Faktorisierungsverfahren und Beispiele

Die Faktorisierung ist eine Methode, durch die ein Polynom in Form von Multiplikation von Faktoren ausgedrückt wird, die Zahlen, Buchstaben oder beides sein können. Zur Faktorisierung werden die Faktoren, die den Termen gemeinsam sind, gruppiert, und auf diese Weise wird das Polynom in mehrere Polynome zerlegt.

Wenn sich die Faktoren also gegenseitig multiplizieren, ist das Ergebnis das ursprüngliche Polynom. Faktorisierung ist eine sehr nützliche Methode, wenn Sie algebraische Ausdrücke haben, weil sie in die Multiplikation mehrerer einfacher Ausdrücke umgewandelt werden können; zum Beispiel: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b)

Es gibt Fälle, in denen ein Polynom nicht faktorisiert werden kann, da zwischen seinen Termen kein gemeinsamer Faktor existiert; Daher sind diese algebraischen Ausdrücke nur zwischen ihnen und durch 1 teilbar. Zum Beispiel: x + y + z.

In einem algebraischen Ausdruck ist der gemeinsame Faktor der größte gemeinsame Teiler der Begriffe, die ihn bilden.

Index

• 1 Factoring-Methoden
  • 1.1 Factoring nach gemeinsamem Faktor
  • 1.2 Beispiel 1
  • 1.3 Beispiel 2
  • 1.4 Factoring durch Gruppierung
  • 1.5 Beispiel 1
  • 1.6 Factoring durch Inspektion
  • 1.7 Beispiel 1
  • 1.8 Beispiel 2
  • 1.9 Factoring mit bemerkenswerten Produkten
  • 1.10 Beispiel 1
  • 1.11 Beispiel 2
  • 1.12 Beispiel 3
  • 1.13 Factoring mit Ruffinis Regel
  • 1.14 Beispiel 1
• 2 Referenzen

Factoring-Methoden

Es gibt mehrere Factoring-Methoden, die je nach Fall angewendet werden. Einige davon sind die folgenden:

Faktorisierung nach gemeinsamem Faktor

Bei dieser Methode werden die gemeinsamen Faktoren identifiziert. das heißt, diejenigen, die in den Ausdrücken wiederholt werden. Dann wird die distributive Eigenschaft angewendet, der größte gemeinsame Teiler wird entfernt und die Faktorisierung ist abgeschlossen.

Mit anderen Worten, der gemeinsame Ausdruck wird identifiziert und jeder Begriff wird zwischen ihm geteilt; Die resultierenden Terme werden mit dem größten gemeinsamen Faktor multipliziert, um die Faktorisierung auszudrücken.

Beispiel 1

Faktor (b²x) + (b²y).

Lösung

Zuerst gibt es den gemeinsamen Faktor jedes Ausdrucks, der in diesem Fall b ist²und dann teilen Sie die Begriffe wie folgt zwischen den gemeinsamen Faktor:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Die Faktorisierung wird ausgedrückt, indem der gemeinsame Faktor mit den resultierenden Termen multipliziert wird:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y)

Beispiel 2

Faktorisieren (2a)²b³) + (3ab²).

Lösung

In diesem Fall haben wir zwei Faktoren, die in jedem Ausdruck wiederholt werden, die "a" und "b" sind und die zu einer Potenz erhoben werden. Um sie zu berücksichtigen, werden zuerst die beiden Begriffe in ihre lange Form zerlegt:

2_*a_*a_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Man kann beobachten, dass der Faktor "a" im zweiten Term nur einmal wiederholt wird und der Faktor "b" zweimal wiederholt wird; also gibt es im ersten Term nur 2, einen Faktor "a" und einen "b"; während in der zweiten Amtszeit nur 3 übrig bleibt.

Daher schreiben wir die Zeiten, in denen "a" und "b" wiederholt und mit den Faktoren multipliziert werden, die von jedem Ausdruck übrig sind, wie im Bild gezeigt:

Faktorisierung durch Gruppierung

Da nicht in allen Fällen der maximale gemeinsame Teiler eines Polynoms klar ausgedrückt wird, müssen andere Schritte unternommen werden, um das Polynom und damit den Faktor neu schreiben zu können.

Einer dieser Schritte besteht darin, die Terme des Polynoms in mehrere Gruppen zu gruppieren und dann die Common-Factor-Methode zu verwenden.

