Euklidische Geometriegeschichte, Grundkonzepte und Beispiele

Die Euklidische Geometrie entspricht der Untersuchung der Eigenschaften von geometrischen Räumen, in denen die Axiome von Euklid erfüllt sind. Während dieser Begriff manchmal verwendet wird, um Geometrien zu umfassen, die überragende Dimensionen mit ähnlichen Eigenschaften haben, ist sie normalerweise gleichbedeutend mit klassischer Geometrie oder flacher Geometrie.

Im dritten Jahrhundert a. C. Euklid und seine Jünger schrieben das Elemente, eine Arbeit, die das mathematische Wissen der Zeit mit einer logisch-deduktiven Struktur umfasste. Seither ist die Geometrie eine Wissenschaft geworden, die zunächst klassische Probleme löst und sich zu einer formativen Wissenschaft entwickelt hat, die der Vernunft hilft.

Index

• 1 Geschichte
• 2 Grundlegende Konzepte
  • 2.1 Gemeinsame Begriffe
  • 2.2 Postulate oder Axiome
• 3 Beispiele
  • 3.1 Erstes Beispiel
  • 3.2 Zweites Beispiel
  • 3.3 Drittes Beispiel
• 4 Referenzen

Geschichte

Um über die Geschichte der euklidischen Geometrie zu sprechen, ist es wichtig, mit Euklid von Alexandria und der Elemente.

Als Ägypten nach dem Tod Alexanders des Großen in den Händen von Ptolemaios I. war, begann er sein Projekt in einer Schule in Alexandria.

Unter den Weisen, die in der Schule lehrten, war Euklid. Es wird spekuliert, dass seine Geburt ungefähr von 325 a stammt. C. und sein Tod von 265 a. C. Wir können mit Sicherheit wissen, dass er zu Platons Schule gegangen ist.

Mehr als dreißig Jahre lang unterrichtete Euklid in Alexandria seine berühmten Elemente: Er begann eine erschöpfende Beschreibung der Mathematik seiner Zeit zu schreiben. Die Lehren von Euklid brachten ausgezeichnete Schüler hervor, wie Archimedes und Apollonius von Perga.

Euklid war verantwortlich für die Strukturierung der disparaten Entdeckungen der klassischen Griechen in der Elemente, aber im Gegensatz zu seinen Vorgängern beschränkt es sich nicht darauf, zu bestätigen, dass ein Theorem wahr ist; Euclid bietet eine Demonstration an.

Die Elemente Sie sind ein Kompendium von dreizehn Büchern. Nach der Bibel ist es das meistveröffentlichte Buch mit mehr als tausend Ausgaben.

Die Elemente ist das Meisterstück von Euklid auf dem Gebiet der Geometrie und bietet eine definitive Behandlung der Geometrie von zwei Dimensionen (der Ebene) und drei Dimensionen (Raum). Dies ist der Ursprung dessen, was wir heute als euklidische Geometrie kennen.

Grundlegende Konzepte

Die Elemente bestehen aus Definitionen, gemeinsamen Begriffen und Postulaten (oder Axiomen) gefolgt von Theoremen, Konstruktionen und Demonstrationen.

- Ein Punkt ist der, der keine Teile hat.

- Eine Linie ist eine Länge, die keine Breite hat.

- Eine Gerade ist diejenige, die in Bezug auf die Punkte, die sich in ihr befinden, gleich ist.

- Wenn zwei Linien so geschnitten werden, dass die benachbarten Winkel gleich sind, werden die Winkel als gerade bezeichnet und die Linien werden als Senkrechte bezeichnet.

- Parallele Linien sind solche, die in derselben Ebene liegen und niemals geschnitten werden.

Nach diesen und anderen Definitionen präsentiert Euclid eine Liste von fünf Postulaten und fünf Begriffen.

Gemeinsame Vorstellungen

- Zwei Dinge, die einem Drittel gleich sind, sind einander gleich.

- Wenn gleiche Dinge zu gleichen Dingen hinzugefügt werden, sind die Ergebnisse gleich.

- Wenn gleiche Dinge gleiche Dinge subtrahiert werden, sind die Ergebnisse gleich.

- Dinge, die zusammenfallen, sind einander gleich.

- Die Summe ist größer als ein Teil.

