Wie bekomme ich ein Pentagon-Gebiet?

Die Die Fläche eines Fünfecks wird berechnet durch eine als Triangulation bekannte Methode, die auf jedes Polygon angewendet werden kann. Diese Methode besteht darin, das Fünfeck in mehrere Dreiecke aufzuteilen.

Danach wird die Fläche jedes Dreiecks berechnet und schließlich alle gefundenen Bereiche hinzugefügt. Das Ergebnis wird die Fläche des Pentagons sein.

Das Fünfeck könnte auch in andere geometrische Formen, wie ein Trapez und ein Dreieck, wie die Abbildung rechts, unterteilt werden.

Das Problem ist, dass die Länge der Hauptbasis und die Höhe des Trapezes nicht einfach zu berechnen sind. Zusätzlich muss die Höhe des roten Dreiecks berechnet werden.

Wie berechnet man die Fläche eines Fünfecks?

Die allgemeine Methode zur Berechnung der Fläche eines Fünfecks ist Triangulation, aber die Methode kann direkt oder etwas länger sein, abhängig davon, ob das Fünfeck regelmäßig ist oder nicht.

Fläche eines regulären Fünfecks

Bevor man das Gebiet berechnet, ist es notwendig zu wissen, was das Apothem ist.

Das Apothem eines regulären Fünfecks (reguläres Polygon) ist der kleinste Abstand von der Mitte des Fünfecks (Polygon) zum Mittelpunkt einer Seite des Fünfecks (Polygon).

Mit anderen Worten, das Apothem ist die Länge des Liniensegments, das von der Mitte des Fünfecks zum Mittelpunkt einer Seite geht.

Betrachten Sie ein regelmäßiges Fünfeck, so dass die Länge seiner Seiten "L" ist. Um Ihr Apothem zu berechnen, teilen Sie zuerst den zentralen Winkel α zwischen der Anzahl der Seiten, dh α = 360º / 5 = 72º.

Nun wird unter Verwendung der trigonometrischen Verhältnisse die Länge des Apothems berechnet, wie in dem folgenden Bild gezeigt.

Daher hat das Apothem eine Länge von L / 2 tan (36 °) = L / 1,45.

Wenn man das Pentagon trianguliert, erhält man eine Figur wie die folgende.

Die 5 Dreiecke haben die gleiche Fläche (weil es ein regelmäßiges Fünfeck ist). Daher ist die Fläche des Fünfecks 5 mal die Fläche eines Dreiecks. Das heißt: Fläche eines Fünfecks = 5 * (L * ap / 2).

Setzen wir den Wert des Apothems ein, erhalten wir, dass die Fläche A = 1.72 * L² ist.

Um die Fläche eines regulären Fünfecks zu berechnen, müssen Sie daher nur die Länge einer Seite kennen.

Fläche eines unregelmäßigen Fünfecks

Es beginnt mit einem unregelmäßigen Fünfeck, so dass die Seitenlängen L1, L2, L3, L4 und L5 sind. In diesem Fall kann das Apothem nicht wie zuvor verwendet werden.

Nach der Triangulation erhalten Sie eine Zahl wie die folgende:

Jetzt fahren wir fort, die Höhen dieser 5 inneren Dreiecke zu zeichnen und zu berechnen.

Dann sind die Bereiche der inneren Dreiecke T1 = L1 · h1 / 2, T2 = L2 · h2 / 2, T3 = L3 · h3 / 2, T4 = L4 · h4 / 2 und T5 = L5 · h5 / 2.

Die Werte, die h1, h2, h3, h4 und h5 entsprechen, sind die Höhen jedes Dreiecks.

Schließlich ist die Fläche des Pentagons die Summe dieser 5 Bereiche. Das heißt, A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Wie Sie sehen können, ist die Berechnung der Fläche eines unregelmäßigen Fünfecks komplexer als die Berechnung der Fläche eines regulären Fünfecks.

Determinante von Gauss

Es gibt auch eine andere Methode, mit der Sie die Fläche eines unregelmäßigen Polygons berechnen können, die als Gaußsche Determinante bezeichnet wird.

Bei dieser Methode wird das Polygon in der kartesischen Ebene gezeichnet. Anschließend werden die Koordinaten jedes Scheitelpunkts berechnet.

Die Scheitelpunkte werden gegen den Uhrzeigersinn aufgelistet, und schließlich werden bestimmte Determinanten berechnet, um schließlich die Fläche des fraglichen Polygons zu erhalten.

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