Beispiel 1

Faktor ac + bc + ad + bd.

Lösung

Es gibt vier Faktoren, bei denen zwei üblich sind: im ersten Ausdruck ist es "c" und im zweiten ist es "d". Auf diese Weise werden die beiden Begriffe gruppiert und getrennt:

(ac + bc) + (ad + bd).

Jetzt ist es möglich, die Methode des gemeinsamen Faktors anzuwenden, indem Sie jeden Ausdruck durch seinen gemeinsamen Faktor dividieren und diesen gemeinsamen Faktor dann mit den resultierenden Termen multiplizieren:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Jetzt erhalten Sie ein Binom, das für beide Begriffe üblich ist. Um es zu faktorisieren, wird es mit den übrigen Faktoren multipliziert; Auf diese Weise musst du:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b)

Faktorisierung durch Inspektion

Diese Methode wird verwendet, um quadratische Polynome, auch Trinome genannt, zu faktorisieren; das heißt, diejenigen, die als Axt strukturiert sind² ± bx + c, wobei der Wert von "a" von 1 verschieden ist. Diese Methode wird auch verwendet, wenn das Trinom die Form x hat² ± bx + c und der Wert von "a" = 1.

Beispiel 1

Faktor x² + 5x + 6

Lösung

Sie haben ein quadratisches Trinom der Form x² ± bx + c. Um es zuerst zu faktorisieren, müssen Sie zwei Zahlen finden, die, wenn sie multipliziert werden, als Ergebnis den Wert von "c" (dh 6) ergeben und dass ihre Summe gleich dem Koeffizienten "b" ist, der 5 ist. Diese Zahlen sind 2 und 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Auf diese Weise vereinfacht sich der Ausdruck:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Jeder Begriff wird berücksichtigt:

- Für (x² + 2x) der gebräuchliche Ausdruck wird extrahiert: x (x + 2)

- Für (3x + 6) = 3 (x + 2)

Somit bleibt der Ausdruck:

x (x +2) + 3 (x +2).

Da Sie ein gemeinsames Binom haben, wird der Ausdruck mit den übrig gebliebenen Termen multipliziert und Sie müssen:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3)

Beispiel 2

Faktor 4a² + 12a + 9 = 0.

Lösung

Sie haben ein quadratisches Trinom der Formaxt² ± bx + c und um es zu faktorisieren, multipliziere den ganzen Ausdruck mit dem Koeffizienten von x²; in diesem Fall 4.

4a² + 12a +9 = 0

4a² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² a² + 12a (4) + 36 = 0

Jetzt müssen wir zwei Zahlen finden, die, wenn sie zusammen multipliziert werden, als Ergebnis den Wert von "c" (was 36 ist) ergeben und dass, wenn sie zusammen addiert werden, der Koeffizient des Ausdrucks "a" ergibt, der 6 ist.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Auf diese Weise wird der Ausdruck neu geschrieben, wobei dies berücksichtigt wird² a² = 4a _* 4a. Daher wird die distributive Eigenschaft für jeden Ausdruck angewendet:

(4a + 6) _* (4a + 6)

Schließlich wird der Ausdruck durch den Koeffizienten von geteilt²; das heißt 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Der Ausdruck ist wie folgt:

4a² + 12a +9 = (2a + 3) _* (2a + 3)

Factoring mit bemerkenswerten Produkten

Es gibt Fälle, in denen, um die Polynome vollständig mit den vorherigen Methoden zu faktorisieren, dies ein sehr langer Prozess wird.

Deshalb kann ein Ausdruck mit den Formeln der bemerkenswerten Produkte entwickelt werden und somit wird der Prozess einfacher. Zu den am meisten verwendeten bemerkenswerten Produkten gehören:

- Differenz zweier Quadrate: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Perfektes Quadrat einer Summe: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Perfektes Quadrat eines Unterschieds: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Differenz zweier Würfel: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Summe aus zwei Würfeln: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

Beispiel 1

Faktor (5² - x²)

Lösung

In diesem Fall gibt es einen Unterschied von zwei Quadraten; Daher wird die Formel des bemerkenswerten Produkts angewendet:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Beispiel 2

Faktor 16x² + 40x + 25²

Lösung

In diesem Fall haben wir ein perfektes Quadrat einer Summe, weil wir zwei quadrierte Terme identifizieren können, und der verbleibende Term ist das Ergebnis der Multiplikation von zweimal der Quadratwurzel des ersten Terms mit der Quadratwurzel des zweiten Terms.

