Bemerkenswerte Produkte Erklärung und Übungen gelöst



Die bemerkenswerte Produkte sie sind algebraische Operationen, in denen Multiplikationen von Polynomen ausgedrückt werden, die nicht traditionell gelöst werden müssen, aber mit Hilfe bestimmter Regeln können Sie deren Ergebnisse finden.

Polynome werden mit Ja multipliziert, daher können sie eine große Anzahl von Termen und Variablen haben. Um den Prozess zu verkürzen, werden die Regeln der bemerkenswerten Produkte verwendet, die es ermöglichen, dass Multiplikationen vorgenommen werden, ohne nach Begriffen zu suchen.

Index

  • 1 Bemerkenswerte Produkte und Beispiele
    • 1.1 Binomialquadrat
    • 1.2 Produkt von konjugierten Binomen
    • 1.3 Produkt aus zwei Binomen mit einem gemeinsamen Begriff
    • 1.4 Polynomquadrat
    • 1.5 Binomial zum Würfel
    • 1.6 Würfel eines Trinomals
  • 2 Übungen für außergewöhnliche Produkte gelöst
    • 2.1 Aufgabe 1
    • 2.2 Aufgabe 2
  • 3 Referenzen

Bemerkenswerte Produkte und Beispiele

Jedes bemerkenswerte Produkt ist eine Formel, die aus einer Faktorisierung resultiert, die aus Polynomen verschiedener Begriffe wie Binomen oder Trinomen besteht, genannt Faktoren.

Die Faktoren sind die Grundlage einer Macht und haben einen Exponenten. Wenn sich die Faktoren multiplizieren, müssen die Exponenten hinzugefügt werden.

Es gibt einige bemerkenswerte Produktformeln, einige sind mehr als andere abhängig von den Polynomen, und sie sind die folgenden:

Binomial quadriert

Es ist die Multiplikation eines Binomials an sich, ausgedrückt in der Form der Macht, wo die Terme addiert oder subtrahiert werden:

a. Binomial der Summe zum Quadrat: ist gleich dem Quadrat des ersten Terms, plus dem doppelten Produkt der Terme plus dem Quadrat des zweiten Terms. Es wird wie folgt ausgedrückt:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b)

Die folgende Abbildung zeigt, wie das Produkt nach der oben genannten Regel entwickelt wird. Das Ergebnis wird das Trinom eines perfekten Quadrats genannt.

Beispiel 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Beispiel 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

b. Binomial einer Subtraktion im Quadrat: die gleiche Regel gilt für das Binom einer Summe, nur dass in diesem Fall der zweite Term negativ ist. Seine Formel ist die folgende:

(a - b)2 = [(a) + (- b)]2

(a - b)2 = a2 + 2a * (-b) + (-b)2

(a - b)2   = a2 - 2ab + b2.

Beispiel 1

(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2x - 6)2  = 4x2 - 2 (12x) + 36

(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36

Produkt von konjugierten Binomen

Zwei Binome werden konjugiert, wenn die zweiten Terme von jedem verschiedene Vorzeichen haben, das heißt, der erste ist positiv und der zweite negativ oder umgekehrt. Lösen Sie, indem Sie jedes Monomy-Quadrat erhöhen und subtrahieren. Seine Formel ist die folgende:

(a + b) * (a - b)

In der folgenden Abbildung wird das Produkt zweier konjugierter Binome entwickelt, wobei beobachtet wird, dass das Ergebnis eine Differenz von Quadraten ist.

Beispiel 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 9b2.

Produkt aus zwei Binomen mit einem gemeinsamen Begriff

Es ist eines der komplexesten und wenig genutzten bemerkenswerten Produkte, weil es eine Multiplikation von zwei Binomen ist, die einen gemeinsamen Begriff haben. Die Regel zeigt Folgendes an:

  • Das Quadrat des gemeinsamen Begriffs.
  • Fügen Sie die Begriffe hinzu, die nicht üblich sind, und multiplizieren Sie sie dann mit dem allgemeinen Begriff.
  • Plus die Summe der Multiplikation von Begriffen, die nicht üblich sind.

