Technische Zähltechniken, Anwendungen und Beispiele

Die Zähltechniken sind eine Reihe von Wahrscheinlichkeitsmethoden zum Zählen der möglichen Anzahl von Anordnungen innerhalb eines Satzes oder mehrerer Sätze von Objekten. Diese werden verwendet, wenn die Konten aufgrund der großen Anzahl von Objekten und / oder Variablen manuell kompliziert werden.

Zum Beispiel ist die Lösung für dieses Problem sehr einfach: Stellen Sie sich vor, dass Ihr Chef Sie auffordert, die letzten Produkte zu zählen, die in der letzten Stunde angekommen sind. In diesem Fall könnten Sie die Produkte nacheinander zählen.

Stellen Sie sich jedoch vor, dass das Problem darin besteht, dass Ihr Chef Sie auffordert zu zählen, wie viele Gruppen von 5 Produkten des gleichen Typs mit denen gebildet werden können, die die letzte Stunde erreicht haben. In diesem Fall ist die Berechnung kompliziert. Für diese Art von Situation werden die sogenannten Zähltechniken verwendet.

Diese Techniken sind mehrere, aber die wichtigsten sind in zwei Grundprinzipien unterteilt, die multiplikativ und additiv sind; Permutationen und Kombinationen.

Index

• 1 multiplikatives Prinzip
  • 1.1 Anwendungen
  • 1.2 Beispiel
• 2 Zusatzprinzip
  • 2.1 Anwendungen
  • 2.2 Beispiel
• 3 Permutationen
  • 3.1 Anwendungen
  • 3.2 Beispiel
• 4 Kombinationen
  • 4.1 Anwendungen
  • 4.2 Beispiel
• 5 Referenzen

Multiplikatives Prinzip

Anwendungen

Das multiplikative Prinzip zusammen mit dem Additiv ist grundlegend, um die Funktionsweise von Zähltechniken zu verstehen. Im Fall des Multiplikativs besteht es aus Folgendem:

Stellen Sie sich eine Aktivität vor, die eine bestimmte Anzahl von Schritten beinhaltet (die Summe ist mit "r" markiert), wobei der erste Schritt aus N1-Formen, der zweite Schritt aus N2 und der Schritt "r" aus Nr-Formen bestehen können. In diesem Fall könnte die Aktivität aus der Anzahl von Formen, die sich aus dieser Operation ergeben, durchgeführt werden: N1 × N2 × ... .x Nr-Formen

Deshalb wird dieses Prinzip als multiplikativ bezeichnet und impliziert, dass jeder einzelne der Schritte, die zur Ausführung der Aktivität erforderlich sind, nacheinander ausgeführt werden muss.

Beispiel

Stellen wir uns eine Person vor, die eine Schule bauen möchte. Denken Sie daran, dass die Basis des Gebäudes auf zwei verschiedene Arten gebaut werden kann, Zement oder Beton. Die Wände können aus Lehm, Zement oder Ziegeln bestehen.

Wie für das Dach kann es aus Zement oder verzinktem Blech gebaut werden. Schließlich kann das abschließende Gemälde nur auf eine Art gemacht werden. Es stellt sich folgende Frage: Wie viele Wege muss die Schule bauen?

Zuerst betrachten wir die Anzahl der Stufen, die die Basis, die Wände, das Dach und das Gemälde bilden würden. Insgesamt 4 Schritte, also r = 4.

Die nächste Sache wäre, das N aufzulisten:

N1 = Möglichkeiten zum Erstellen der Basis = 2

N2 = Möglichkeiten, die Wände zu bauen = 3

N3 = Möglichkeiten, das Dach = 2 zu machen

N4 = Möglichkeiten, Farbe = 1 zu machen

Daher würde die Anzahl der möglichen Formen durch die oben beschriebene Formel berechnet:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 Schularten.

Additives Prinzip 

Anwendungen

Dieser Grundsatz ist sehr einfach und besteht darin, daß die möglichen Formen bei mehreren Alternativen zur Durchführung derselben Tätigkeit in der Summe der verschiedenen Möglichkeiten zur Verwirklichung aller Alternativen bestehen.

Mit anderen Worten, wenn wir eine Aktivität mit drei Alternativen durchführen wollen, wobei die erste Alternative in M ​​Formen, die zweite in N Formen und die letzte in W Formen ausgeführt werden kann, kann die Aktivität in folgenden Formen erfolgen: M + N + ... + W Formen .

Beispiel

Stellen Sie sich eine Person vor, die einen Tennisschläger kaufen möchte. Dafür stehen drei Marken zur Auswahl: Wilson, Babolat oder Head.

Als er in den Laden geht, sieht er, dass der Wilson Schläger mit dem Griff in zwei verschiedenen Größen, L2 oder L3, in vier verschiedenen Modellen gekauft werden kann und ohne Bespannungen gespannt werden kann.

Der Babolat Schläger hingegen hat drei Griffe (L1, L2 und L3), es gibt zwei verschiedene Modelle und er kann auch besaitet oder ohne Bespannung sein.