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Als Faktor werden nur die Quadratwurzeln des ersten und dritten Terms berechnet:

√ (16x²) = 4x

√(25²) = 5.

Dann werden die beiden resultierenden Terme durch das Vorzeichen der Operation getrennt, und das ganze Polynom wird quadriert:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Beispiel 3

Faktor 27a³ - b³

Lösung

Der Ausdruck stellt eine Subtraktion dar, bei der zwei Faktoren auf den Würfel angewendet werden. Um sie zu faktorisieren, wird die Formel des bemerkenswerten Produkts der Kubikdifferenz angewendet, die ist:

a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Um zu faktorisieren, wird also die Kubikwurzel jedes Terms des Binoms extrahiert und mit dem Quadrat des ersten Terms multipliziert, plus dem Produkt des ersten Terms mit dem zweiten Term plus dem zweiten Term mit dem Quadrat.

27a³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27a³ - b³ = (3a - b) _* [3a]² + 3ab + b²) ]

27a³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Factoring mit Ruffinis Regel

Diese Methode wird verwendet, wenn Sie ein Polynom eines Grades größer als zwei haben, um den Ausdruck für mehrere Polynome geringeren Grades zu vereinfachen.

Beispiel 1

Faktor Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Lösung

Suchen Sie zuerst nach den Zahlen, die Teiler von 12 sind, was der unabhängige Begriff ist; diese sind ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 und ± 12.

Dann wird das x durch diese Werte ersetzt, vom niedrigsten zum höchsten, und somit wird bestimmt, mit welchem ​​der Werte die Division genau sein wird; das heißt, der Rest muss 0 sein:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9(-1)² + 4(-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9(1)² + 4(1) + 12 = 8  ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9(2)² + 4(2) + 12 = 0.

Und so weiter für jeden Teiler. In diesem Fall sind die gefundenen Faktoren für x = -1 und x = 2.

Nun wird die Ruffini-Methode angewendet, nach der die Koeffizienten des Ausdrucks unter den gefundenen Faktoren aufgeteilt werden, so dass die Division exakt ist. Die Polynomterme sind vom höchsten zum niedrigsten Exponenten geordnet; Für den Fall, dass ein Begriff mit dem Grad fehlt, der in der Folge folgt, wird an seiner Stelle eine 0 gesetzt.

Die Koeffizienten befinden sich in einem Schema wie in der folgenden Abbildung zu sehen.

Der erste Koeffizient wird abgesenkt und mit dem Divisor multipliziert. In diesem Fall ist der erste Teiler -1, und das Ergebnis wird in die nächste Spalte gesetzt. Dann wird der Wert des Koeffizienten vertikal mit dem Ergebnis addiert, das erhalten wurde, und das Ergebnis wird darunter gesetzt. Auf diese Weise wird der Prozess bis zur letzten Spalte wiederholt.

Dann wird die gleiche Prozedur erneut wiederholt, aber mit dem zweiten Teiler (der 2 ist), weil der Ausdruck noch vereinfacht werden kann.

Somit erhält das Polynom für jede erhaltene Wurzel einen Term (x - a), wobei "a" der Wert der Wurzel ist:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Auf der anderen Seite müssen diese Begriffe mit dem Rest von Ruffinis Regel 1: 1 und -6 multipliziert werden, die Faktoren sind, die eine Note darstellen. Auf diese Weise ist der gebildete Ausdruck: (x² + x - 6).

Das Ergebnis der Faktorisierung des Polynoms durch die Ruffini-Methode erhält man:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Zum Schluss kann das Polynom von Grad 2, das im vorherigen Ausdruck erscheint, als (x + 3) (x-2) umgeschrieben werden. Daher ist die endgültige Faktorisierung:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(x-2).

Referenzen

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
2. J, V. (2014). Wie man Kinder über Factoring zu Polynomial unterrichtet.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Grundlegende Mathematik mit Anwendungen.
4. Roelse, P.L. (1997). Lineare Methoden zur Polynomfaktorisierung über endliche Felder: Theorie und Implementierung. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Ringe und Faktorisierung.