Produktübergreifende Eigenschaften, Anwendungen und gelöste Übungen

Die Kreuzprodukt oder Produktvektor Es ist eine Möglichkeit, zwei oder mehr Vektoren zu multiplizieren. Es gibt drei Möglichkeiten, Vektoren zu multiplizieren, aber keine davon ist eine Multiplikation im üblichen Sinne des Wortes. Eine dieser Formen ist als Vektorprodukt bekannt, was zu einem dritten Vektor führt.

Das Vektorprodukt, das auch als Kreuzprodukt oder äußeres Produkt bezeichnet wird, weist unterschiedliche algebraische und geometrische Eigenschaften auf. Diese Eigenschaften sind besonders im Studium der Physik sehr nützlich.

Index

• 1 Definition
• 2 Eigenschaften
  • 2.1 Eigentum 1
  • 2.2 Eigenschaft 2
  • 2.3 Eigentum 3
  • 2.4 Eigenschaft 4 (dreifaches Skalarprodukt)
  • 2.5 Eigenschaft 5 (Dreifach-Vektorprodukt)
  • 2.6 Eigentum 6
  • 2.7 Eigentum 7
  • 2.8 Eigentum 8
• 3 Anwendungen
  • 3.1 Volumenberechnung eines Parallelepipeds
• 4 Übungen gelöst
  • 4.1 Aufgabe 1
  • 4.2 Aufgabe 2
• 5 Referenzen

Definition

Eine formale Definition des Vektorprodukts ist die folgende: Wenn A = (a1, a2, a3) und B = (b1, b2, b3) Vektoren sind, dann ist das Vektorprodukt von A und B, das wir als AxB bezeichnen,:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Aufgrund der Notation AxB wird es als "A Cross B" gelesen.

Ein Beispiel für die Verwendung des äußeren Produkts ist, dass wenn A = (1, 2, 3) und B = (3, -2, 4) Vektoren sind, dann unter Verwendung der Definition von Vektorprodukt:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Eine andere Art, das Vektorprodukt auszudrücken, ist durch die Determinantennotation gegeben.

Die Berechnung einer Determinante zweiter Ordnung ist gegeben durch:

Daher kann die in der Definition angegebene Formel des Vektorprodukts wie folgt umgeschrieben werden:

Dies wird normalerweise in einer Determinante dritter Ordnung wie folgt vereinfacht:

Wobei i, j, k die Vektoren darstellen, die die Basis von R bilden³.

Mit dieser Art, das Kreuzprodukt auszudrücken, haben wir, dass das vorherige Beispiel wie folgt umgeschrieben werden kann:

Eigenschaften

Einige Eigenschaften, die das Vektorprodukt besitzt, sind die folgenden:

Eigentum 1

Wenn A irgendein Vektor in R ist³wir müssen:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Diese Eigenschaften können einfach anhand der Definition überprüft werden. Wenn A = (a1, a2, a3), müssen wir:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Wenn i, j, k die Einheitsbasis von R darstellen³Wir können sie wie folgt schreiben:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Dann müssen wir folgende Eigenschaften erfüllen:

Als mnemotechnische Regel wird zur Erinnerung an diese Eigenschaften normalerweise der folgende Kreis verwendet:

Dort sollten wir beachten, dass jeder Vektor mit sich selbst zu Vektor 0 führt, und der Rest der Produkte kann mit der folgenden Regel erhalten werden:

Das Kreuzprodukt von zwei aufeinanderfolgenden Vektoren im Uhrzeigersinn ergibt den folgenden Vektor; und wenn man die Gegenuhrzeigerrichtung betrachtet, ist das Ergebnis der folgende Vektor mit einem negativen Vorzeichen.

Dank dieser Eigenschaften können wir sehen, dass das Vektorprodukt nicht kommutativ ist; Zum Beispiel ist es genug zu bemerken, dass i x j ≠ j x i. Die folgende Eigenschaft sagt uns, wie sich AxB und BxA im Allgemeinen verhalten.

Eigenschaft 2

Wenn A und B R-Vektoren sind³wir müssen:

AxB = - (BxA).

Demonstration

Wenn A = (a1, a2, a3) und B = (b1, b2, b3), haben wir nach Definition des externen Produkts:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Wir können auch beobachten, dass dieses Produkt nicht mit dem folgenden Beispiel assoziativ ist:

ix (ixj) = ixk = - j aber (ixi) xj = 0xj = 0

Daraus können wir folgendes beobachten:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Eigentum 3

Wenn A, B, C R-Vektoren sind³ und r ist eine reelle Zahl, das Folgende ist wahr:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Dank dieser Eigenschaften können wir das Vektorprodukt unter Verwendung der Gesetze der Algebra berechnen, vorausgesetzt, dass die Reihenfolge eingehalten wird. Zum Beispiel:

Wenn A = (1, 2, 3) und B = (3, -2, 4), können wir sie nach der kanonischen Basis von R umschreiben³.

