Was sind Relative Cousins? Eigenschaften und Beispiele

Es heißt Verwandte Cousins (Koprimos oder Cousins ​​relativ zueinander) auf ein Paar Ganzzahlen, die keinen Teiler gemeinsam haben, außer 1.

Mit anderen Worten, zwei ganze Zahlen sind relative Primzahlen, wenn sie in ihren Zerlegungen in Primzahlen keinen gemeinsamen Faktor haben.

Wenn beispielsweise 4 und 25 gewählt werden, sind die Zerlegungen des Primfaktor-Faktors jeweils 2² und 5². Wie zu schätzen ist, haben diese keinen gemeinsamen Faktor, daher sind 4 und 25 relative Primzahlen.

Auf der anderen Seite, wenn die 6 und die 24 gewählt werden, wenn sie ihre Zerlegungen in Primfaktoren durchführen, erhalten wir 6 = 2 * 3 und 24 = 2³ * 3.

Wie Sie sehen können, haben diese letzten beiden Ausdrücke mindestens einen gemeinsamen Faktor, daher sind sie keine relativen Primzahlen.

Relative Cousins

Eine Sache, auf die man achten sollte, ist, dass das Sagen, dass ein Paar Ganzzahlen relative Primzahlen sind, dass dies nicht impliziert, dass irgendeine von ihnen eine Primzahl ist.

Auf der anderen Seite kann die obige Definition wie folgt zusammengefasst werden: zwei ganze Zahlen "a" und "b" sind relative Primzahlen, wenn und nur wenn der größte gemeinsame Teiler von diesen 1 ist, das heißt, mcd ( a, b) = 1.

Zwei unmittelbare Schlussfolgerungen dieser Definition sind:

-Wenn "a" (oder "b") eine Primzahl ist, dann ist mcd (a, b) = 1.

-Wenn "a" und "b" Primzahlen sind, dann ist mcd (a, b) = 1.

Das heißt, wenn mindestens eine der gewählten Zahlen eine Primzahl ist, dann ist das Zahlenpaar direkt eine relative Primzahl.

Andere Eigenschaften

Andere Ergebnisse, die verwendet werden, um festzustellen, ob zwei Zahlen relative Primzahlen sind, sind:

-Wenn zwei ganze Zahlen aufeinanderfolgen, sind dies relative Primzahlen.

- Zwei natürliche Zahlen "a" und "b" sind relative Primzahlen, wenn und nur wenn die Zahlen "(2 ^ a) -1" und "(2 ^ b) -1" relative Primzahlen sind.

- Zwei ganze Zahlen "a" und "b" sind relative Primzahlen, wenn und nur wenn man den Punkt (a, b) in der kartesischen Ebene aufträgt und die Linie konstruiert, die durch den Ursprung (0,0) und ( a, b), enthält keine Punkte mit ganzzahligen Koordinaten.

Beispiele

1.- Betrachte die ganzen Zahlen 5 und 12. Die Zerlegung der Primfaktoren beider Zahlen ist: 5 bzw. 2² * 3. Zusammenfassend ist gcd (5,12) = 1, daher sind 5 und 12 relative Primzahlen.

2.- Lassen Sie die Zahlen -4 und 6. Dann -4 = -2² und 6 = 2 * 3, so dass die LCD (-4.6) = 2 ≠ 1. Schlussfolgerung -4 und 6 sind keine Verwandten.

Wenn wir fortfahren, die Linie zu zeichnen, die durch die geordneten Paare (-4,6) und (0,0) verläuft, und die Gleichung dieser Linie zu bestimmen, können wir verifizieren, dass sie den Punkt (-2,3) passiert.

Wiederum wird geschlussfolgert, dass -4 und 6 keine relativen Primzahlen sind.

3.- Die Zahlen 7 und 44 sind relative Primzahlen und können dank des Obigen schnell abgeschlossen werden, da 7 eine Primzahl ist.

4.- Betrachte die Zahlen 345 und 346. Da zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind, wird verifiziert, dass mcd (345,346) = 1, 345 und 346 sind daher relative Primzahlen.

5.- Betrachtet man die Zahlen 147 und 74, so sind dies relative Primzahlen, denn 147 = 3 * 7² und 74 = 2 * 37, daher ist der gcd (147,74) = 1.

6.- Die Zahlen 4 und 9 sind relative Primzahlen. Um dies zu demonstrieren, kann die zweite oben erwähnte Charakterisierung verwendet werden. In der Tat 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 und 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Die erhaltenen Zahlen sind 15 und 511. Die Zerlegungen der Primfaktoren dieser Zahlen sind 3 · 5 bzw. 7 · 73, so daß mcd (15,511) = 1 ist.

Wie Sie sehen können, ist die Verwendung der zweiten Charakterisierung eine längere und aufwändigere Aufgabe als die direkte Überprüfung.

7.- Betrachten Sie die Zahlen -22 und -27. Dann können diese Zahlen wie folgt umgeschrieben werden: -22 = -2 * 11 und -27 = -3³. Daher sind die gcd (-22, -27) = 1, also -22 und -27 relative Primzahlen.

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