Paralelepiped Eigenschaften, Typen, Fläche, Volumen

A Parallelepiped ist ein geometrischer Körper, der aus sechs Flächen besteht, deren Hauptmerkmal ist, dass alle ihre Gesichter Parallelogramme sind und auch ihre gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind. Es ist ein gewöhnliches Polyeder in unserem täglichen Leben, da wir es in Schuhkartons finden können, die Form eines Ziegelsteines, die Form einer Mikrowelle, usw.

Als Polyeder umschließt das Parallelepiped ein begrenztes Volumen und alle seine Flächen sind flach. Es ist Teil der Gruppe der Prismen, die jene Polyeder sind, in denen alle ihre Ecken in zwei parallelen Ebenen enthalten sind.

Index

• 1 Elemente des Parallelepipeds
  • 1.1 Gesichter
  • 1.2 Kanten
  • 1.3 Scheitelpunkt
  • 1.4 Diagonale
  • 1.5 Zentrum
• 2 Eigenschaften des Parallelepipeds
• 3 Arten
  • 3.1 Berechnung von Diagonalen
• 4 Bereich
  • 4.1 Fläche eines Orthoheders
  • 4.2 Fläche eines Würfels
  • 4.3 Fläche eines Rhomboeders
  • 4.4 Fläche eines Rhombus
• 5 Volumen eines Parallelepipeds
  • 5.1 Perfektes Parallelepiped
• 6 Bibliographie

Elemente des Parallelepipeds

Gesichter

Sie sind jeweils Bereiche, die durch Parallelogramme gebildet sind, die das Parallelepiped begrenzen. Ein Parallelepiped hat sechs Flächen, wobei jede Fläche vier benachbarte und eine gegenüberliegende Fläche hat. Außerdem ist jede Seite parallel zu ihrem Gegenteil.

Kanten

Sie sind die gemeinsame Seite von zwei Gesichtern. Insgesamt hat ein Parallelepiped zwölf Kanten.

Vertex

Es ist der gemeinsame Punkt von drei Flächen, die zwei oder zwei nebeneinander liegen. Ein Parallelepiped hat acht Ecken.

Diagonale

An zwei gegenüberliegenden Seiten eines Parallelepipeds können wir ein Liniensegment zeichnen, das von der Spitze einer Seite zur gegenüberliegenden Ecke der anderen Seite geht.

Dieses Segment ist als Diagonale des Parallelepipeds bekannt. Jedes Parallelepiped hat vier Diagonalen.

Innenstadt

Es ist der Punkt, an dem sich alle Diagonalen kreuzen.

Eigenschaften des Parallelepipeds

Wie bereits erwähnt, hat dieser geometrische Körper zwölf Kanten, sechs Flächen und acht Ecken.

In einem Parallelepiped können drei Sätze identifiziert werden, die durch vier Kanten gebildet werden, die parallel zueinander sind. Darüber hinaus erfüllen die Kanten dieser Sätze auch die Eigenschaft, die gleiche Länge zu haben.

Eine weitere Eigenschaft, die die Parallelepipede besitzen, ist, dass sie konvex sind, das heißt, wenn wir ein beliebiges Paar von Punkten nehmen, die zu dem Inneren des Parallelepipeds gehören, wird das durch das Paar von Punkten bestimmte Segment auch innerhalb des Parallelepipeds sein.

Darüber hinaus entsprechen die Parallelepipeds, die konvexe Polyeder sind, dem Satz von Euler für Polyeder, der uns eine Beziehung zwischen der Anzahl der Flächen, der Anzahl der Kanten und der Anzahl der Ecken gibt. Diese Beziehung ist in der Form der folgenden Gleichung gegeben:

C + V = A + 2

Diese Eigenschaft ist als Euler-Charakteristik bekannt.

Dabei ist C die Anzahl der Flächen, V die Anzahl der Eckpunkte und A die Anzahl der Kanten.

Typen

Wir können Parallelepipeden basierend auf ihren Flächen in den folgenden Typen klassifizieren:

Orthopädisch

Sie sind die Parallelepipeden, deren Gesichter aus sechs Rechtecken bestehen. Jedes Rechteck ist senkrecht zu denen, die es Rand teilt. Sie sind die üblichsten in unserem täglichen Leben, das ist die übliche Art von Schuhkartons und Ziegeln.

Würfel oder reguläres Hexaeder

Dies ist ein besonderer Fall des vorherigen, bei dem jede der Flächen ein Quadrat ist.

Der Würfel ist auch Teil der geometrischen Körper, die platonische Körper genannt werden. Ein platonischer Körper ist ein konvexes Polyeder, so dass seine Flächen und seine Innenwinkel einander gleich sind.

Romboedro

Es ist ein Parallelepiped mit Diamanten auf seinem Gesicht. Diese Diamanten sind alle gleich, da sie Kanten teilen.