Somit gilt A = i + 2j + 3k und B = 3i - 2j + 4k. Dann übernehmen Sie die vorherigen Eigenschaften:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Eigenschaft 4 (dreifaches Skalarprodukt)

Wie eingangs erwähnt, gibt es neben dem Vektorprodukt noch andere Möglichkeiten, Vektoren zu multiplizieren. Eine dieser Möglichkeiten ist das Skalarprodukt oder interne Produkt, das mit A ∙ B bezeichnet wird und dessen Definition lautet:

Wenn A = (a1, a2, a3) und B = (b1, b2, b3), dann ist A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Die Eigenschaft, die beide Produkte betrifft, ist als das dreifache Skalarprodukt bekannt.

Wenn A, B und C R-Vektoren sind³, dann A ∙ BxC = AxB ∙ C

Nehmen wir zum Beispiel an, dass diese Eigenschaft erfüllt ist, wenn A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) und C = (- 5, 1, - 4) ist.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Auf der anderen Seite:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Ein weiteres Triple-Produkt ist Ax (BxC), das als Dreifach-Vektor-Produkt bekannt ist.

Eigenschaft 5 (Dreifach-Vektorprodukt)

Wenn A, B und C R-Vektoren sind³dann:

Ax (BxC) = (A C) B - (A B) C

Nehmen wir zum Beispiel an, dass diese Eigenschaft erfüllt ist, wenn A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) und C = (- 5, 1, - 4) ist.

Aus dem vorherigen Beispiel wissen wir, dass BxC = (- 18, - 22, 17). Lassen Sie uns Ax (BxC) berechnen:

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Auf der anderen Seite müssen wir:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Also müssen wir:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Eigentum 6

Es ist eine der geometrischen Eigenschaften von Vektoren. Wenn A und B zwei Vektoren in R sind³ und Θ ist der Winkel, der zwischen diesen gebildet wird, dann:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), wobei || ∙ || bezeichnet das Modul oder die Größe eines Vektors.

Die geometrische Interpretation dieser Eigenschaft lautet wie folgt:

Sei A = PR und B = PQ. Dann ist der von den Vektoren A und B gebildete Winkel der Winkel P des Dreiecks RQP, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Daher ist die Fläche des Parallelogramms mit den angrenzenden Seiten PR und PQ || A |||| B || sin (Θ), da wir als Basis || A || annehmen können und seine Höhe ist gegeben durch || B || sin (Θ).

Wir können daraus schließen, dass || AxB || ist die Fläche des Parallelogramms.

Beispiel

Gegeben die folgenden Ecken eines Vierecks P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) und S (5,7, -3), zeigen, dass das Viereck Es ist ein Parallelogramm und findet seinen Bereich.

Dazu bestimmen wir zuerst die Vektoren, die die Richtung der Seiten des Vierecks bestimmen. Das ist:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Wie wir sehen können, haben A und C den gleichen Vektor-Direktor, also haben wir beide parallel; so wie es bei B und D der Fall ist. Daraus schließen wir, dass PQRS ein Parallelogramm ist.

Um die Fläche des Parallelogramms zu erhalten, berechnen wir BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Daher wird der quadratische Bereich sein:

|| BxA ||² = (- 6)² + (- 2)² + (- 7)² = 36 + 4 + 49 = 89.

Daraus kann geschlossen werden, dass der Parallelogrammbereich die Quadratwurzel von 89 ist.

Eigentum 7

Zwei Vektoren A und B sind in R parallel³ Ja und nur wenn AxB = 0

Demonstration

Es ist klar, dass, wenn A oder B der Nullvektor sind, folgt, dass AxB = 0. Da der Nullvektor parallel zu irgendeinem anderen Vektor ist, dann ist die Eigenschaft gültig.

Wenn keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist, haben wir, dass ihre Größen von Null verschieden sind; das heißt, beide || A || ≠ 0 als || B || ≠ 0, also müssen wir || AxB || = 0 genau dann, wenn sin (Θ) = 0 ist, und das genau dann, wenn Θ = π oder Θ = 0 ist.

Daher können wir AxB = 0 genau dann folgern, wenn Θ = π oder Θ = 0, was nur passiert, wenn beide Vektoren parallel zueinander sind.

Eigenschaft 8

Wenn A und B zwei Vektoren in R sind³, dann ist AxB senkrecht zu A und B.

