Eigenschaften der Gleichheit



Die Eigenschaften der Gleichheit sie beziehen sich auf die Beziehung zwischen zwei mathematischen Objekten, entweder Zahlen oder Variablen. Es ist mit dem Symbol "=" gekennzeichnet, das immer zwischen diesen beiden Objekten liegt. Mit diesem Ausdruck wird festgestellt, dass zwei mathematische Objekte dasselbe Objekt darstellen. Mit anderen Worten, diese zwei Objekte sind dasselbe.

Es gibt Fälle, in denen es einfach ist, Gleichheit zu verwenden. Zum Beispiel ist klar, dass 2 = 2 ist. Wenn es jedoch zu Variablen kommt, ist es nicht mehr trivial und hat spezifische Verwendungen. Wenn Sie beispielsweise y = x und x = 7 haben, können Sie auch auf y = 7 schließen.

Das vorherige Beispiel basiert auf einer der Eigenschaften der Gleichheit, wie in Kürze zu sehen sein wird. Diese Eigenschaften sind wesentlich, um Gleichungen zu lösen (Gleichheiten mit Variablen), die einen sehr wichtigen Teil in der Mathematik bilden.

Index

  • 1 Was sind die Eigenschaften der Gleichheit?
    • 1.1 Reflektierende Eigenschaft
    • 1.2 Symmetrische Eigenschaft
    • 1.3 Transitive Eigenschaft
    • 1.4 Einheitliche Eigenschaft
    • 1.5 Annullierungseigentum
    • 1.6 Ersatzeigentum
    • 1.7 Power-Eigenschaft in einer Gleichheit
    • 1.8 Eigenschaft der Wurzel in einer Gleichheit
  • 2 Referenzen

Was sind die Eigenschaften der Gleichheit?

Reflektierende Eigenschaft

Reflektierende Eigenschaft, im Falle der Gleichheit, besagt, dass jede Zahl ist sich selbst gleich und wird als b = b für eine reelle Zahl b ausgedrückt.

Im speziellen Fall der Gleichheit scheint diese Eigenschaft offensichtlich zu sein, aber in einer anderen Art von Beziehung zwischen Zahlen ist es nicht. Mit anderen Worten, nicht jede Relation reeller Zahlen erfüllt diese Eigenschaft. Zum Beispiel, ein solcher Fall der Beziehung "weniger als" (<); keine Zahl ist weniger als sie selbst.

Symmetrische Eigenschaft

Die symmetrische Eigenschaft für die Gleichheit besagt, dass, wenn a = b, dann b = a ist. Unabhängig davon, welche Reihenfolge in den Variablen verwendet wird, wird sie von der Gleichheitsbeziehung beibehalten.

Eine gewisse Analogie dieser Eigenschaft kann mit der kommutativen Eigenschaft im Falle der Addition beobachtet werden. Zum Beispiel ist es wegen dieser Eigenschaft äquivalent zu schreiben y = 4 oder 4 = y.

Transitive Eigenschaft

Die transitive Eigenschaft in Gleichheit besagt, dass, wenn a = b und b = c, dann a = c. Zum Beispiel 2 + 7 = 9 und 9 = 6 + 3; daher haben wir durch die transitive Eigenschaft 2 + 7 = 6 + 3.

Eine einfache Anwendung ist die folgende: Angenommen, Julian ist 14 Jahre alt und Mario ist genauso alt wie Rosa. Wenn Rosa gleich alt ist wie Julian, wie alt ist Mario?

Hinter diesem Szenario wird die transitive Eigenschaft zweimal verwendet. Mathematisch wird es so interpretiert: sei "a" das Zeitalter von Mario, "b" das Alter von Rosa und "c" das Alter von Julian. Es ist bekannt, dass b = c und dass c = 14 ist.

Für die transitive Eigenschaft haben wir das b = 14; das heißt, Rosa ist 14 Jahre alt. Da a = b und b = 14, verwenden wir wieder die transitive Eigenschaft, wir haben a = 14; das heißt, dass Mario auch 14 Jahre alt ist.

