Wie viele Lösungen hat eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung oder eine Gleichung zweiten Grades kann null, eine oder zwei reelle Lösungen haben, abhängig von den Koeffizienten, die in der Gleichung erscheinen.

Wenn Sie an komplexen Zahlen arbeiten, können Sie sagen, dass jede quadratische Gleichung zwei Lösungen hat.

Um eine quadratische Gleichung zu starten, ist eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und x eine Variable ist.

Es wird gesagt, dass x1 eine Lösung der vorherigen quadratischen Gleichung ist, wenn das Ersetzen von x durch x1 die Gleichung erfüllt, das heißt, wenn a (x1) ² + b (x1) + c = 0 ist.

Wenn wir zum Beispiel die Gleichung x²-4x + 4 = 0 haben, dann ist x1 = 2 die Lösung, da (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0 ist.

Im Gegensatz dazu, wenn x2 = 0 substituiert ist, erhalten wir (0) ²-4 (0) + 4 = 4 und als 4 ≠ 0 ist dann x2 = 0 keine Lösung der quadratischen Gleichung.

Lösungen einer quadratischen Gleichung

Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung kann in zwei Fälle unterteilt werden:

1.- In den reellen Zahlen

Wenn Sie mit reellen Zahlen arbeiten, können quadratische Gleichungen haben:

-Fünf Lösungen: Das heißt, es gibt keine reelle Zahl, die die quadratische Gleichung erfüllt. Zum Beispiel ist die Gleichung gegeben durch die Gleichung x² + 1 = 0, es gibt keine reelle Zahl, die diese Gleichung erfüllt, da sowohl x² größer als oder gleich Null ist und 1 strenger als Null ist, so daß ihre Summe größer wird streng diese Null.

Eine wiederholte Lösung: Es gibt einen einzigen realen Wert, der die quadratische Gleichung erfüllt. Zum Beispiel ist die einzige Lösung für die Gleichung x²-4x + 4 = 0 x1 = 2.

- Zwei verschiedene Lösungen: Es gibt zwei Werte, die die quadratische Gleichung erfüllen. Zum Beispiel hat x² + x-2 = 0 zwei verschiedene Lösungen, die x1 = 1 und x2 = -2 sind.

2.- In den komplexen Zahlen

Wenn mit komplexen Zahlen gearbeitet wird, haben die quadratischen Gleichungen immer zwei Lösungen, die z1 und z2 sind, wobei z2 das Konjugat von z1 ist. Zusätzlich können sie klassifiziert werden in:

-Komplexe: die Lösungen haben die Form z = p ± qi, wobei p und q reelle Zahlen sind. Dieser Fall entspricht dem ersten Fall der vorherigen Liste.

-Vollständige Komplexe: ist, wenn der reelle Teil der Lösung gleich Null ist, das heißt, die Lösung hat die Form z = ± qi, wobei q eine reelle Zahl ist. Dieser Fall entspricht dem ersten Fall der vorherigen Liste.

-Komplexe mit Imaginärteil gleich Null: ist, wenn der komplexe Teil der Lösung gleich Null ist, das heißt, die Lösung ist eine reelle Zahl. Dieser Fall entspricht den letzten beiden Fällen der vorherigen Liste.

Wie werden die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnet?

Um die Lösungen einer quadratischen Gleichung zu berechnen, wird eine als "Resolver" bekannte Formel verwendet, die besagt, dass die Lösungen einer Gleichung ax² + bx + c = 0 durch den Ausdruck des folgenden Bildes gegeben sind:

Die Größe, die innerhalb der Quadratwurzel erscheint, wird die Diskriminante der quadratischen Gleichung genannt und ist mit dem Buchstaben "d" bezeichnet.

Die quadratische Gleichung wird haben:

- Zwei echte Lösungen wenn und nur wenn d> 0.

-Eine echte Lösung, die genau dann wiederholt wird, wenn d = 0 ist.

Fünf echte Lösungen (oder zwei komplexe Lösungen) wenn und nur wenn d <0.

Beispiele:

-Die Lösungen der Gleichung x² + x-2 = 0 sind gegeben durch:

-Die Gleichung x²-4x + 4 = 0 hat eine wiederholte Lösung, die gegeben ist durch:

-Die Lösungen der Gleichung x² + 1 = 0 sind gegeben durch:

Wie in diesem letzten Beispiel gesehen werden kann, ist x2 das Konjugat von x1.

Referenzen

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