Postulate oder Axiome

- Für zwei verschiedene Punkte vergeht eine und nur eine Linie.

- Gerade Linien können unbegrenzt verlängert werden.

- Sie können einen Kreis mit beliebiger Mitte und beliebigem Radius zeichnen.

- Alle rechten Winkel sind gleich.

- Wenn eine gerade Linie zwei gerade Linien kreuzt, so dass die inneren Winkel der gleichen Seite sich zu weniger als zwei rechten Winkeln addieren, dann schneiden sich die zwei Linien auf dieser Seite.

Dieses letzte Postulat ist bekannt als das Postulat der Parallelen und wurde wie folgt umformuliert: "Für einen Punkt außerhalb einer Linie können Sie eine einzige Parallele zu der gegebenen Linie zeichnen".

Beispiele

Als nächstes einige Sätze der Elemente sie werden dazu dienen, Eigenschaften von geometrischen Räumen zu zeigen, in denen die fünf Postulate von Euklid erfüllt sind; Darüber hinaus werden sie die logisch-deduktiven Überlegungen illustrieren, die von diesem Mathematiker verwendet werden.

Erstes Beispiel

Vorschlag 1.4. (LAL)

Wenn zwei Dreiecke zwei Seiten haben und der Winkel zwischen ihnen gleich ist, dann sind die anderen Seiten und die anderen Winkel gleich.

Demonstration

Seien ABC und A'B'C 'zwei Dreiecke mit AB = A'B', AC = A'C 'und die Winkel BAC und B'A'C' gleich. Gehen wir zum Dreieck A'B'C ', so dass A'B' mit AB übereinstimmt und dieser Winkel B'A'C 'mit Winkel BAC zusammenfällt.

Dann fällt die Linie A'C 'mit der Linie AC zusammen, so dass C' mit C übereinstimmt. Dann muss die Linie BC nach dem Postulat 1 mit der Linie B'C 'übereinstimmen. Daher fallen die beiden Dreiecke zusammen und folglich sind ihre Winkel und Seiten gleich.

Zweites Beispiel

Vorschlag 1.5. (Pons Asinorum)

Wenn ein Dreieck zwei gleiche Seiten hat, sind die Winkel gegenüber diesen Seiten gleich.

Demonstration

Angenommen, das Dreieck ABC hat die gleichen Seiten AB und AC.

Lassen Sie uns die Winkelhalbierende des BAC-Winkels zeichnen, und sei D der Punkt, wo die Winkelhalbierende auf die BC-Seite schneidet.

Dann haben die Dreiecke ABD und ACD zwei gleiche Seiten und die Winkel zwischen ihnen sind gleich. Somit sind nach Satz 1,4 die Winkel ABD und ACD gleich.

Drittes Beispiel

Vorschlag 1.31

Sie können eine Linie parallel zu einer durch einen gegebenen Punkt gegebenen Linie konstruieren.

Bau

Mit einer Linie L und einem Punkt P wird eine gerade Linie M gezeichnet, die durch P verläuft und in L schneidet. Dann wird eine Linie N durch P gezogen, die nach L schneidet. Nun wird eine gerade Linie N, die nach M schneidet, durch P gezeichnet. einen Winkel bilden, der gleich dem ist, den L mit M bildet

Bestätigung

N ist parallel zu L.

Demonstration

Angenommen, L und N sind nicht parallel und schneiden sich an einem Punkt A. Sei B ein Punkt in L jenseits von A. Betrachte die Linie O, die durch B und P verläuft. Dann schneidet O M, die Winkel bilden, die kleiner als sind zwei gerade.

Dann, um 1.5, muss die Linie O auf die Linie L auf der anderen Seite von M geschnitten werden, so dass L und O sich an zwei Punkten schneiden, was dem Postulat 1 widerspricht. Daher müssen L und N parallel sein.

Referenzen

1. Euklid, Elemente der Geometrie. Nationale Autonome Universität von Mexiko
2. Euklid Die ersten sechs Bücher und das elfte und zwölfte Element von Euklid
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktik und Geschichte der Euklidischen Geometrie Iberoamerikanische Redaktionsgruppe
4. K. Ribnikow. Geschichte der Mathematik Mir Redaktion
5. Viloria, N. & Leal, J. (2005) Flache analytische Geometrie. Redaktion Venezolanischer C.A.