Welche Arten von Integralen gibt es?

Die Arten von Integralen In der Berechnung finden wir: Unbestimmte Integrale und bestimmte Integrale. Obwohl bestimmte Integrale viel mehr Anwendungen als unbestimmte Integrale haben, ist es notwendig zuerst zu lernen, unbestimmte Integrale zu lösen.

Eine der attraktivsten Anwendungen bestimmter Integrale ist die Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers.

Beide Arten von Integralen haben die gleichen Linearitätseigenschaften und auch Integrationstechniken hängen nicht von der Art des Integrals ab.

Aber obwohl es sehr ähnlich ist, gibt es einen Hauptunterschied; In der ersten Art von Integral ist das Ergebnis eine Funktion (die nicht spezifisch ist), während in der zweiten Art das Ergebnis eine Zahl ist.

Zwei grundlegende Arten von Integralen

Die Welt der Integrale ist sehr weit gefasst, aber darin können wir zwei grundlegende Typen von Integralen unterscheiden, die im täglichen Leben eine große Anwendbarkeit haben.

1- Unbestimmte Integrale

Wenn F ‚(x) f (x) für alle x im Bereich von f = sagen wir, dass F (x) ist ein anti-Derivat, ein primitiver oder ein Integral von f (x).

Darüber hinaus stellen wir fest, dass (F (x) + C) ‚= F‘ (x) = f (x), was bedeutet, dass das Integral einer Funktion nicht eindeutig ist, für verschiedene Werte der Konstanten C geben wird anders erhalten Stammpflanzen.

Aus diesem Grund wird F (x) + C das unbestimmte Integral von f (x) genannt und C heißt Integrationskonstante und wir schreiben es auf die folgende Weise

Wie wir sehen können, ist das unbestimmte Integral der Funktion f (x) eine Familie von Funktionen.

Wenn Sie beispielsweise das unbestimmte Integral der Funktion f (x) = 3x² berechnen wollen, müssen Sie zuerst eine Stammfunktion von f (x) finden.

Es ist leicht zu bemerken, dass F (x) = x³ eine Stammfunktion ist, da F '(x) = 3x². Daher kann geschlossen werden, dass

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C

2- Definierte Integrale

Es sei y = f (x) eine reelle Funktion, kontinuierliche in einem geschlossenen Intervall [a, b] und F (x), die eine Stammfunktion von f (x). Es wird definiertes Integral von f (x) zwischen den Grenzen a und b zur Zahl F (b) -F (a) genannt und wird wie folgt bezeichnet

Die oben gezeigte Formel ist besser bekannt als "The Fundamental Theorem of Calculus". Hier wird "a" als untere Grenze und "b" als obere Grenze bezeichnet. Wie Sie sehen können, ist das bestimmte Integral einer Funktion eine Zahl.

Wenn in diesem Fall das bestimmte Integral von f (x) = 3x² in dem Intervall [0,3] berechnet wird, wird eine Zahl erhalten.

Um diese Zahl zu bestimmen, wählen wir F (x) = x³ als Stammfunktion von f (x) = 3x². Dann berechnen wir F (3) -F (0), was uns das Ergebnis 27-0 = 27 gibt. Zusammenfassend ist das bestimmte Integral von f (x) im Intervall [0,3] 27.

Es ist zu beachten, dass, wenn G (x) = x³ + 3 ist, dann G (x) gewählt wird, ist ein Anti-Derivat von f (x) verschieden von F (x), aber dies hat keinen Einfluss auf das Ergebnis als G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Aus diesem Grund erscheint in den definierten Integralen die Integrationskonstante nicht.

Eine der nützlichsten Anwendungen diese Art ist integral mit verwendet, um das Gebiet (Volumen) eine ebene Figur (ein Rotationskörper) und Festlegung von Grenzwerten Funktionen geeignete Integration (und Drehachse) zu berechnen.

Innerhalb bestimmter Integrale können wir mehrere Erweiterungen dieses Beispiels als Linienintegrale, Oberflächenintegrale, uneigentliche Integrale, mehrfache Integrale, unter anderem, alle sehr nützlichen Anwendungen in Wissenschaft und Technik finden.

Referenzen

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