Einheitliche Eigenschaft

Die einheitliche Eigenschaft ist, dass, wenn beide Seiten einer Gleichheit addiert oder mit dem gleichen Betrag multipliziert werden, die Gleichheit erhalten bleibt. Zum Beispiel, wenn 2 = 2, dann 2 + 3 = 2 + 3, was klar ist, dann ist 5 = 5. Diese Eigenschaft hat mehr Nutzen, wenn es darum geht, eine Gleichung zu lösen.

Angenommen, Sie möchten die Gleichung x-2 = 1 lösen. Es ist sinnvoll, sich daran zu erinnern, dass das Lösen einer Gleichung darin besteht, die betreffende Variable (oder Variablen) basierend auf einer bestimmten Zahl oder einer zuvor angegebenen Variablen explizit zu bestimmen.

Zurück zur Gleichung x-2 = 1, was getan werden muss, ist explizit herauszufinden, wie viel x wert ist. Dazu muss die Variable gelöscht werden.

Es wurde fälschlicherweise gelehrt, dass in diesem Fall, wenn Nummer 2 negativ ist, diese auf die andere Seite der Gleichheit mit einem positiven Vorzeichen übergeht. Aber es ist nicht richtig, es so zu sagen.

Im Grunde genommen wird die einheitliche Eigenschaft angewendet, wie wir weiter unten sehen werden. Die Idee ist, "x" zu löschen; Das heißt, lassen Sie es auf der einen Seite der Gleichung. Per Konvention ist es normalerweise auf der linken Seite.

Zu diesem Zweck ist die Zahl, die Sie eliminieren möchten, -2. Der Weg dazu wäre 2, da -2 + 2 = 0 und x + 0 = 0. Um dies zu tun, ohne die Gleichheit zu verändern, muss dieselbe Operation auf der anderen Seite angewendet werden.

Dies ermöglicht, dass die einheitliche Eigenschaft realisiert wird: als x-2 = 1, wenn die Zahl 2 auf beiden Seiten der Gleichheit addiert wird, sagt die einheitliche Eigenschaft, dass dieselbe nicht verändert wird. Dann haben wir das x-2 + 2 = 1 + 2, was gleichbedeutend ist mit x = 3. Damit wäre die Gleichung gelöst.

Ähnlich, wenn Sie die Gleichung (1/5) y-1 = 9 lösen wollen, können Sie wie folgt vorgehen:

Generell können folgende Aussagen gemacht werden:

- Wenn a-b = c-b, dann ist a = c.

- Wenn x-b = y, dann x = y + b.

- Wenn (1 / a) z = b, dann ist z = a ×

- Wenn (1 / c) a = (1 / c) b, dann ist a = b.

Stornierung Eigentum

Die Annullierungseigenschaft ist ein besonderer Fall von einheitlichem Besitz, insbesondere unter Berücksichtigung des Falles der Subtraktion und Division (die am Ende auch Addition und Multiplikation entsprechen). Diese Eigenschaft behandelt diesen Fall separat.

Zum Beispiel, wenn 7 + 2 = 9, dann 7 = 9-2. Oder wenn 2y = 6, dann y = 3 (dividiert durch zwei auf beiden Seiten).

Analog zum vorherigen Fall können über die Storno-Eigenschaft folgende Aussagen getroffen werden:

- Wenn a + b = c + b, dann ist a = c.

- Wenn x + b = y, dann x = y-b.

- Wenn az = b, dann z = b / a.

- Wenn ca = cb, dann a = b.

Ersatzeigentum

Wenn wir den Wert eines mathematischen Objekts kennen, gibt die Substitutionseigenschaft an, dass dieser Wert in jeder Gleichung oder jedem Ausdruck ersetzt werden kann. Wenn zum Beispiel b = 5 und a = bx, dann wird der Wert von "b" durch die zweite Gleichheit ersetzt, und wir haben a = 5x.

Ein anderes Beispiel ist das folgende: wenn "m" "n" teilt und auch "n" "m" teilt, dann muss es sein, dass m = n ist.

