Sukzessive Derivate (mit aufgelösten Übungen)



Dieaufeinander folgende Derivate sind die Ableitungen einer Funktion nach der zweiten Ableitung. Der Prozess zur Berechnung der aufeinanderfolgenden Ableitungen ist der folgende: Wir haben eine Funktion f, die wir ableiten können und somit die Ableitungsfunktion f 'erhalten. Zu dieser Ableitung von f können wir sie wieder herleiten, indem wir (f ')' erhalten.

Diese neue Funktion wird zweite Ableitung genannt; alle von der Sekunde berechneten Ableitungen sind aufeinander folgend; Diese, auch höhere Ordnungen genannt, haben große Anwendungsmöglichkeiten, z. B. Informationen über die grafische Darstellung des Graphen einer Funktion, den zweiten Ableitungstest für relative Extreme und die Bestimmung unendlicher Reihen.

Index

  • 1 Definition
    • 1.1 Beispiel 1
    • 1.2 Beispiel 2
  • 2 Geschwindigkeit und Beschleunigung
    • 2.1 Beispiel 1
    • 2.2 Beispiel 2
  • 3 Anwendungen
    • 3.1 Vereinfachte Ableitung
    • 3.2 Beispiel
    • 3.3 Relative Enden
    • 3.4 Beispiel
    • 3.5 Taylor-Reihe
    • 3.6 Beispiel
  • 4 Referenzen

Definition

Unter Verwendung der Leibniz-Notation haben wir, dass die Ableitung einer Funktion "y" in Bezug auf "x" dy / dx ist. Um die zweite Ableitung von "und" mit der Leibniz-Notation auszudrücken, schreiben wir wie folgt:

Im Allgemeinen können wir die aufeinanderfolgenden Ableitungen wie folgt mit der Leibniz-Notation ausdrücken, wobei n die Reihenfolge der Ableitung darstellt.

Andere verwendete Notationen sind die folgenden:

Einige Beispiele, in denen wir die verschiedenen Notationen sehen können, sind:

Beispiel 1

Beziehe alle Ableitungen der Funktion f, die definiert ist durch:

Mit den üblichen Ableitungstechniken haben wir, dass die Ableitung von f ist:

Durch Wiederholen des Prozesses können wir die zweite Ableitung, die dritte Ableitung usw. erhalten.

Beachten Sie, dass die vierte Ableitung Null ist und die Ableitung von Null gleich Null ist, also müssen wir:

Beispiel 2

Berechnen Sie die vierte Ableitung der folgenden Funktion:

Die gegebene Funktion ableitend, haben wir als Ergebnis:

Geschwindigkeit und Beschleunigung

Eine der Motivationen, die zur Entdeckung des Derivats führten, war die Suche nach der Definition der momentanen Geschwindigkeit. Die formale Definition lautet wie folgt:

Sei y = f (t) eine Funktion, deren Graph die Flugbahn eines Teilchens in einem Moment beschreibt t, dann ist seine Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt t gegeben durch:

Sobald die Geschwindigkeit eines Teilchens erreicht ist, können wir die momentane Beschleunigung berechnen, die wie folgt definiert ist:

Die momentane Beschleunigung eines Teilchens, dessen Weg durch y = f (t) gegeben ist, ist:

Beispiel 1

Ein Partikel bewegt sich auf einer Linie entsprechend der Positionsfunktion:

Wobei "y" in Metern und "t" in Sekunden gemessen wird.

- In welchem ​​Moment ist deine Geschwindigkeit 0?

- In welchem ​​Moment ist seine Beschleunigung 0?

Beim Ableiten der Positionsfunktion "und" haben wir, dass ihre Geschwindigkeit und Beschleunigung jeweils gegeben sind durch:

Um die erste Frage zu beantworten, genügt es zu bestimmen, wann die Funktion v zu Null wird; das ist:

Wir gehen analog zur folgenden Frage vor:

Beispiel 2

Ein Teilchen bewegt sich auf einer Linie gemäß der folgenden Bewegungsgleichung:

Bestimmen Sie "t, y" und "v", wenn a = 0.

Wissen, dass Geschwindigkeit und Beschleunigung durch gegeben sind

Wir fahren fort, abzuleiten und zu erhalten:

Wenn a = 0 ist, haben wir:

Daraus können wir ableiten, dass der Wert von t für a gleich Null ist von t = 1.

Dann müssen wir die Positionsfunktion und die Geschwindigkeitsfunktion bei t = 1 auswerten:

Anwendungen

Vereinfachte Ableitung

Aufeinanderfolgende Ableitungen können auch durch implizite Ableitung erhalten werden.

