Lineare Interpolationsmethode, Gelöste Übungen



Die lineare Interpolation ist eine Methode, die von der allgemeinen Interpolation von Newton herrührt und es erlaubt, durch Approximation einen unbekannten Wert zu bestimmen, der zwischen zwei gegebenen Zahlen liegt; das heißt, es gibt einen Zwischenwert. Es wird auch angewendet, um Funktionen zu approximieren, wobei die Werte f(a) und f(b) Sie sind bekannt und Sie möchten das Zwischenprodukt von f kennen(x).

Es gibt verschiedene Interpolationstypen, z. B. lineare, quadratische, kubische und größere Grade, wobei die lineare Näherung am einfachsten ist. Der Preis, der mit linearer Interpolation bezahlt werden muss, ist, dass das Ergebnis nicht so genau sein wird wie bei Approximationen durch Funktionen höherer Grade.

Index

  • 1 Definition
  • 2 Methode
  • 3 Übungen gelöst
    • 3.1 Aufgabe 1
    • 3.2 Aufgabe 2
  • 4 Referenzen

Definition

Die lineare Interpolation ist ein Prozess, mit dem Sie einen Wert zwischen zwei wohldefinierten Werten ableiten können, die in einer Tabelle oder in einem linearen Diagramm enthalten sein können.

Wenn Sie beispielsweise wissen, dass 3 Liter Milch 4 Euro wert sind und 5 Liter 7 Euro wert sind, Sie aber wissen möchten, wie viel 4 Liter Milch sind, interpolieren Sie, um diesen Zwischenwert zu bestimmen.

Methode

Um einen Zwischenwert einer Funktion zu schätzen, wird die Funktion f(x) mittels einer geraden Linie r(x), was bedeutet, dass die Funktion linear mit "x" für eine Strecke "x = a" und "x = b" variiert; das heißt, für einen "x" -Wert im Intervall (x0, x1) und (und0und1), der Wert von "y" ist durch die Linie zwischen den Punkten gegeben und wird durch die folgende Beziehung ausgedrückt:

(und - und0) ÷ (x - x0) = (und1 - und0) ÷ (x1 - x0)

Damit eine Interpolation linear ist, ist es notwendig, dass das Interpolationspolynom den Grad eins (n ​​= 1) aufweist, so dass es sich an die Werte von x anpasst0 und x1.

Die lineare Interpolation basiert auf der Ähnlichkeit von Dreiecken, so dass, wenn wir geometrisch von dem vorherigen Ausdruck ableiten, wir den Wert von "y" erhalten können, der den unbekannten Wert für "x" darstellt.

Eine Extrapolation ist eine solche, bei der angenommen wird, dass der zu interpolierende Bereich x ist0 ˂ x ˂ x1, wenn es von diesem Bereich abweicht. Ausgehend von der Gleichung der Linie, die lautet: y = ax + b, wobei "a" ein Winkelkoeffizient ist und "b" ein linearer Koeffizient ist - wie in der Figur gezeigt -, werden zwei Dreiecke mit einer rechten Hypotenuse gebildet. Durch die Ähnlichkeit von Dreiecken musst du:

Auf diese Weise musst du:

a = tan Ɵ = (gegenüberliegende Seite1 ÷ benachbartes Bein1) = (gegenüberliegende Seite2 ÷ benachbartes Bein2)

Anders ausgedrückt ist es:

(und - und0) ÷ (x - x0) = (und1 - und0) ÷ (x1 - x0)

Löschen "und" der Ausdrücke, haben Sie:

(und - und0) * (x1 - x0) = (X - x0) * (und1 - und0)

(und - und0) = (und1 - und0) * [(X - x0) ÷ (x1 - x0)]

So erhalten wir die allgemeine Gleichung für die lineare Interpolation:

y = y0 + (und1 - und0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Im Allgemeinen ergibt die lineare Interpolation einen kleinen Fehler über den tatsächlichen Wert der wahren Funktion, obwohl der Fehler minimal ist, verglichen mit dem Fall, wenn Sie intuitiv eine Zahl wählen, die der gewünschten ähnelt.

