Zähltechniken und Beispiele für das Multiplikationsprinzip



Die multiplikatives Prinzip ist eine Technik, die verwendet wird, um Zählprobleme zu lösen, um die Lösung zu finden, ohne dass es notwendig ist, ihre Elemente aufzulisten. Es ist auch bekannt als das fundamentale Prinzip der kombinatorischen Analyse; es basiert auf sukzessiver Multiplikation, um zu bestimmen, auf welche Weise ein Ereignis auftreten kann.

Dieser Grundsatz besagt, dass bei einer Entscheidung (d1) kann auf n Arten genommen werden und eine andere Entscheidung (d2) kann in m-Wege genommen werden, die Gesamtzahl der Möglichkeiten, in denen Entscheidungen getroffen werden können1 und d2 wird gleich sein mit n zu multiplizieren * m. Nach dem Prinzip wird jede Entscheidung nacheinander getroffen: Anzahl der Wege = N1 * N2… * Nx Wege

Index

  • 1 Beispiele
    • 1.1 Beispiel 1
    • 1.2 Beispiel 2
  • 2 Zähltechniken
    • 2.1 Zusatzprinzip
    • 2.2 Prinzip der Permutation
    • 2.3 Prinzip der Kombination
  • 3 Übungen gelöst
    • 3.1 Aufgabe 1
    • 3.2 Aufgabe 2
  • 4 Referenzen

Beispiele

Beispiel 1

Paula plant, mit ihren Freunden ins Kino zu gehen, und um die Kleidung zu wählen, die sie tragen wird, trenne ich 3 Blusen und 2 Röcke. Wie viele Möglichkeiten kann Paula anziehen?

Lösung

In diesem Fall muss Paula zwei Entscheidungen treffen:

d1 = Wähle zwischen 3 Blusen = n

d2 = Wähle zwischen 2 Röcken = m

So hat Paula n * m Entscheidungen zu treffen oder verschiedene Arten zu kleiden.

n * m = 3* 2 = 6 Entscheidungen.

Das multiplikative Prinzip kommt von der Baumdiagrammtechnik, die ein Diagramm ist, das alle möglichen Ergebnisse in Beziehung setzt, so dass jedes eine endliche Anzahl von Malen auftreten kann.

Beispiel 2

Mario war sehr durstig, also ging er in die Bäckerei, um einen Saft zu kaufen. Luis kümmert sich um ihn und sagt ihm, dass er zwei Größen hat: groß und klein; und vier Geschmacksrichtungen: Apfel, Orange, Zitrone und Traube. Wie viele Möglichkeiten kann Mario den Saft wählen?

Lösung

In dem Diagramm kann beobachtet werden, dass Mario 8 verschiedene Arten hat, den Saft zu wählen, und dass, wie im multiplikativen Prinzip, dieses Ergebnis durch die Multiplikation von n erhalten wird*m. Der einzige Unterschied ist, dass Sie anhand dieses Diagramms wissen, wie Mario den Saft wählt.

Auf der anderen Seite, wenn die Anzahl der möglichen Ergebnisse sehr groß ist, ist es praktischer, das multiplikative Prinzip zu verwenden.

Zähltechniken

Die Zähltechniken sind Methoden, die verwendet werden, um eine direkte Zählung durchzuführen und somit die Anzahl von möglichen Anordnungen zu kennen, die die Elemente eines bestimmten Satzes haben können. Diese Techniken basieren auf mehreren Prinzipien:

Zusatzprinzip

Dieses Prinzip besagt, dass, wenn zwei Ereignisse m und n nicht zur gleichen Zeit auftreten können, die Anzahl der Arten, in denen das erste oder zweite Ereignis auftreten kann, die Summe von m + n sein wird:

Anzahl der Formen = m + n ... + x verschiedene Formen.

Beispiel

Antonio möchte einen Ausflug machen, entscheidet aber nicht, zu welchem ​​Ziel; bei der South Tourism Agency bieten sie Ihnen eine Beförderung nach New York oder Las Vegas an, während die East Tourism Agency Ihnen empfiehlt, nach Frankreich, Italien oder Spanien zu reisen. Wie viele verschiedene Reisealternativen bietet Antonio Ihnen?

Lösung

Mit der South Tourism Agency hat Antonio 2 Alternativen (New York oder Las Vegas), während mit der East Tourism Agency 3 Möglichkeiten bestehen (Frankreich, Italien oder Spanien). Die Anzahl der verschiedenen Alternativen ist:

Anzahl der Alternativen = m + n = 2 + 3 = 5 Alternativen.

Prinzip der Permutation

Es geht darum, alle oder einige der Elemente, die einen Satz bilden, spezifisch zu ordnen, um das Zählen aller möglichen Anordnungen zu erleichtern, die mit den Elementen getroffen werden können.

