Additive Zerlegungsanwendungen, Partitionen, Grafiken



Die additive Zersetzung einer positiven ganzen Zahl ist es, es als eine Summe von zwei oder mehr positiven ganzen Zahlen auszudrücken. So haben wir, dass die Zahl 5 ausgedrückt werden kann als 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 oder 5 = 1 + 2 + 2. Jede dieser Arten, die Zahl 5 zu schreiben, bezeichnen wir als additive Zerlegung.

Wenn wir aufpassen, können wir sehen, dass die Ausdrücke 5 = 2 + 3 und 5 = 3 + 2 die gleiche Zusammensetzung darstellen; Beide haben die gleichen Nummern. Aus Gründen der Bequemlichkeit wird jedoch jeder der Summanden normalerweise nach dem Kriterium vom kleinsten zum größten geschrieben.

Index

  • 1 Additivzerlegung
  • 2 kanonische additive Zersetzung
  • 3 Anwendungen
    • 3.1 Beispieltheorem
  • 4 Partitionen
    • 4.1 Definition
  • 5 Grafiken
  • 6 Referenzen

Additive Zerlegung

Als ein anderes Beispiel können wir die Zahl 27 nehmen, die wir wie folgt ausdrücken können:

27=  7+10+10

27=  9+9+9

27=   3+6+9+9

27= 9+18

Die additive Zerlegung ist ein sehr nützliches Werkzeug, mit dem wir unser Wissen über die Nummerierungssysteme vertiefen können.

Additive kanonische Dekomposition

Wenn wir Zahlen von mehr als zwei Zahlen haben, besteht eine bestimmte Art, sie zu zerlegen, in den Vielfachen von 10, 100, 1000, 10 000 usw., aus denen sie bestehen. Diese Art, eine Zahl zu schreiben, wird als kanonische additive Zerlegung bezeichnet. Zum Beispiel kann die Nummer 1456 wie folgt aufgeteilt werden:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Wenn wir die Nummer 20 846 295 haben, wird seine kanonische additive Zerlegung sein:

20 846 295= 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Dank dieser Dekomposition können wir sehen, dass der Wert einer gegebenen Ziffer durch die Position gegeben ist, die er einnimmt. Nehmen Sie die Zahlen 24 und 42 als Beispiel:

24= 20 + 4

42= 40 +2

Hier können wir beobachten, dass in 24 die 2 einen Wert von 20 Einheiten hat und die 4 einen Wert von 4 Einheiten; stattdessen hat in 42 die 4 einen Wert von 40 Einheiten und die 2 von zwei Einheiten. Obwohl beide Zahlen dieselben Ziffern verwenden, unterscheiden sich ihre Werte durch die Position, die sie belegen, völlig.

Anwendungen

Eine der Anwendungen, die wir der additiven Zerlegung geben können, besteht in bestimmten Arten von Demonstrationen, bei denen es sehr nützlich ist, eine positive ganze Zahl als Summe anderer zu sehen.

Beispielsatz

Nehmen wir als Beispiel den folgenden Satz mit seinen jeweiligen Demonstrationen.

- Sei Z eine 4-stellige ganze Zahl, dann ist Z durch 5 teilbar, wenn die Zahl, die den Einheiten entspricht, null oder fünf ist.

Demonstration

Denken Sie daran, was Teilbarkeit ist. Wenn wir "a" und "b" ganze Zahlen haben, sagen wir, dass "a" "b" dividiert, wenn es eine ganze Zahl "c" gibt, so dass b = a * c.

Eine der Eigenschaften der Teilbarkeit sagt uns, dass, wenn "a" und "b" durch "c" teilbar sind, die Subtraktion "a-b" auch durch "c" teilbar ist.

Sei Z eine 4-stellige ganze Zahl; Daher können wir Z als Z = ABCD schreiben.

Mit der kanonischen additiven Zerlegung haben wir:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Es ist klar, dass A * 1000 + B * 100 + C * 10 durch 5 teilbar ist. Dazu haben wir, dass Z durch 5 teilbar ist, wenn Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) durch 5 teilbar ist.

