Minimum-Quadrat-Methode, gelöste Übungen und was es dient



Die Methode von kleinste Quadrate ist eine der wichtigsten Anwendungen in der Approximation von Funktionen. Die Idee besteht darin, eine solche Kurve zu finden, dass diese Funktion bei einer Menge geordneter Paare die Daten besser annähert. Die Funktion kann eine Linie, eine quadratische Kurve, eine kubische Kurve usw. sein.

Die Idee der Methode besteht darin, die Summe der Quadrate der Differenzen auf den Ordinaten (Komponente Y) zwischen den durch die gewählte Funktion erzeugten Punkten und den zu dem Datensatz gehörenden Punkten zu minimieren.

Index

  • 1 Methode der kleinsten Quadrate
  • 2 Übungen gelöst
    • 2.1 Aufgabe 1
    • 2.2 Aufgabe 2
  • 3 Wozu dient es?
  • 4 Referenzen

Methode der kleinsten Quadrate

Bevor wir die Methode angeben, müssen wir zuerst klarstellen, was "besserer Ansatz" bedeutet. Nehmen wir an, dass wir nach einer Zeile y = b + mx suchen, die am besten eine Menge von n Punkten repräsentiert, nämlich {(x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn)}.

Wenn die Variablen x und y durch die Zeile y = b + mx verknüpft sind, dann wäre für x = x1 der entsprechende Wert von y b + mx1. Dieser Wert unterscheidet sich jedoch von dem wahren Wert von y, der y = y1 ist.

Daran erinnern, dass in der Ebene der Abstand zwischen zwei Punkten durch die folgende Formel gegeben ist:

In diesem Sinne klingt es logisch, die Wahl der Linie y = b + mx, die die gegebenen Daten am besten approximiert, als ein Kriterium für die Auswahl der Linie zu verwenden, die die Summe der Quadrate der Abstände zwischen den Punkten minimiert und die Linie.

Da der Abstand zwischen den Punkten (x1, y1) und (x1, b + mx1) y1- (b + mx1) ist, ist unser Problem auf das Finden der Zahlen m und b beschränkt, so dass die folgende Summe minimal ist:

Die Linie, die diese Bedingung erfüllt, wird als "Annäherung der kleinsten Quadrate an die Punkte (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)" bezeichnet.

Sobald das Problem gelöst ist, bleibt nur noch eine Methode, um die Näherung der kleinsten Quadrate zu finden. Wenn die Punkte (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) alle auf der Linie y = mx + b liegen, müssten wir kollinear sein und:

In diesem Ausdruck:

Schließlich, wenn die Punkte nicht kollinear sind, dann ist y-Au = 0 und das Problem kann übersetzt werden, einen Vektor zu finden oder so, dass die euklidische Norm minimal ist.

Das Finden des Minimierungsvektors ist nicht so schwierig, wie Sie vielleicht denken. Da A eine Matrix nx2 ist und u eine 2 × 1-Matrix ist, haben wir, dass der Vektor Au ein Vektor in R istn und es gehört zu dem Bild von A, das ein Unterraum von R istn mit einer Dimension nicht größer als zwei.

Wir nehmen an, dass n = 3 ist, um zu zeigen, welches Verfahren zu befolgen ist. Wenn n = 3 ist, ist das Bild von A eine Ebene oder Linie, die durch den Ursprung verläuft.

Sei v der Minimierungsvektor. In der Abbildung sehen wir, dass y-Au minimiert wird, wenn es orthogonal zum Bild von A ist. Das heißt, wenn v der Minimierungsvektor ist, dann geschieht Folgendes:

Dann können wir das obige auf diese Weise ausdrücken:

Dies kann nur passieren, wenn:

Schließlich, Clearing v, müssen wir:

Dies ist seit A möglichtA ist invertierbar, solange die als Daten angegebenen n Punkte nicht kollinear sind.

Wenn wir jetzt nicht nach einer Linie suchen, möchten wir eine Parabel finden, deren Ausdruck die Form y = a + bx + cx hat2) das war eine bessere Annäherung an die n Datenpunkte, das Verfahren würde unten beschrieben werden.