Beispiel

Gegeben die folgende Ellipse, finde "und":

Implizit im Hinblick auf x abzuleiten, haben wir:

Durch Umkehrung implizit in Bezug auf x gibt es uns dann:

Endlich haben wir:

Relativ endet

Eine weitere Verwendung, die wir Derivaten zweiter Ordnung geben können, ist die Berechnung relativer Enden einer Funktion.

Das Kriterium der ersten Ableitung für lokale Extreme sagt uns, dass, wenn wir eine Funktion f in einem Bereich (a, b) haben und es ein c gibt, das zu diesem Intervall gehört, so dass f in c annulliert wird (das heißt, dass c ist ein kritischer Punkt), einer dieser drei Fälle kann auftreten:

- Wenn f '(x)> 0 für ein beliebiges x, das zu (a, c) und f' (x) <0 für x gehört, das zu (c, b) gehört, dann ist f (c) ein lokales Maximum.

- Wenn f '(x) <0 für jedes x, das zu (a, c) und f' (x)> 0 für x gehört, das zu (c, b) gehört, dann ist f (c) ein lokales Minimum.

- Wenn f '(x) dasselbe Vorzeichen in (a, c) und in (c, b) hat, bedeutet dies, dass f (c) kein lokaler Endpunkt ist.

Unter Verwendung des Kriteriums der zweiten Ableitung können wir wissen, ob eine kritische Zahl einer Funktion ein Maximum oder ein lokales Minimum ist, ohne zu sehen, was das Vorzeichen der Funktion in den vorgenannten Intervallen ist.

Das zweite Ableitungskriterium sagt uns, dass, wenn f '(c) = 0 ist und f (x) in (a, b) stetig ist, es passiert, dass, wenn f "(c)> 0 ist, f (c) a ist lokales Minimum und wenn f "(c) <0 ist, dann ist f (c) ein lokales Maximum.

Wenn f "(c) = 0 ist, können wir nichts schließen.

Beispiel

Gegeben die Funktion f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4x2, finden Sie die relativen Maxima und Minima von f, indem Sie das Kriterium der zweiten Ableitung anwenden.

Zuerst berechnen wir f '(x) und f "(x) und wir haben:

f '(x) = 4x3 + 4x2 - 8x

f "(x) = 12x2 + 8x - 8

Nun gilt f '(x) = 0 wenn und nur wenn 4x (x + 2) (x - 1) = 0, und dies geschieht, wenn x = 0, x = 1 oder x = - 2.

Um zu bestimmen, ob die erhaltenen kritischen Zahlen relative Extreme sind, genügt es, in f "zu bewerten und somit sein Vorzeichen zu beobachten.

f "(0) = - 8, also ist f (0) ein lokales Maximum.

f "(1) = 12, also ist f (1) ein lokales Minimum.

f "(- 2) = 24, also ist f (- 2) ein lokales Minimum.

Taylor-Serie

Sei f eine wie folgt definierte Funktion:

Diese Funktion hat einen Konvergenzradius R> 0 und hat Ableitungen aller Ordnungen in (-R, R). Die aufeinanderfolgenden Ableitungen von f geben uns:

Nimmt man x = 0, können wir die Werte von c erhaltenn basierend auf seinen Derivaten wie folgt:

Wenn wir n = 0 als Funktion f nehmen (also f ^ 0 = f), können wir die Funktion wie folgt umschreiben:

Betrachten Sie nun die Funktion als eine Reihe von Potenzen in x = a:

Wenn wir eine analoge Analyse zu der vorherigen durchführen, müssten wir die Funktion f schreiben als:

Diese Reihen sind als die Taylor-Reihe von f in a bekannt. Wenn a = 0, haben wir den speziellen Fall, der die Maclaurin-Reihe genannt wird. Diese Art von Reihen ist vor allem in der numerischen Analyse von großer mathematischer Bedeutung, denn dank dieser können wir Funktionen in Computern wie zx , sin (x) und cos (x).

Beispiel

Holen Sie sich die Maclaurin-Serie für ex.

Beachten Sie, dass wenn f (x) = exdann f(n)(x) = ex und f(n)(0) = 1, weshalb seine Maclaurin-Serie:

Referenzen

  1. Frank Ayres, J., und Mendelson, E. (s.f.). Fünfte Berechnung Mc Graw Hill.
  2. Leithold, L. (1992). Die Berechnung mit analytischer Geometrie. HARLA, S.A.
  3. Purcell, E.J., Varberg, D., und Rigdon, S.E. (2007). Berechnung Mexiko: Pearson-Ausbildung.
  4. Saenz, J. (2005). Differentialrechnung Hypotenuse.
  5. Saenz, J. (s.f.). Integrale Berechnung Hypotenuse.