Dieser Fehler tritt auf, wenn Sie versuchen, den Wert einer Kurve mit einer geraden Linie anzunähern. Für diese Fälle muss die Größe des Intervalls reduziert werden, um den Ansatz genauer zu machen.

Um bessere Ergebnisse in Bezug auf den Ansatz zu erzielen, ist es ratsam, Grade 2, 3 oder sogar höherwertige Funktionen zu verwenden, um die Interpolation durchzuführen. Für diese Fälle ist das Taylor-Theorem ein sehr nützliches Werkzeug.

Gelöste Übungen

Übung 1

Die Anzahl der Bakterien pro Volumeneinheit, die in einer Inkubation nach x Stunden existieren, ist in der folgenden Tabelle dargestellt. Sie möchten wissen, wie hoch die Bakterienmenge für die Dauer von 3,5 Stunden ist.

Lösung

Die Referenztabelle gibt keinen Wert an, der die Menge an Bakterien für eine Zeit von 3,5 Stunden angibt, sondern höhere und niedrigere Werte entsprechend einer Zeit von 3 bzw. 4 Stunden. Auf diese Weise:

x0 = 3 und0 = 91

x = 3,5 und =

x1 = 4 und1 = 135

Nun wird die mathematische Gleichung angewendet, um den interpolierten Wert zu finden, der wie folgt ist:

y = y0 + (und1 - und0) * [(X - x0) ÷ (x1 - x0)].

Dann werden die entsprechenden Werte ersetzt:

y = 91 + (135 - 91) * [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0,5

y = 113

Somit wird erreicht, dass für eine Zeit von 3,5 Stunden die Anzahl von Bakterien 113 ist, was ein Zwischenniveau zwischen dem Volumen von Bakterien darstellt, die nach 3 und 4 Stunden existieren.

Übung 2

Luis hat eine Eisfabrik, und er will eine Studie machen, um das Einkommen zu bestimmen, das er im August von den Ausgaben hatte. Der Manager des Unternehmens macht eine Grafik, die diese Beziehung ausdrückt, aber Luis möchte wissen:

Was sind die Einnahmen für August, wenn eine Ausgabe von $ 55.000 gemacht wurde?

Lösung

Eine Grafik wird mit Werten der Einnahmen und Ausgaben gegeben. Luis möchte wissen, wie hoch das Einkommen im August ist, wenn die Fabrik 55.000 Dollar kostet.Dieser Wert wird nicht direkt in der Grafik angezeigt, aber die Werte, die höher und niedriger als diese sind, sind verfügbar.

Zuerst wird eine Tabelle erstellt, in der die Werte mit Leichtigkeit in Beziehung gesetzt werden können:

Jetzt wird die Interpolationsformel verwendet, um den Wert von y zu bestimmen

y = y0 + (und1 - und0) * [(X - x0) ÷ (x1 - x0)]

Dann werden die entsprechenden Werte ersetzt:

y = 56.000 + (78.000 - 56.000) * [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56.000 + (22.000) * (0,588)

y = 56.000 + 12.936

y = 68.936 $.

Wenn im August eine Ausgabe von $ 55.000 getätigt wurde, betrug das Einkommen $ 68.936.

Referenzen

  1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
  2. Harpe, P. d. (2000). Themen in der geometrischen Gruppentheorie. Universität von Chicago Presse.
  3. Hazewinkel, M. (2001). Lineare Interpolation ", Enzyklopädie der Mathematik.
  4. J. M. (1998). Elemente von numerischen Methoden für das Engineering. UASLP.
  5. , E. (2002). Eine Chronologie der Interpolation: von der antiken Astronomie bis zur modernen Signal- und Bildverarbeitung. Proceedings des IEEE.
  6. numerisch, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.