Bayes Theorem Erklärung, Anwendungen, Übungen



Die Bayes-Theorem ist ein Verfahren, das es uns erlaubt, die bedingte Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses A gegeben B ausgedrückt, in Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ereignis B gegeben A und die Wahrscheinlichkeitsverteilung von nur A.

Dieses Theorem ist sehr nützlich, da wir dank ihm die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A auftritt, in dem Wissen, dass B aufgetreten ist, mit der Wahrscheinlichkeit verbinden können, dass das Gegenteil eintritt, dh dass B bei gegebenem A auftritt.

Der Satz von Bayes war eine silberne Aussage von Reverend Thomas Bayes, ein englischer Theologe des 18. Jahrhunderts, der auch ein Mathematiker war. Er war Autor mehrerer theologischer Werke, ist aber gegenwärtig für einige mathematische Abhandlungen bekannt, unter denen der oben erwähnte Bayes-Satz als Hauptergebnis herausragt.

Bayes beschäftigte sich mit diesem Theorem in einem 1763 veröffentlichten Aufsatz mit dem Titel "Ein Versuch, ein Problem in der Wahrscheinlichkeitslehre zu lösen", auf dem großartige Werke entwickelt wurden. Studien mit Anwendungen in verschiedenen Bereichen des Wissens.

Index

  • 1 Erklärung
  • 2 Anwendungen des Bayes-Theorems
    • 2.1 Gelöste Übungen
  • 3 Referenzen

Erklärung

Zum Verständnis dieses Satzes sind zunächst einige Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie notwendig, insbesondere der Multiplikationssatz für die bedingte Wahrscheinlichkeit, der besagt, dass

Für E und A willkürliche Ereignisse eines Probenraums S.

Und die Definition von Partitionen, die uns sagt, wenn wir A haben1 A2, ..., An Ereignisse eines Sample-Space S, diese bilden eine Partition von S, wenn der Aich sie schließen sich gegenseitig aus und ihre Vereinigung ist S.

Lassen Sie B ein anderes Ereignis sein. Dann können wir B als sehen

Wo die Aich mit B geschnitten sind sich gegenseitig ausschließende Ereignisse.

Und folglich

Dann, Anwendung des Multiplikationssatzes

Auf der anderen Seite ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ai gegeben B definiert durch

Ersetzen wir angemessen für jedes i

Anwendungen des Bayes-Theorems

Dank dieses Ergebnisses ist es Forschern und diversen Unternehmen gelungen, die auf Wissen basierenden Systeme zu verbessern.

Zum Beispiel kann das Theorem von Bayes bei der Untersuchung von Krankheiten helfen, die Wahrscheinlichkeit zu erkennen, dass eine Krankheit in einer Gruppe von Menschen mit einer bestimmten Eigenschaft gefunden wird, wobei die globalen Raten der Krankheit und das Vorherrschen dieser Merkmale als Daten herangezogen werden Menschen, sowohl gesund als auch krank.

Auf der anderen Seite, in der Welt der Hochtechnologien, hat große Unternehmen beeinflusst, die dank dieses Ergebnis, Software "Basierend auf Wissen" entwickelt haben.

Als alltägliches Beispiel haben wir den Microsoft Office-Assistenten. Das Bayes-Theorem hilft der Software, die vom Benutzer präsentierten Probleme zu bewerten und zu bestimmen, welche Ratschläge zu geben sind und somit in der Lage zu sein, einen besseren Dienst entsprechend den Gewohnheiten des Benutzers anzubieten.

Es ist anzumerken, dass diese Formel bis vor kurzem ignoriert wurde, was hauptsächlich darauf zurückzuführen ist, dass bei der Entwicklung dieses Ergebnisses vor 200 Jahren wenig praktischer Nutzen für sie bestand. In unserer Zeit haben Wissenschaftler dank der großen technologischen Fortschritte Wege gefunden, dieses Ergebnis in die Praxis umzusetzen.

Gelöste Übungen

Übung 1

Ein Mobilfunkunternehmen verfügt über zwei A- und B-Maschinen: 54% der hergestellten Mobiltelefone werden von Maschine A und der Rest von Maschine B hergestellt. Nicht alle hergestellten Mobiltelefone sind in gutem Zustand.

Der Anteil von defekten Handys, die von A hergestellt werden, ist 0,2 und von B ist 0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Handy dieser Fabrik defekt ist? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Wissen, dass ein Handy defekt ist, von Maschine A kommt?

Lösung

Hier haben Sie ein Experiment, das in zwei Teilen durchgeführt wird; Im ersten Teil treten die Ereignisse auf:

A: Mobiltelefon, hergestellt von Maschine A.

B: Mobiltelefon, hergestellt von der Maschine B.

Da Maschine A 54% der Mobiltelefone herstellt und der Rest von Maschine B produziert wird, produziert Maschine B 46% der Mobiltelefone. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse sind gegeben, nämlich:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Die Ereignisse des zweiten Teils des Experiments sind:

D: defektes Handy

E: nicht defektes Handy.

Wie es in der Aussage gesagt wird, hängen die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse von dem im ersten Teil erhaltenen Ergebnis ab:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Mit diesen Werten können Sie auch die Wahrscheinlichkeiten der Komplemente dieser Ereignisse bestimmen, dh:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

und

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Jetzt kann Ereignis D wie folgt geschrieben werden:

Diese Ereignisse schließen sich gegenseitig aus.

Mit dem Multiplikationssatz für bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt sich:

Mit dem die erste Frage beantwortet wird.

Nun müssen wir nur noch P (A | D) berechnen, für das der Bayes-Theorem gilt:

Dank des Bayes-Theorems kann gesagt werden, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mobiltelefon von der Maschine A hergestellt wurde, in dem Wissen, dass das Mobiltelefon defekt ist, 0,319 ist.

Übung 2

Drei Boxen enthalten weiße und schwarze Kugeln. Die Zusammensetzung von jedem von ihnen ist wie folgt: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.

Eine der Boxen wird zufällig ausgewählt und ein zufälliger Ball wird daraus gezogen, was sich als weiß herausstellt. Welches ist die am wahrscheinlichsten gewählte Box?

Lösung

Durch U1, U2 und U3 werden wir auch die gewählte Box repräsentieren.

Diese Ereignisse bilden eine Partition von S und es wird verifiziert, dass P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, da die Wahl der Box zufällig ist.

Wenn B = {der extrahierte Ball ist weiß}, haben wir P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4.

Was wir erreichen wollen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball aus der Schachtel Ui herausgenommen wurde, da er wusste, dass der Ball weiß war, dh P (Ui | B), und um zu sehen, welcher der drei Werte der höchste war Box war eher die Extraktion der weißen Kugel.

Anwenden des Bayes-Theorems auf das erste der Felder:

Und für die anderen zwei:

P (U2 | B) = 2/6 und P (U3 | B) = 1/6.

Dann ist das erste der Kästchen dasjenige, das eine höhere Wahrscheinlichkeit hat, für die Extraktion des Spielballs ausgewählt worden zu sein.

Referenzen

  1. Kai Lai Chung Elementare Propositionstheorie mit stochastischen Prozessen. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, Diskrete Mathematik und ihre Anwendungen. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Wahrscheinlichkeit und statistische Anwendungen. S.A. ALHAMBRA MEXIKANISCHE.
  4. Seymour Lipschütz Ph.D. 2000 Diskrete Mathematik löste Probleme. McGRAW-HÜGEL.
  5. Seymour Lipschütz Ph.D. Theorie und Probleme der Wahrscheinlichkeit. McGRAW-HÜGEL.