Romboiedro

Seine sechs Gesichter sind Rhomboide. Erinnern Sie sich, dass ein Rhomboid ein Polygon mit vier Seiten und vier Winkeln ist, die zwei oder zwei sind. Die Rhomboiden sind die Parallelogramme, die weder quadratisch, noch Rechtecke oder Rhomben sind.

Auf der anderen Seite sind die schrägen Parallelepipeds solche, bei denen mindestens eine Höhe nicht mit ihrer Kante übereinstimmt. In dieser Klassifikation können wir die Rhomboeder und Rhomboeder einschließen.

Diagonale Berechnung

Um die Diagonale eines Orthophons zu berechnen, können wir den Satz des Pythagoras für R verwenden³.

Erinnern Sie sich daran, dass ein Orthodron die Eigenschaft hat, dass jede Seite senkrecht zu den Seiten steht, die die Kante teilen. Aus dieser Tatsache können wir ableiten, dass jede Kante senkrecht zu denen ist, die sich die Ecke teilen.

Um die Länge einer Orthonederdiagonale zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

1. Wir berechnen die Diagonale eines der Gesichter, die wir als Basis verwenden werden. Dazu verwenden wir den Satz des Pythagoras. Nennen Sie diese Diagonale d_b.

2. Dann mit d_b wir können ein neues rechtwinkliges Dreieck bilden, so dass die Hypotenuse dieses Dreiecks die gesuchte Diagonale D ist.

3. Wir verwenden wieder den Satz des Pythagoras und wir haben, dass die Länge dieser Diagonale ist:

Eine andere Möglichkeit, Diagonalen grafisch zu berechnen, ist die Summe der freien Vektoren.

Es sei daran erinnert, dass zwei freie Vektoren A und B hinzugefügt werden, indem der Schwanz des Vektors B mit der Spitze des Vektors A platziert wird.

Der Vektor (A + B) ist derjenige, der am Ende von A beginnt und an der Spitze von B endet.

Betrachten Sie ein Parallelepiped, zu dem wir eine Diagonale berechnen wollen.

Wir identifizieren Kanten mit einfach orientierten Vektoren.

Dann fügen wir diese Vektoren hinzu und der resultierende Vektor wird die Diagonale des Parallelepipeds sein.

Bereich

Die Fläche eines Parallelepipeds ergibt sich aus der Summe der Flächen seiner Flächen.

Wenn wir eine der Seiten als Basis bestimmen,

A_L + 2A_B = Gesamtfläche

Wo A_L ist gleich der Summe der Flächen aller Seiten, die an die Basis angrenzen, laterale Fläche und A genannt_B es ist die Grundfläche.

Abhängig von der Art des Parallelepipeds, mit dem wir arbeiten, können wir die Formel neu schreiben.

Fläche eines Orthoheders

Es ist durch die Formel gegeben

A = 2 (ab + bc + ca).

Beispiel 1

Bei gegebenem Orthoheter mit den Seiten a = 6 cm, b = 8 cm und c = 10 cm die Fläche des Parallelepipeds und die Länge seiner Diagonalen berechnen.

Mit der Formel für die Fläche eines Orthophons müssen wir

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Beachten Sie, dass die Länge einer der vier Diagonalen identisch ist, da es sich um ein Orthodron handelt.

Mit dem Satz des Pythagoras für den Raum müssen wir

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Fläche eines Würfels

Da jede Kante die gleiche Länge hat, haben wir a = b und a = c. Ersetzen durch die vorherige Formel haben wir

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Beispiel 2

Die Box einer Spielkonsole hat die Form eines Würfels. Wenn wir diese Schachtel mit Geschenkpapier umwickeln möchten, wie viel Papier würden wir ausgeben, wenn wir wissen, dass die Kantenlänge des Würfels 45 cm beträgt?

Mit der Formel der Würfelfläche erhalten wir das

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²) = 12150 cm²

Fläche eines Rhomboeders

Da alle ihre Gesichter gleich sind, reicht es, die Fläche von einer von ihnen zu berechnen und sie mit sechs zu multiplizieren.

Wir können die Fläche eines Diamanten unter Verwendung seiner Diagonalen mit der folgenden Formel berechnen

A_R = (Dd) / 2

Mit dieser Formel folgt, dass die Gesamtfläche des Rhomboeders ist

A_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Beispiel 3

Die Flächen des folgenden Rhomboeders werden von einer Raute gebildet, deren Diagonalen D = 7 cm und d = 4 cm sind. Deine Gegend wird sein

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Fläche eines Rhombus

Um die Fläche einer Raute zu berechnen, müssen wir die Fläche der Rauten berechnen, aus denen sie besteht. Da Parallelepipede die Eigenschaft erfüllen, dass die gegenüberliegenden Seiten die gleiche Fläche haben, können wir die Seiten in drei Paaren zuordnen.

Auf diese Weise haben wir, dass Ihr Bereich sein wird

A_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Wo der b_ich sind die Basen, die mit den Seiten und dem verbunden sind_ich seine relative Höhe entspricht den Basen.

