Algebraische Derivate (mit Beispielen)

Die algebraische Derivate sie bestehen in der Untersuchung der Ableitung im besonderen Fall der algebraischen Funktionen. Der Ursprung des Begriffs der Ableitung geht auf das antike Griechenland zurück. Die Entwicklung dieses Begriffs wurde durch die Notwendigkeit motiviert, zwei wichtige Probleme zu lösen, eines in der Physik und eines in der Mathematik.

In der Physik löst die Ableitung das Problem der Bestimmung der momentanen Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts. In der Mathematik können Sie die Tangente zu einer Kurve an einem bestimmten Punkt finden.

Obwohl es wirklich viel mehr Probleme gibt, die durch die Verwendung des Derivats sowie seiner Verallgemeinerungen gelöst werden, kam es später zu der Einführung seines Konzepts.

Die Pioniere der Differentialrechnung sind Newton und Leibniz. Bevor wir die formale Definition geben, werden wir die Idee dahinter aus der mathematischen und physikalischen Perspektive entwickeln.

Index

• 1 Die Ableitung als Steigung der Tangente an eine Kurve
• 2 Die Ableitung als momentane Geschwindigkeit eines bewegten Objekts
  • 2.1 Algebraische Funktion
• 3 Ableitungsregeln
  • 3.1 Abgeleitet von einer Konstante
  • 3.2 Ableitung einer Macht
  • 3.3 Abgeleitet von Addition und Subtraktion
  • 3.4 Derivat eines Produkts
  • 3.5 Abgeleitet von einem Quotienten
  • 3.6 Regel der Kette
• 4 Referenzen

Die Ableitung als Steigung der Tangente an eine Kurve

Angenommen, der Graph einer Funktion y = f (x) ist ein kontinuierlicher Graph (ohne Spitzen oder Scheitelpunkte oder Separationen) und sei A = (a, f (a)) ein fester Punkt auf ihm. Wir wollen die Gleichung der Tangente zum Graphen der Funktion f im Punkt A finden.

Nimm einen anderen Punkt P = (x, f (x)) des Graphen nahe dem Punkt A und zeichne die Sekantenlinie, die durch A und P verläuft. Eine Sekantenlinie ist eine Linie, die den Graphen einer Kurve in einem schneidet oder mehr Punkte.

Um die gewünschte Tangentenlinie zu erhalten, müssen wir nur die Steigung berechnen, da wir bereits einen Punkt auf der Linie haben: Punkt A.

Wenn wir den Punkt P entlang des Graphen bewegen und ihn näher und näher zum Punkt A bringen, nähert sich die oben erwähnte Sekantenlinie der Tangentenlinie, die wir finden wollen. Nimmt man die Grenze, wenn "P zu A tendiert", fallen beide Linien zusammen, also auch ihre Steigungen.

Die Steigung der Sekantenlinie ist gegeben durch

Zu sagen, dass P sich A nähert, ist gleichbedeutend damit, dass "x" sich "a" nähert. Somit ist die Steigung der Tangente zum Graphen von f am Punkt A gleich:

Der obige Ausdruck wird mit f '(a) bezeichnet und ist als Ableitung einer Funktion f am Punkt "a" definiert. Wir sehen dann, dass analytisch die Ableitung einer Funktion in einem Punkt eine Grenze ist, aber geometrisch ist es die Steigung der Linie, die den Graphen der Funktion im Punkt berührt.

Jetzt werden wir diesen Begriff aus der Sicht der Physik sehen. Wir werden zu dem gleichen Ausdruck der vorherigen Grenze gelangen, wenn auch auf andere Weise, um die Einstimmigkeit der Definition zu erhalten.

Die Ableitung als momentane Geschwindigkeit eines bewegten Objekts

Sehen wir uns ein kurzes Beispiel an, was Instant Speed ​​bedeutet. Wenn zum Beispiel gesagt wird, dass ein Auto, um ein Ziel zu erreichen, dies mit einer Geschwindigkeit von 100 km pro Stunde tat, was bedeutet, dass es in einer Stunde 100 km zurücklegte.