Demonstration

Beachten Sie bei dieser Demonstration, dass zwei Vektoren senkrecht stehen, wenn A ∙ B gleich Null ist. Darüber hinaus wissen wir, dass:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, aber AxA ist gleich 0. Deshalb müssen wir:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Daraus können wir schließen, dass A und AxB senkrecht zueinander stehen. In analoger Weise müssen wir:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Als BxB = 0 müssen wir:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Daher stehen AxB und B senkrecht zueinander und damit wird die Eigenschaft demonstriert. Dies ist sehr nützlich, da sie uns erlauben, die Gleichung einer Ebene zu bestimmen.

Beispiel 1

Erhalte eine Gleichung der Ebene, die durch die Punkte P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) und R (2, 1, 3) verläuft.

Sei A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) und B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Dann ist A = - i + 3j + k und B = i - 2j + k. Um die Ebene zu finden, die von diesen drei Punkten gebildet wird, ist es ausreichend, einen Vektor zu finden, der senkrecht zur Ebene ist, nämlich AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Mit diesem Vektor und unter Verwendung des Punktes P (1, 3, 2) können wir die Gleichung der Ebene wie folgt bestimmen:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Also haben wir, dass die Gleichung der Ebene 5x + 2y - z - 9 = 0 ist.

Beispiel 2

Finde die Gleichung der Ebene, die den Punkt P (4, 0, - 2) enthält und senkrecht zu jeder der Ebenen x - y + z = 0 und 2x + y - 4z - 5 = 0 steht.

Wenn wir wissen, dass ein normaler Vektor für eine Ebene ax + mit + cz + d = 0 (a, b, c) ist, haben wir, dass (1, -1,1) ein Normalenvektor von x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) ist ein normaler Vektor von 2x + y - 4z - 5 = 0.

Daher muss ein Normalenvektor zur gewünschten Ebene senkrecht zu (1, -1,1) und a (2, 1, -4) stehen. Der Vektor ist:

(1, -1,1) x (2,1, -4) = 3i + 6j + 3k.

Dann haben wir, dass die gesuchte Ebene diejenige ist, die den Punkt P (4,0, - 2) enthält und den Vektor (3,6,3) als einen normalen Vektor hat.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Anwendungen

Volumenberechnung eines Parallelepipeds

Eine Anwendung, die das dreifache Skalarprodukt hat, soll in der Lage sein, das Volumen eines Parallelepipeds zu berechnen, dessen Kanten durch die Vektoren A, B und C gegeben sind, wie in der Figur gezeigt:

Wir können diese Anwendung auf folgende Weise herleiten: Wie bereits erwähnt, ist der Vektor AxB ein Vektor, der senkrecht zur Ebene von A und B steht. Wir haben auch, dass der Vektor - (AxB) ein anderer Vektor ist, der senkrecht zu dieser Ebene ist.

Wir wählen den Normalvektor, der mit dem Vektor C den kleinsten Winkel bildet; Ohne Verlust der Allgemeinheit sei AxB der Vektor, dessen Winkel mit C am kleinsten ist.

Wir haben, dass sowohl AxB als auch C denselben Startpunkt haben. Außerdem wissen wir, dass der Bereich des Parallelogramms, der die Basis des Parallelepipeds bildet, || AxB || ist. Wenn also die Höhe des Parallelepipeds durch h gegeben ist, haben wir, dass sein Volumen ist:

V = || AxB || h.

Betrachten Sie andererseits das Skalarprodukt zwischen AxB und C, das wie folgt beschrieben werden kann:

Jedoch haben wir bei trigonometrischen Eigenschaften h = || C || cos (Θ), also müssen wir:

Auf diese Weise müssen wir:

Allgemein haben wir, dass das Volumen eines Parallelepipeds durch den absoluten Wert des dreifachen Skalarprodukts AxB ∈ C gegeben ist.

Gelöste Übungen

Übung 1

Bei den Punkten P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) und S = (2, 6, 9) bilden diese Punkte ein Parallelepiped, dessen Kanten sie sind PQ, PR und PS. Bestimmen Sie das Volumen des Parallelepipeds.

Lösung

Wenn wir nehmen:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Unter Verwendung der Eigenschaft des dreifachen Skalarprodukts müssen wir:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Daher haben wir, dass das Volumen des Parallelepipeds 52 ist.

Übung 2

Bestimmen Sie das Volumen eines Parallelepipeds, dessen Kanten gegeben sind durch A = PQ, B = PR und C = PS, wobei die Punkte P, Q, R und S (1, 3, 4), (3, 5, 3) sind. (2, 1, 6) bzw. (2, 2, 5).

Lösung

Zuerst haben wir, dass A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Wir berechnen AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Dann berechnen wir AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Daraus schließen wir, dass das Volumen des Parallelepipeds 1 Kubikeinheit beträgt.

Referenzen

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