Sarrus-Regel in was besteht und Arten von Determinanten

Die Sarrus-Regel es wird verwendet, um das Ergebnis von Determinanten von 3 × 3 zu berechnen. Diese werden verwendet, um lineare Gleichungen zu lösen und zu wissen, ob sie kompatibel sind.

Kompatible Systeme ermöglichen Ihnen, die Lösung einfacher zu erhalten. Sie werden auch verwendet, um zu bestimmen, ob Sätze von Vektoren linear unabhängig sind und die Basis des Vektorraums bilden.

Diese Anwendungen basieren auf der Invertierbarkeit der Matrizen. Wenn eine Matrix regulär ist, ist ihre Determinante verschieden von 0. Wenn Singular, ihre Determinante ist 0. Determinanten können nur in quadratischen Matrizen berechnet werden.

Um Matrizen beliebiger Ordnung zu berechnen, kann das Laplace-Theorem verwendet werden. Dieser Satz erlaubt uns, die Matrizen hoher Dimensionen in Summen kleiner Determinanten zu vereinfachen, die wir aus der Hauptmatrix zerlegen.

Bestätigt, dass die Determinante einer Matrix gleich der Summe der Produkte jeder Zeile oder Spalte ist, durch die Determinante ihrer angehängten Matrix.

Dies reduziert die Determinanten, so dass eine Determinante vom Grad n zu n Determinanten von n-1 wird. Wenn wir diese Regel nacheinander anwenden, können wir bekommen Determinanten von 2 Dimension erhalten (2 × 2) oder 3 (3 × 3), wo es viel einfacher ist, zu berechnen.

Sarrus-Regel

Pierre Frederic Sarrus war ein französischer Mathematiker des 19. Jahrhunderts. Die meisten seiner mathematischen Abhandlungen basieren auf Methoden zur Lösung von Gleichungen und zur Berechnung von Variationen innerhalb der numerischen Gleichungen.

In einer seiner Abhandlungen hat er eines der komplexesten Rätsel der Mechanik gelöst. Um die Probleme der angelenkten Teile zu lösen, führte Sarrus die Umwandlung alternativer geradliniger Bewegungen in gleichförmigen Kreisbewegungen ein. Dieses neue System ist als Sarrus-Mechanismus bekannt.

Forschung, dass mehr Ruhm dieser Mathematiker gab, war derjenige, der eine neue Berechnungsmethode zur Bestimmung, in dem Artikel eingeführt „Nouvelles methodes pour la résolution das Gleichung“ (Neue Methode zur Lösung von Gleichungen), die in dem veröffentlichten Jahr 1833. Diese Art, lineare Gleichungen zu lösen, ist als Sarrus'sche Regel bekannt.

Sarrus herrscht die Determinante einer Matrix von 3 × 3, ohne die Verwendung der Laplace-Expansion, die Einführung eine viel einfachere und intuitive Methode zu berechnen. Um den Wert der Sarrus-Regel überprüfen zu können, nehmen wir jede Matrix der Dimension 3:

Die Berechnung ihrer Determinante würde durch das Produkt ihrer Hauptdiagonalen erfolgen, wobei das Produkt von den inversen Diagonalen subtrahiert wird. Das wäre wie folgt:

Die Sarrus-Regel erlaubt uns, eine viel einfachere Sicht zu erhalten, wenn wir die Diagonalen der Determinante berechnen. Es würde vereinfacht werden, indem die ersten zwei Spalten auf der Rückseite der Matrix hinzugefügt werden. Auf diese Weise können Sie klarer sehen, welche Ihre Hauptdiagonalen und welche umgekehrt sind, um das Produkt zu berechnen.

Durch dieses Bild können wir die Anwendung der Sarrus-Regel sehen, wir schließen Zeile 1 und 2 unterhalb der grafischen Darstellung der Ausgangsmatrix ein. Auf diese Weise sind die Hauptdiagonalen die drei Diagonalen, die an erster Stelle erscheinen.

Die drei umgekehrten Diagonalen sind wiederum diejenigen, die zuerst hinten erscheinen.

Somit scheinen die Diagonalen in einer visuellen Art und Weise, ohne die Auflösung der Determinante zu komplizieren, um herauszufinden, welche Elemente der Matrix zu jedem diagonalen gehören.

Wie es im Bild erscheint, wählen wir die Diagonalen und berechnen das resultierende Produkt jeder Funktion. Die blau dargestellten Diagonalen sind diejenigen, die sich addieren. Zur Summe ziehen wir den Wert der rot dargestellten Diagonalen ab.

Um die Komprimierung zu vereinfachen, können wir anstelle von algebraischen Termen und Unterbegriffen ein Zahlenbeispiel verwenden.

Wenn wir irgendeine 3 × 3-Matrix nehmen, zum Beispiel:

Um die Sarrus-Regel anzuwenden und sie auf eine visuellere Weise zu lösen, sollten wir Zeile 1 und 2 als Zeile 4 bzw. 5 einschließen. Es ist wichtig, die Reihe 1 in der 4. Position und die 2. in der 5. Position zu halten. Denn wenn wir sie austauschen, wird die Sarrus-Regel nicht wirksam sein.

Um die Determinante zu berechnen, würde unsere Matrix wie folgt aussehen:

Um mit der Berechnung fortzufahren, multiplizieren wir die Elemente der Hauptdiagonalen. Die absteigenden, die von links beginnen, werden ein positives Zeichen annehmen; während die umgekehrten Diagonalen, die rechts beginnen, ein negatives Vorzeichen tragen.

In diesem Beispiel würden die blauen mit einem positiven Vorzeichen und die roten mit einem negativen Vorzeichen gehen. Die endgültige Berechnung der Sarrus-Regel würde so aussehen:

Arten von Determinanten

Determinante der Dimension 1

Wenn die Dimension der Matrix 1 ist, ist die Matrix wie folgt: A = (a)

Daher wäre seine Determinante wie folgt: det (A) = | A | = a

Zusammenfassend ist die Determinante der Matrix A gleich dem Absolutwert der Matrix A, die in diesem Fall a ist.

Determinante der Dimension 2

Wenn wir zu Matrizen der Dimension 2 gehen, erhalten wir Matrizen des Typs:

Wo seine Determinante definiert ist als:

Die Auflösung dieser Determinante basiert auf der Multiplikation ihrer Hauptdiagonalen und subtrahiert das Produkt von seiner inversen Diagonalen.

Als eine mnemonische Regel können wir das folgende Diagramm verwenden, um sich an seine Determinante zu erinnern:

Determinante der Dimension 3

Wenn die Dimension der Matrix 3 ist, wäre die resultierende Matrix von diesem Typ:

Die Determinante dieser Matrix würde auf diese Weise durch die Sarrus-Regel gelöst:

Referenzen

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