Beispiel 4

Betrachten Sie das folgende Parallelepiped,

wo Seite A und Seite A '(ihre gegenüberliegende Seite) eine Basis b = 10 und Höhe h = 6 haben. Der markierte Bereich wird einen Wert von haben

A₁ = 2(10)(6) =120

Die B und B 'haben dann b = 4 und h = 6

A₂ = 2(4)(6) = 48

Und C und C 'haben b = 10 und h = 5, also

A₃ = 2(10)(5) =100

Schließlich ist der Bereich des Rhomboeders

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volumen eines Parallelepipeds

Die Formel, die uns das Volumen eines Parallelepipeds gibt, ist das Produkt der Fläche einer seiner Flächen durch die Höhe, die dieser Fläche entspricht.

V = A_Ch_C

Je nach Art des Parallelepipeds kann diese Formel vereinfacht werden.

So haben wir zum Beispiel, dass das Volumen eines Orthoheders gegeben wäre durch

V = abc

Wo a, b und c die Länge der Kanten des Orthoheders darstellen.

Und im besonderen Fall ist der Würfel

V = a³

Beispiel 1

Es gibt drei verschiedene Modelle für Cookies, und Sie möchten wissen, in welchem ​​dieser Modelle Sie mehr Cookies speichern können, also welche der Boxen mehr Volumen hat.

Der erste ist ein Würfel, dessen Kante eine Länge von a = 10 cm hat

Sein Volumen wird V = 1000 cm sein³

Die zweite hat Kanten b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Und deshalb ist sein Volumen V = 765 cm³

Und der dritte hat e = 9 cm, f = 9 cm und g = 13 cm

Und sein Volumen ist V = 1053 cm³

Daher ist die Box mit der höchsten Lautstärke die dritte.

Eine andere Methode, um das Volumen eines Parallelepipeds zu erhalten, besteht darin, auf Vektoralgebra zurückzugreifen. Insbesondere das dreifache Skalarprodukt.

Eine der geometrischen Interpretationen, die das dreifache Skalarprodukt aufweist, ist das Volumen des Parallelepipeds, dessen Kanten drei Vektoren sind, die sich den gleichen Eckpunkt wie ein Startpunkt teilen.

Wenn wir also ein Parallelepiped haben und wissen wollen, wie groß das Volumen ist, genügt es, es in einem Koordinatensystem in R darzustellen³ einen seiner Eckpunkte mit dem Ursprung abgleichen.

Dann stellen wir die Kanten dar, die im Ursprung mit Vektoren übereinstimmen, wie in der Abbildung gezeigt.

Und auf diese Weise haben wir, dass das Volumen des Parallelepipeds gegeben ist durch

V = | AxB ∙ C |

Oder äquivalent ist das Volumen die Determinante der 3 × 3-Matrix, die durch die Komponenten der Kantenvektoren gebildet wird.

Beispiel 2

Durch Darstellung des nächsten Parallelepipeds in R³ Wir können sehen, dass die Vektoren, die es bestimmen, die folgenden sind

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) und w = (-0,25, -4, 4)

Wir verwenden das dreifache Skalarprodukt

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Daraus schließen wir, dass V = 60 ist

Betrachten wir nun das folgende Parallelepiped in R3, dessen Kanten durch die Vektoren bestimmt sind

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) und C = (3, 4, 4)

Determinanten geben uns das

So haben wir, dass das Volumen des Parallelepipeds 112 ist.

Beide sind gleichwertige Möglichkeiten, Volumen zu berechnen.

Perfektes Parallelepiped

Es ist bekannt als Eulers Stein (oder Eulers Block) zu einem Orthoeder, das die Eigenschaft erfüllt, dass sowohl die Länge seiner Kanten als auch die Länge der Diagonalen jeder seiner Seiten ganze Zahlen sind.

Während Euler nicht der erste Wissenschaftler war, der die Orthohedrons studierte, die diese Eigenschaft erfüllen, fand er interessante Ergebnisse über sie.

Der kleinere Euler-Stein wurde von Paul Halcke entdeckt und die Kantenlängen sind a = 44, b = 117 und c = 240.

Ein offenes Problem in der Zahlentheorie ist wie folgt

Gibt es perfekte Orthoeder?

Zur Zeit konnte diese Frage nicht beantwortet werden, da nicht nachgewiesen werden konnte, dass diese Körper nicht existieren, aber keiner gefunden wurde.

Was bisher gezeigt wurde, ist, dass es perfekte Parallelepipeds gibt. Der erste zu entdeckende hat die Länge seiner Kantenwerte 103, 106 und 271.

Bibliographie

1. Guy, R. (1981). Ungelöste Probleme in der Zahlentheorie. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie Fortschritt
3. Leithold, L. (1992). Die Berechnung mit analytischer Geometrie. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Technische Zeichnung: Tätigkeitsbuch 3 2. Abitur. Tebar
5. Resnick, R., Halliday, D., und Krane, K. (2001). Physik Vol. 1. Mexiko: Kontinental.