Das bedeutet nicht unbedingt, dass das Auto während der ganzen Stunde immer 100 km entfernt war, der Tacho des Autos könnte in einigen Momenten weniger oder mehr markieren. Wenn er an einer Ampel anhalten musste, war die Geschwindigkeit in diesem Moment 0 km. Nach einer Stunde war die Route jedoch 100 km.

Dies ist die sogenannte Durchschnittsgeschwindigkeit und ergibt sich aus dem Quotienten der zurückgelegten Strecke zwischen der verstrichenen Zeit, wie wir gerade gesehen haben. Die augenblickliche Geschwindigkeit hingegen ist diejenige, die die Nadel des Tachometers eines Autos in einem bestimmten Moment (Zeit) markiert.

Schauen wir uns das jetzt allgemeiner an. Angenommen, ein Objekt bewegt sich entlang einer Linie, und diese Verschiebung wird durch die Gleichung s = f (t) dargestellt, wobei die Variable t die Zeit und die Variable s die Verschiebung unter Berücksichtigung ihres Anfangs in der Zeitpunkt t = 0, zu diesem Zeitpunkt ist es auch Null, das heißt f (0) = 0.

Diese Funktion f (t) ist als Positionsfunktion bekannt.

Es wird ein Ausdruck für die momentane Geschwindigkeit des Objekts zu einem festen Zeitpunkt "a" gesucht. Bei dieser Geschwindigkeit werden wir es mit V (a) bezeichnen.

Sei t irgendein Moment, der dem Moment "a" nahe kommt. In dem Zeitintervall zwischen "a" und "t" ist die Änderung der Position des Objekts durch f (t) - f (a) gegeben.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit in diesem Zeitintervall ist:

Dies ist eine Annäherung an die momentane Geschwindigkeit V (a). Diese Annäherung wird besser sein, wenn t näher an "a" kommt. Daher

Beachten Sie, dass dieser Ausdruck dem aus dem vorherigen Fall entspricht, aber aus einer anderen Perspektive. Dies ist bekannt als die Ableitung einer Funktion f an einem Punkt "a" und mit f '(a) bezeichnet, wie oben erwähnt.

Beachten Sie, dass wir, wenn wir die Änderung h = x-a machen, dass "x" zu "a" tendiert, "h" zu 0 tendiert und dass die vorherige Grenze (in äquivalenter Weise) transformiert wird zu:

Beide Ausdrücke sind äquivalent, aber manchmal ist es besser, je nach Fall einen anstelle des anderen zu verwenden.

Die Ableitung einer Funktion f ist dann allgemeiner definiert an jedem Punkt "x", der zu ihrer Domäne gehört

Die gebräuchlichste Notation zur Darstellung der Ableitung einer Funktion y = f (x) ist diejenige, die wir gerade gesehen haben (f 'o und'). Eine andere weit verbreitete Notation ist jedoch die Leibniz-Notation, die als einer der folgenden Ausdrücke dargestellt wird:

Da das Derivat im Wesentlichen eine Grenze ist, kann es sein oder nicht, weil Grenzen nicht immer existieren. Wenn es existiert, wird gesagt, dass die in Frage stehende Funktion an dem gegebenen Punkt differenzierbar ist.

Algebraische Funktion

Eine algebraische Funktion ist eine Kombination von Polynomen mittels Summen, Subtraktionen, Produkten, Quotienten, Potenzen und Radikalen.

Ein Polynom ist ein Ausdruck der Form

P_n= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ a_n-2x^n-2+ ... + a₂x²+ a₁x + a₀

Wo n ist eine natürliche Zahl und alle a_ich, mit i = 0,1, ..., n, sind rationale Zahlen und a_n≠ 0 In diesem Fall wird gesagt, dass der Grad dieses Polynoms n ist.

Im Folgenden finden Sie Beispiele für algebraische Funktionen:

Hier sind exponentielle, logarithmische und trigonometrische Funktionen nicht enthalten. Die Regeln der Ableitung, die wir unten sehen werden, gelten für Funktionen im Allgemeinen, aber wir beschränken uns darauf und wenden sie bei algebraischen Funktionen an.