In der Tat bedeutet zu sagen, dass "m" "n" teilt (oder äquivalent, dass "m" ein Teiler von "n" ist), dass die Division m ∈ n genau ist; Das heißt, wenn Sie "m" durch "n" teilen, erhalten Sie eine Ganzzahl, keine Dezimalzahl. Dies kann dadurch ausgedrückt werden, dass gesagt wird, dass eine ganze Zahl "k" existiert, so dass m = k × n.

Da "n" auch "m" teilt, existiert eine ganze Zahl "p", so dass n = p × m ist. Für die Substitutionseigenschaft gilt n = p × k × n, und dazu gibt es zwei Möglichkeiten: n = 0, in diesem Fall hätten wir die Identität 0 = 0; oder p × k = 1, wobei die Identität n = n sein müsste.

Angenommen, "n" ist ungleich Null. Dann ist unbedingt p × k = 1; daher ist p = 1 und k = 1. Unter erneuter Verwendung der Substitutionseigenschaft wird, wenn k = 1 in die Gleichung m = k × n (oder äquivalent dazu p = 1 in n = p × m) substituiert wird, schließlich erhalten, dass m = n ist, was man demonstrieren wollte.

Besitz von Macht in einer Gleichheit

Wie zuvor wurde festgestellt, dass, wenn eine Operation als eine Summe, Multiplikation, Subtraktion oder Division in beiden Termen einer Gleichheit durchgeführt wird, diese beibehalten wird, genauso wie andere Operationen, die keine Gleichheit verändern, angewendet werden können.

Der Schlüssel ist, es immer auf beiden Seiten der Gleichheit zu tun und vorher sicherzustellen, dass die Operation ausgeführt werden kann. Dies ist der Fall der Ermächtigung; Das heißt, wenn beide Seiten einer Gleichung auf die gleiche Potenz gebracht werden, hat sie immer noch eine Gleichheit.

Beispiel: 3 = 3, dann 32=32 (9 = 9). Im Allgemeinen wird bei gegebener Ganzzahl "n", wenn x = y, xn= yn.

Eigenschaft der Wurzel in einer Gleichheit

Dies ist ein besonderer Fall von Potenzierung und gilt, wenn die Potenz eine nicht ganzzahlige rationale Zahl ist, wie etwa ½, die die Quadratwurzel darstellt. Diese Eigenschaft besagt, dass, wenn dieselbe Wurzel auf beiden Seiten einer Gleichheit angewendet wird (wenn möglich), die Gleichheit erhalten bleibt.

Anders als im vorherigen Fall müssen Sie hier auf die Parität der Wurzel achten, die angewendet wird, da bekannt ist, dass die gerade Wurzel einer negativen Zahl nicht gut definiert ist.

In dem Fall, dass das Radikal gerade ist, gibt es kein Problem. Zum Beispiel, wenn x3= -8, obwohl es eine Gleichheit ist, können Sie beispielsweise keine Quadratwurzel auf beiden Seiten anwenden. Wenn Sie jedoch eine kubische Wurzel anwenden können (was noch bequemer ist, wenn Sie den Wert von x explizit kennenlernen möchten), erhalten Sie x = -2.

Referenzen

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logik, Mengen und Zahlen. Mérida - Venezuela: Rat der Publikationen, Universidad de Los Andes.
  2. Jiménez, J., Rofríguez, M. & Estrada, R. (2005). Mathematik 1 SEP. Schwelle
  3. Lira, M.L. (1994). Simon und Mathematik: Mathematischer Text für das zweite Grundjahr: Schülerbuch. Andres Bello.
  4. Preciado, C. T. (2005). Mathematikkurs 3. Fortschritt Editorial.
  5. Segovia, B.R. (2012). Mathematische Aktivitäten und Spiele mit Miguel und Lucia. Baldomero Rubio Segovia.
  6. Toral, C. & Preciado, M. (1985). Mathematikkurs 2. Fortschritt Editorial.