Teilen Sie dies:
Berechnung von Approximationen mit dem Differential
Eine Näherung in der Mathematik ist eine Zahl, die nicht der genaue Wert von etwas ist, aber so nahe ist, dass sie als genau so nützlich angesehen wird.
Wenn Annäherungen in der Mathematik gemacht werden, liegt es daran, dass es manuell schwierig ist (oder manchmal unmöglich), den genauen Wert dessen zu wissen, was gewünscht wird.
Das Hauptwerkzeug beim Arbeiten mit Approximationen ist das Differential einer Funktion.
Die Differenz einer Funktion f, bezeichnet mit Δf (x), ist nicht mehr als die Ableitung der Funktion f multipliziert mit der Änderung der unabhängigen Variablen, dh Δf (x) = f '(x) · Δx.
Manchmal werden df und dx anstelle von Δf und Δx verwendet.
Approximationen mit dem Differential
Die Formel, die angewandt wird, um eine Annäherung durch das Differential zu machen, ergibt sich nur aus der Definition der Ableitung einer Funktion als eine Grenze.
Diese Formel ist gegeben durch:
f (x) ≈ f (x 0) + f '(x 0) · (x - x 0) = f (x 0) + f' (x 0) · Δ x.
Hier ist zu verstehen, dass Δx = x-x0, also x = x0 + Δx. Damit kann die Formel als neu geschrieben werden
f (x0 + Δx) ≈f (x0) + f '(x0) · Δx.
Es sollte angemerkt werden, dass "x0" kein willkürlicher Wert ist, sondern ein Wert, so dass f (x0) leicht bekannt ist; Außerdem ist "f (x)" genau der Wert, den wir annähern wollen.
Gibt es bessere Ansätze?
Die Antwort ist ja. Die vorherige ist die einfachste der Approximationen, die "lineare Approximation" genannt wird.
Für bessere Qualitätsnäherungen (der Fehler ist geringer) werden Polynome mit mehr Ableitungen verwendet, die "Taylorpolynome" genannt werden, sowie andere numerische Verfahren, wie beispielsweise die Newton-Raphson-Methode.
Strategie
Die folgende Strategie ist:
- Wählen Sie eine geeignete Funktion f, um die Approximation durchzuführen, und den Wert "x", so dass f (x) der zu approximierende Wert ist.
- Wählen Sie einen Wert "x0", nahe bei "x", so dass das f (x0) einfach zu berechnen ist.
- Berechnen Sie Δx = x-x0.
- Berechnen Sie die Ableitung der Funktion und f '(x0).
- Ersetzen Sie die Daten in der Formel.
Gelöste Näherungsübungen
In dem, was weitergeht, gibt es eine Reihe von Übungen, bei denen Näherungen mit dem Differential gemacht werden.
Erste Übung
Ungefähr √3.
Lösung
Nach der Strategie muss eine geeignete Funktion gewählt werden. In diesem Fall kann man sehen, dass die zu wählende Funktion f (x) = √x und der ungefähre Wert f (3) = √3 ist.
Jetzt müssen wir einen Wert "x0" nahe "3" wählen, so dass f (x0) leicht zu berechnen ist. Wenn Sie "x0 = 2" wählen, bedeutet das, dass "x0" nahe "3" ist, aber f (x0) = f (2) = √2 ist nicht einfach zu berechnen.
Der geeignete Wert von "x0" ist "4", weil "4" nahe "3" ist und auch f (x0) = f (4) = √4 = 2.
Wenn "x = 3" und "x0 = 4", dann ist Δx = 3-4 = -1. Jetzt fahren wir fort, die Ableitung von f zu berechnen. Das heißt, f '(x) = 1/2 * √x, so dass f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.
Wenn Sie alle Werte in der Formel ersetzen, erhalten Sie:
√3 = f (3) ∙ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.
Wenn ein Taschenrechner verwendet wird, wird erhalten, dass √3≈1.73205 ... Dies zeigt, dass das vorhergehende Ergebnis eine gute Annäherung an den tatsächlichen Wert ist.
Zweite Übung
Ungefähr √10.
Lösung
Wie zuvor wird es als eine Funktion f (x) = √x und in diesem Fall x = 10 gewählt.
Der Wert von x0, der zu diesem Zeitpunkt gewählt werden muss, ist "x0 = 9". Wir haben dann Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 und f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.
Bei der Auswertung in der Formel bekommst du das
√10 = f (10) ÷ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...
Mit einem Taschenrechner erhalten Sie das √10 ≈ 3.1622776 ... Hier sehen Sie auch, dass vorher eine gute Näherung erhalten wurde.
Dritte Übung
Ungefähr ³√10, wobei √ die Kubikwurzel bezeichnet.
Lösung
Offensichtlich ist die Funktion, die in dieser Übung verwendet werden sollte, f (x) = ³√x und der Wert von "x" muss "10" sein.
Ein Wert nahe "10", so dass seine Kubikwurzel bekannt ist, ist "x0 = 8". Dann haben wir das Δx = 10-8 = 2 und f (x0) = f (8) = 2. Wir haben auch das f '(x) = 1/3 * ³√x² und folglich f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.
Durch Einsetzen der Daten in die Formel wird Folgendes erhalten:
³√10 = f (10) ÷ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ....
Der Rechner sagt, ³√10 ≈ 2.15443469 ... Daher ist die gefundene Näherung gut.
Vierte Übung
Approximal ln (1.3), wobei "ln" die natürliche Logarithmusfunktion bezeichnet.
Lösung
Zuerst wird die Funktion f (x) = ln (x) gewählt und der Wert von "x" ist 1,3. Wenn wir nun etwas über die Logarithmusfunktion wissen, können wir wissen, dass ln (1) = 0 ist und auch "1" nahe bei "1,3" liegt.Daher wird "x0 = 1" gewählt und so ist Δx = 1,3 - 1 = 0,3.
Auf der anderen Seite ist f '(x) = 1 / x, so dass f' (1) = 1 ist. Bei der Bewertung in der gegebenen Formel müssen Sie:
ln (1.3) = f (1.3) 0 + 1 * 0.3 = 0.3.
Wenn Sie einen Taschenrechner benutzen, müssen Sie ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Also die Approximation ist gut.
Referenzen
- Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Vorcalculus Mathematik. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Vorcalculus Mathematik: ein Problemlösungsansatz (2, Illustrierte Ausgabe). Michigan: Prentice Hall.
- Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
- Larson, R. (2010). Vorkalkulus (8 ed.). Cengage-Lernen
- Leal, J. M. & Viloria, N. G. (2005). Flache analytische Geometrie. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.
- Pérez, C. D. (2006). Vorberechnung Pearson Ausbildung.
- Purcell, E.J., Varberg, D., und Rigdon, S.E. (2007). Berechnung (Neunte Ausgabe). Prentice Hall.
- Saenz, J. (2005). Differentialrechnung mit frühen transzendentalen Funktionen für Wissenschaft und Technik (Zweite Ausgabe ed.). Hypotenuse.
- Scott, C. A. (2009). Kartesische Flächengeometrie, Teil: Analytische Kegelschnitte (1907) (Nachdruck ed.). Blitzquelle
- Sullivan, M. (1997). Vorberechnung Pearson Ausbildung.