Ableitungsregeln

Abgeleitet von einer Konstante

Es stellt fest, dass die Ableitung einer Konstante Null ist. Das heißt, wenn f (x) = c, dann ist f '(x) = 0. Zum Beispiel ist die Ableitung der konstanten Funktion 2 gleich 0.

Abgeleitet von einer Macht

Wenn f (x) = xⁿ, dann f '(x) = nx^n-1. Zum Beispiel die Ableitung von x³ Es ist 3x². Als Konsequenz davon erhalten wir, dass die Ableitung der Identitätsfunktion f (x) = x ist f '(x) = 1x^1-1= x⁰=1.

Ein anderes Beispiel ist das folgende: sei f (x) = 1 / x², dann f (x) = x^-2 und f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Diese Eigenschaft ist auch gültige Wurzeln, weil die Wurzeln rationale Kräfte sind und Sie können das oben auch in diesem Fall anwenden. Zum Beispiel ist die Ableitung einer Quadratwurzel durch gegeben

Abgeleitet von einer Summe und einer Subtraktion

Wenn f und g differenzierbare Funktionen in x sind, dann ist auch die Summe f + g verschieden und es gilt (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Analog haben wir das (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Mit anderen Worten, die Ableitung einer Summe (Subtraktion) ist die Summe (oder Subtraktion) der Ableitungen.

Beispiel

Wenn h (x) = x²+ x-1, dann

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Abgeleitet von einem Produkt

Wenn f und g differenzierbare Funktionen in x sind, dann ist auch das Produkt fg in x unterscheidbar, und das ist erfüllt

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Die Konsequenz ist, dass, wenn c eine Konstante ist und f eine differenzierbare Funktion in x ist, cf auch in x und (cf) '(x) = cf' (X) differenzierbar ist.

Beispiel

Wenn f (x) = 3x (x²+1), dann

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²)'+(1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+ 3 + 6x²

= 9x²+3.

Abgeleitet von einem Quotienten

Wenn f und g in x und g (x) different 0 differenzierbar sind, dann ist f / g auch in x unterscheidbar, und das ist richtig

Beispiel: wenn h (x) = x³/ (x²-5x), dann

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Regel der Kette

Diese Regel erlaubt die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen. Sie stellt folgendes fest: Wenn y = f (u) in u differenzierbar ist, yu = g (x) in x differenzierbar ist, dann ist die zusammengesetzte Funktion f (g (x)) in x differenzierbar, und es ist erfüllt, dass [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Das heißt, die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist das Produkt der Ableitung der externen Funktion (externe Ableitung) durch die Ableitung der internen Funktion (interne Ableitung).

Beispiel

Wenn f (x) = (x⁴-2x)³dann

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Es gibt auch Ergebnisse, um die Ableitung der Umkehrung einer Funktion zu berechnen, sowie die Verallgemeinerung auf Ableitungen höherer Ordnung. Die Anwendungen sind umfangreich. Unter ihnen markieren sie ihre Dienstprogramme in Optimierungsproblemen und maximalen und minimalen Funktionen.

Referenzen

1. Alarcon, S., González, M. & Quintana, H. (2008). Differentialrechnung ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Berechnung 4000. Fortschritt Editorial.
3. Castaño, H. F. (2005). Mathematik vor der Berechnung. Universität von Medellín.
4. Eduardo, N. A. (2003). Einführung in die Berechnung. Schwellenausgaben.
5. Quellen, A. (2016). BASISCHE MATHEMATIK. Eine Einführung in die Berechnung Lulu.com
6. Purcell, E.J., Rigdon, S.E., und Varberg, D.E. (2007). Berechnung Pearson Ausbildung.
7. Saenz, J. (2005). Differentialrechnung (Zweite Ausgabe). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, G. B., und Weir, M. D. (2006). Berechnung: mehrere Variablen. Pearson Ausbildung.