Es wird in der Formel dargestellt: (x + a) * (x + b) und es wird entwickelt, wie im Bild gezeigt. Das Ergebnis ist ein quadratisches Trinom, das nicht perfekt ist.

Beispiel 1

(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54

Es besteht die Möglichkeit, dass der zweite Begriff (der andere Begriff) negativ ist und seine Formel lautet: (x + a) * (x - b).

Beispiel 2

(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8

Es kann auch sein, dass beide Begriffe negativ sind. Seine Formel wird sein: (x - a) * (x - b).

Beispiel 3

(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5)* (3b) + (-6 * -5)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.

Quadratisches Polynom

In diesem Fall gibt es mehr als zwei Terme und um sie zu entwickeln, wird jeder quadriert und mit der doppelten Multiplikation eines Terms mit dem anderen multipliziert. seine Formel lautet: (a + b + c)2 und das Ergebnis der Operation ist ein trinomiales Quadrat.

Beispiel 1

(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2J)2 + (4z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4J2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Eimer Binom

Es ist ein bemerkenswertes komplexes Produkt.Um es zu entwickeln, multiplizieren Sie das Binom mit seinem Quadrat wie folgt:

a. Für das Binom zum Würfel einer Summe:

  • Der Würfel des ersten Terms plus das Dreifache des Quadrats des ersten Terms.
  • Plus das Dreifache des ersten Terms, im zweiten Quadrat.
  • Plus der Würfel des zweiten Trimesters.

(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2

(a + b)3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Beispiel 1

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(3)2 + (3)3

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(9) + 27

(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.

b. Für das Binom zum Würfel einer Subtraktion:

  • Der Würfel des ersten Terms, abzüglich des Dreifachen des Quadrats des ersten Terms.
  • Plus das Dreifache des ersten Terms, im zweiten Quadrat.
  • Außer dem Würfel der zweiten Amtszeit.

(a - b)3 = (a - b) * (a - b)2

(a - b)3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)

(a - b)3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

Beispiel 2

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(-5)2 + (-5)3

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(25) -125

(b - 5)3 = b3 - 15b2 + 75b - 125

Eimer eines Trinomials

Es entwickelt sich durch Multiplikation mit seinem Quadrat. Es ist ein bemerkenswertes Produkt, das sehr umfangreich ist, weil es drei Begriffe gibt, die auf den Würfel erhöht sind, plus drei Mal jedes Quadrat, multipliziert mit jedem der Begriffe plus sechs Mal das Produkt der drei Begriffe. Besser gesehen:

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc

Beispiel 1

Gelöste Übungen von bemerkenswerten Produkten

Übung 1

Entwickle das folgende Binom zum Würfel: (4x - 6)3.

Lösung

Daran erinnernd, dass ein Binomium zum Würfel gleich dem ersten Ausdruck ist, der zum Würfel erhoben wird, weniger als das dreifache des Quadrats des ersten Ausdruckes durch den zweiten; plus das Dreifache des ersten Terms, um das zweite Quadrat, minus dem Würfel des zweiten Terms.

(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36

Übung 2

Entwickeln Sie das folgende Binom: (x + 3) (x + 8).

Lösung

Es gibt ein Binom, in dem es einen gemeinsamen Ausdruck gibt, der x ist und der zweite Ausdruck positiv ist. Um es zu entwickeln, müssen Sie nur den allgemeinen Ausdruck plus die Summe der Ausdrücke, die nicht üblich sind (3 und 8), multiplizieren und sie dann mit dem allgemeinen Ausdruck plus der Summe der Multiplikation von Begriffen multiplizieren, die nicht üblich sind.

(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3*8)

(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24

Referenzen

  1. Engel, A. R. (2007). Elementare Algebra Pearson Ausbildung,.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
  3. Das, S. (s.f.). Mathe Plus 8. Vereinigtes Königreich: Ratna Sagar.
  4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Elementare und Mittlere Algebra: Ein kombinierter Ansatz. Florida: Cengage-Lernen.
  5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Ausbildung.