Was ist die Summe der Quadrate zweier fortlaufender Zahlen?

Zu wissen was ist die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender Zahlen?, können Sie eine Formel finden, mit der es ausreicht, die beteiligten Zahlen zu ersetzen, um das Ergebnis zu erhalten.

Diese Formel kann allgemein gefunden werden, dh sie kann für jedes Paar aufeinanderfolgender Zahlen verwendet werden.

Wenn man "fortlaufende Zahlen" sagt, sagt man implizit, dass beide Zahlen ganze Zahlen sind. Und von "den Quadraten" zu sprechen, bezieht sich auf das Quadrat jeder Zahl.

Zum Beispiel, wenn die Zahlen 1 und 2 betrachtet werden, sind ihre Quadrate 1² = 1 und 2² = 4, daher ist die Summe der Quadrate 1 + 4 = 5.

Auf der anderen Seite, wenn die Zahlen 5 und 6 genommen werden, sind ihre Quadrate 5² = 25 und 6² = 36, wobei die Summe der Quadrate 25 + 36 = 61 ist.

Was ist die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender Zahlen?

Das Ziel besteht nun darin, zu verallgemeinern, was in den vorherigen Beispielen gemacht wurde. Dazu ist es notwendig, einen allgemeinen Weg zu finden, eine ganze Zahl und ihre fortlaufende ganze Zahl zu schreiben.

Wenn zwei aufeinanderfolgende Ganzzahlen beobachtet werden, zum Beispiel 1 und 2, kann man sehen, dass 2 als 1 + 1 geschrieben werden kann. Wenn wir uns die Zahlen 23 und 24 ansehen, schließen wir, dass 24 als 23 + 1 geschrieben werden kann.

Bei negativen ganzen Zahlen kann dieses Verhalten ebenfalls verifiziert werden. Wenn Sie also -35 und -36 betrachten, können Sie sehen, dass -35 = -36 + 1.

Wenn eine ganze Zahl "n" gewählt wird, ist daher die Ganzzahl, die auf "n" folgt, "n + 1". Somit wurde bereits eine Beziehung zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ganzzahlen hergestellt.

Was ist die Summe der Quadrate?

Wenn zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen "n" und "n + 1" gegeben sind, dann sind ihre Quadrate "n²" und "(n + 1) ²". Unter Verwendung der Eigenschaften von bemerkenswerten Produkten kann dieser letzte Ausdruck wie folgt geschrieben werden:

(n + 1) ² = n² + 2 · n · 1 + 1² = n² + 2n + 1.

Schließlich ist die Summe der Quadrate der zwei aufeinanderfolgenden Zahlen durch den Ausdruck gegeben:

n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n + 1 = 2n (n + 1) +1.

Wenn die vorherige Formel detailliert ist, kann man sehen, dass es ausreicht, die kleinste ganze Zahl "n" zu kennen, um zu wissen, wie die Summe der Quadrate ist, das heißt, es ist ausreichend, die kleinere der beiden ganzen Zahlen zu verwenden.

Eine andere Perspektive der erhaltenen Formel ist: die gewählten Zahlen werden multipliziert, dann wird das erhaltene Ergebnis mit 2 multipliziert und schließlich wird 1 addiert.

Auf der anderen Seite ist der erste Summand auf der rechten Seite eine gerade Zahl, und wenn Sie 1 addieren, wird das Ergebnis ungerade sein. Dies besagt, dass das Ergebnis der Addition der Quadrate zweier aufeinanderfolgender Zahlen immer eine ungerade Zahl ist.

Es kann auch angemerkt werden, dass, da zwei quadratische Zahlen hinzugefügt werden, dieses Ergebnis immer positiv ist.

Beispiele

1.- Betrachte die ganzen Zahlen 1 und 2. Die kleinste ganze Zahl ist 1. Mit der obigen Formel folgern wir, dass die Summe der Quadrate wie folgt ist: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4+ 1 = 5. Was mit den zu Beginn gemachten Abrechnungen übereinstimmt.

2.- Wenn die ganzen Zahlen 5 und 6 genommen werden, dann ist die Summe der Quadrate 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, was auch mit dem zu Beginn erhaltenen Ergebnis übereinstimmt.

3.- Wenn die Ganzzahlen -10 und -9 gewählt werden, dann ist die Summe ihrer Quadrate: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Lassen Sie die ganzen Zahlen in dieser Gelegenheit -1 und 0, dann ist die Summe ihrer Quadrate gegeben durch 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

Referenzen

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