Die Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Elementen, alle auf einmal genommen, wird dargestellt als:

nPn = n!

Beispiel

Vier Freunde möchten ein Foto machen und wissen, wie viele verschiedene Formen bestellt werden können.

Lösung

Sie möchten die Menge aller Möglichkeiten kennen, wie die 4 Personen platziert werden können, um das Foto aufzunehmen. Also musst du:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 verschiedene Formen.

Wenn die Anzahl der Permutationen von n verfügbaren Elementen von Teilen einer Menge genommen wird, die aus r Elementen besteht, wird dies wie folgt dargestellt:

nPr = n! ÷ (n - r)!

Beispiel

In einem Klassenzimmer haben Sie 10 Plätze. Wenn 4 Studenten den Kurs besuchen, auf wie viele verschiedene Arten können die Studenten die Positionen belegen?

Lösung

Die Gesamtzahl der Stühle beträgt 10, von denen nur 4 verwendet werden Die angegebene Formel wird angewendet, um die Anzahl der Permutationen zu bestimmen:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 Möglichkeiten, die Positionen zu füllen.

Es gibt Fälle, in denen einige der verfügbaren Elemente eines Satzes wiederholt werden (sie sind gleich). Um die Anzahl der Anordnungen zu berechnen, die alle Elemente gleichzeitig verwenden, wird die folgende Formel verwendet:

nPr = n! ÷ n1!* n2! ... nr!

Beispiel

Wie viele verschiedene Wörter von vier Buchstaben können aus dem Wort "Wolf" gebildet werden?

Lösung

In diesem Fall haben wir 4 Elemente (Buchstaben), von denen zwei genau gleich sind. Mit der gegebenen Formel wissen wir, wie viele verschiedene Wörter sind:

nPr = n! ÷ n1!* n2! ... nr!

4P2, 1,1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 verschiedene Wörter.

Prinzip der Kombination

Es geht darum, alle oder einige der Elemente, die eine Menge bilden, ohne eine bestimmte Reihenfolge zu reparieren. Wenn Sie beispielsweise ein XYZ-Array haben, ist es unter anderem identisch mit den Arrays ZXY, YZX, ZYX. Dies liegt daran, dass, obwohl sie nicht in der gleichen Reihenfolge sind, die Elemente jeder Anordnung gleich sind.

Wenn einige Elemente (r) der Menge (n) genommen werden, ist das Prinzip der Kombination durch die folgende Formel gegeben:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

Beispiel

In einem Geschäft verkaufen sie 5 verschiedene Schokoladensorten. Wie viele verschiedene Möglichkeiten können Sie wählen 4 Pralinen?

Lösung

In diesem Fall müssen Sie 4 Pralinen der 5 im Geschäft verkauften Sorten auswählen. Die Reihenfolge, in der sie ausgewählt werden, spielt keine Rolle, und außerdem kann eine Schokoladensorte mehr als zweimal gewählt werden. Wenn Sie die Formel anwenden, müssen Sie:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)!4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 verschiedene Möglichkeiten, 4 Pralinen zu wählen.

Wenn alle Elemente (r) der Menge (n) genommen sind, ist das Prinzip der Kombination durch die folgende Formel gegeben:

nCn = n!

Gelöste Übungen

Übung 1

Sie haben ein Baseballteam mit 14 Mitgliedern. Auf wie viele Arten können 5 Positionen für ein Spiel zugewiesen werden?

Lösung

Das Set besteht aus 14 Elementen und Sie möchten 5 spezifische Positionen zuweisen; das heißt, diese Reihenfolge ist wichtig. Die Permutationsformel wird angewendet, wenn n verfügbare Elemente von Teilen einer Menge verwendet werden, die von r gebildet wird.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Wo n = 14 und r = 5. Es ist in der Formel substituiert:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 Möglichkeiten, die 9 Positionen des Spiels zuzuordnen.

Übung 2

Wenn eine 9-köpfige Familie auf eine Reise geht und ihre Eintrittskarten mit aufeinanderfolgenden Sitzplätzen kauft, wie viele verschiedene Arten können sie sitzen?

Lösung

Es besteht aus 9 Elementen, die nacheinander 9 Plätze belegen.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 verschiedene Arten zu sitzen.

Referenzen

  1. Hopkins, B. (2009). Ressourcen für den Unterricht Diskrete Mathematik: Klassenzimmer Projekte, Geschichte Module und Artikel.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskrete Mathematik Pearson Ausbildung,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012). Endlicher und diskreter mathematischer Problemlöser. Herausgeber der Research & Education Association.
  4. Padró, F. C. (2001). Diskrete Mathematik Politèc. von Katalonien.
  5. Steiner, E. (2005). Mathematik für angewandte Wissenschaften. Reverte