichung dazu dienen würde, den Wert der Winkel zu erhalten.

werden, um das Cosinus-Gesetz verwendet, muss c² = a² + b² - 2ab cos (C), wobei Lichtung hat cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 und daher C = 120º.

Nun, wenn Sie kann das Gesetz von Sines beantragen und erhalten 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120th), wo Sie B löschen und erhalten, dass ohne (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, so dass B = 21,79º.

Schließlich wird der letzte Winkel mit A = 180º-120º-21,79º = 38,21º berechnet.

Referenzen

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