Aber Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D und D ist eine Zahl einer einzelnen Figur, so ist die einzige Möglichkeit, dass es durch 5 teilbar ist, dass es 0 oder 5 ist.

Daher ist Z durch 5 teilbar, wenn D = 0 oder D = 5 ist.

Beachte, dass, wenn Z n Ziffern hat, der Beweis genau derselbe ist, es ändert sich nur, dass wir jetzt Z = A schreiben würden1A2... An und das Ziel wäre zu beweisen, dass An Es ist null oder fünf.

Partitionen

Wir sagen, dass eine Partition einer positiven ganzen Zahl eine Art ist, in der wir eine Zahl als die Summe positiver Ganzzahlen schreiben können.

Der Unterschied zwischen einer additiven Zerlegung und einer Partition besteht darin, dass, während in der ersten gesucht wird, dass sie zumindest in zwei oder mehr Addenden zerlegt werden kann, in der Partition keine solche Beschränkung besteht.

Also, wir haben folgendes:

5=5

5= 1+4

5= 2+3

5= 1+2+2

Die obigen sind Partitionen von 5.

Das heißt, dass die gesamte additive Dekomposition eine Partition ist, aber nicht jede Partition notwendigerweise eine additive Dekomposition ist.

In der Zahlentheorie garantiert der Hauptsatz der Arithmetik, dass jede ganze Zahl eindeutig als ein Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann.

Beim Analysieren von Partitionen ist das Ziel, zu bestimmen, auf wie viele Arten Sie eine positive Ganzzahl als Summe anderer Ganzzahlen schreiben können. Daher definieren wir die Partitionsfunktion wie unten dargestellt.

Definition

Die Partitionsfunktion p (n) ist definiert als die Anzahl von Wegen, auf denen eine positive ganze Zahl n als Summe positiver Ganzzahlen geschrieben werden kann.

Gehen wir zurück zum Beispiel 5, wir müssen:

5=5

5= 1+4

5= 2+3

5= 1+1+3

5= 1+2+2

5= 1+1+1+2

5= 1+1+1+1+1

Auf diese Weise ist p (5) = 7.

Grafiken

Sowohl die Partitionen als auch die additiven Zerlegungen einer Zahl n können geometrisch dargestellt werden. Nehmen wir an, wir haben eine additive Zerlegung von n. In dieser Dekomposition können die Summanden so angeordnet werden, dass die Mitglieder der Summe vom niedrigsten zum höchsten geordnet sind. Dann lohnt es sich:

n = a1 + a2 + a3 + ... + ar mit

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ ar.

Wir können diese Dekomposition folgendermaßen darstellen: In der ersten Zeile markieren wir die1-Punkte, dann markieren wir im nächsten2-Punkte und so weiter, bis du kommstr.

Nimm als Beispiel die Nummer 23 und die folgende Dekomposition:

23= 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Wir ordnen diese Zersetzung und wir haben:

23= 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Der entsprechende Graph wäre:

Wenn wir diesen Graphen vertikal statt horizontal lesen, können wir eine Zerlegung erhalten, die sich von der vorherigen unterscheiden kann. Im Beispiel von 23 hebt das folgende hervor:

Also müssen wir es als 23 schreiben:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.

Referenzen

  1. G.H. Hardy und E. M. Wright. Eine Einführung in die Zahlentheorie. Oxford Clarendon Presse.
  2. Navarro C. Didaktische Enzyklopädie 6. Editorial Santillana, S.A.
  3. Navarro C.Verbindung mit Mathematik 6. Editorial Santillana, S.A.
  4. Niven & Zuckerman. Einführung in die Theorie der Zahlen. Kalk.
  5. VV.AA Bewertung Mathematisches Bereichskriterium: Ein Modell für die Grundschulbildung. Wolters Kluwer Bildung.
  6. Didaktische Enzyklopädie 6.