Wenn die n Datenpunkte in dieser Parabel wären, müsste sie:

Dann:

In ähnlicher Weise können wir y = Au schreiben. Wenn alle Punkte nicht in der Parabel sind, haben wir, dass y-Au für jeden Vektor von Null verschieden ist und unser Problem ist wieder: Finde einen Vektor in R3, so dass seine Norm || y-Au || sei so klein wie möglich.

Durch Wiederholen der vorherigen Prozedur können wir zu dem Vektor gelangen, nach dem gesucht wird:

Gelöste Übungen

Übung 1

Finde die Linie, die am besten zu den Punkten (1,4), (-2,5), (3, -1) und (4,1) passt.

Lösung

Wir müssen:

Dann:

Daraus schließen wir, dass die Linie, die am besten zu den Punkten passt, gegeben ist durch:

Übung 2

Angenommen, ein Objekt wird aus einer Höhe von 200 m fallen gelassen. Während des Fallens werden folgende Maßnahmen ergriffen:

Wir wissen, dass die Höhe des Objekts, nachdem es eine Zeit t verstrichen ist, gegeben ist durch:

Wenn wir den Wert von g erhalten wollen, können wir eine Parabel finden, die eine bessere Annäherung an die fünf in der Tabelle angegebenen Punkte darstellt, und somit hätten wir den Koeffizient, der mit t einhergeht2 es wird eine vernünftige Annäherung an (-1/2) g sein, wenn die Messungen genau sind.

Wir müssen:

Und dann:

Also werden die Datenpunkte um den folgenden quadratischen Ausdruck angepasst:

Dann musst du:

Dies ist ein Wert, der dem richtigen ziemlich nahe kommt, nämlich g = 9,81 m / s2. Um eine genauere Approximation von g zu erhalten, müsste man von genaueren Beobachtungen ausgehen.

Wofür ist es?

Bei den Problemen, die in den Natur- oder Sozialwissenschaften vorkommen, ist es günstig, die Beziehungen, die zwischen verschiedenen Variablen auftreten, durch einen mathematischen Ausdruck zu beschreiben.

Zum Beispiel können wir Kosten (C), Einkommen (I) und Profite (U) in der Wirtschaft mit einer einfachen Formel in Beziehung setzen:

In der Physik können wir die durch die Schwerkraft verursachte Beschleunigung, die Zeit, in der ein Objekt gefallen ist, und die Höhe des Objekts durch das Gesetz in Beziehung setzen:

Im vorherigen Ausdruck so ist die Anfangshöhe dieses Objekts und vo Es ist deine Anfangsgeschwindigkeit.

Solche Formeln zu finden, ist jedoch keine einfache Aufgabe. Normalerweise ist es Aufgabe des diensthabenden Fachmanns, mit vielen Daten zu arbeiten und wiederholt mehrere Experimente durchzuführen (um zu verifizieren, dass die erhaltenen Ergebnisse konstant sind), um Beziehungen zwischen den verschiedenen Daten zu finden.

Ein üblicher Weg, dies zu erreichen, besteht darin, die in einer Ebene erhaltenen Daten als Punkte darzustellen und nach einer kontinuierlichen Funktion zu suchen, die sich diesen Punkten auf optimale Weise nähert.

Eine der Möglichkeiten, die Funktion zu finden, die die gegebenen Daten "am besten approximiert", ist die Methode der kleinsten Quadrate.

Wie wir auch in der Übung gesehen haben, können wir dank dieser Methode Approximationen erhalten, die den physikalischen Konstanten sehr nahe kommen.

Referenzen

  1. Charles W Curtis Lineare Algebra. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Elementare Propositionstheorie mit stochastischen Prozessen. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden und J. Douglas Faires. Numerische Analyse (7ed). Thompson-Lernen.
  4. Stanley I. Grossman. Anwendungen der Linearen Algebra. MCGRAW-HÜGEL / INTERAMERICANA DE MEXIKO
  5. Stanley I. Grossman. Lineare Algebra MCGRAW-HÜGEL / INTERAMERICANA DE MEXIKO