Der Head-Schläger hingegen ist nur mit einem Griff, dem L2, in zwei verschiedenen Modellen und nur ohne Bespannung. Die Frage ist: Wie viele Möglichkeiten hat diese Person, um seinen Schläger zu kaufen?

M = Anzahl der Möglichkeiten, einen Wilson-Schläger auszuwählen

N = Anzahl der Möglichkeiten, einen Babolat-Schläger auszuwählen

W = Anzahl der Möglichkeiten, einen Head Racket auszuwählen

Wir machen das Multiplikations-Prinzip:

M = 2 x 4 x 2 = 16 Formen

N = 3 x 2 x 2 = 12 Formen

W = 1 x 2 x 1 = 2 Formen

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 Möglichkeiten, einen Schläger zu wählen.

Um zu wissen, wann man das multiplikative Prinzip und das Additiv anwenden soll, muss man sich nur anschauen, ob die Aktivität eine Reihe von Schritten hat, und ob es mehrere Alternativen gibt, das Additiv.

Permutationen

Anwendungen

Um zu verstehen, was eine Permutation ist, ist es wichtig zu erklären, was eine Kombination ist, um sie zu unterscheiden und zu wissen, wann sie verwendet werden soll.

Eine Kombination wäre eine Anordnung von Elementen, in der wir nicht an der Position interessiert sind, die jeder von ihnen einnimmt.

Eine Permutation hingegen wäre eine Anordnung von Elementen, in der wir an der Position interessiert sind, die jeder von ihnen einnimmt.

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, um den Unterschied besser zu verstehen.

Beispiel

Stellen Sie sich eine Klasse mit 35 Studenten vor und mit folgenden Situationen:

1. Der Lehrer möchte, dass drei seiner Schüler ihm helfen, die Klasse sauber zu halten oder Materialien an die anderen Schüler zu liefern, wenn er sie braucht.
2. Der Lehrer möchte die Klassendelegierten (einen Präsidenten, einen Assistenten und einen Finanzier) ernennen.

Die Lösung wäre wie folgt:

1. Stellen Sie sich vor, Juan, María und Lucía werden ausgewählt, um die Klasse zu reinigen oder die Materialien zu liefern. Offensichtlich hätten sich andere Gruppen von drei Personen unter den 35 möglichen Studenten bilden können.

Wir müssen uns folgendes fragen: Ist die Reihenfolge oder die Position, die jeder der Schüler zum Zeitpunkt der Auswahl spielt, wichtig?

Wenn wir darüber nachdenken, sehen wir, dass es wirklich nicht wichtig ist, da die Gruppe sich um beide Aufgaben gleichermaßen kümmern wird. In diesem Fall ist es eine Kombination, da wir nicht an der Position der Elemente interessiert sind.

2. Stellen Sie sich jetzt vor, dass John als Präsident, Maria als Assistentin und Lucia als Finanzministerin gewählt wird.

Wäre die Bestellung in diesem Fall von Bedeutung? Die Antwort ist Ja, denn wenn wir die Elemente ändern, ändert sich das Ergebnis. Das heißt, wenn statt Juan als Präsident, wir ihn als Assistent und Maria als Präsident stellen würden, würde sich das Endergebnis ändern. In diesem Fall ist es eine Permutation.

Sobald der Unterschied verstanden ist, erhalten wir die Formeln von Permutationen und Kombinationen. Zuerst müssen wir jedoch den Ausdruck "n!" (Faktorial) definieren, da er in den verschiedenen Formeln verwendet wird.

n! = zum Produkt von 1 bis n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Verwenden Sie es mit reellen Zahlen:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Die Formel der Permutationen wäre die folgende:

nPr = n! / (n-r)!

Damit können wir herausfinden, wo die Reihenfolge wichtig ist und wo die n Elemente unterschiedlich sind.

Kombinationen

Anwendungen

Wie bereits erwähnt, handelt es sich bei den Kombinationen um Anordnungen, bei denen die Position der Elemente keine Rolle spielt.

Seine Formel ist die folgende:

nCr = n! / (n-r)! r!

Beispiel

Wenn es 14 Schüler gibt, die sich freiwillig zur Reinigung des Klassenzimmers melden, wie viele Reinigungsgruppen kann jede Gruppe von 5 Personen bilden?

Die Lösung wäre daher die folgende:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 Gruppen

Referenzen 

1. Jeffrey, R. C.,Wahrscheinlichkeit und die Kunst des Urteils, Cambridge Universitätspresse. (1992).
2. William Feller, "Eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen(Vol. 1), 3. Ausgabe, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logische Grundlagen und Messung der subjektiven Wahrscheinlichkeit". Psychologisches Gesetz.
4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004).Einführung in die mathematische Statistik (6. Ausgabe). Obersattel River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001)Die Wissenschaft der Vermutung: Beweise und Wahrscheinlichkeit vor Pascal,Johns Hopkins Universitätspresse.