Bernoulli Theorem Bernoulli Gleichung, Anwendungen und gelöste Übung

Die Bernoullis Theorem, beschreibt das Verhalten einer Flüssigkeit in Bewegung, wurde von dem Mathematiker und Physiker Daniel Bernoulli in seiner Arbeit verkündet Hydrodynamik. Nach dem Prinzip wird eine ideale Flüssigkeit (ohne Reibung oder Viskosität), die durch eine geschlossene Leitung zirkuliert, eine konstante Energie in ihrem Weg haben.

Der Satz kann aus dem Prinzip der Energieeinsparung und sogar aus Newtons zweitem Bewegungsgesetz abgeleitet werden. Bernoullis Prinzip besagt außerdem, dass eine Erhöhung der Geschwindigkeit eines Fluids eine Abnahme des Drucks, dem es ausgesetzt ist, eine Verringerung seiner potentiellen Energie oder beides gleichzeitig bedeutet.

Der Satz hat viele verschiedene Anwendungen, sowohl in Bezug auf die Welt der Wissenschaft als auch auf das tägliche Leben der Menschen.

Seine Folgen sind in der Stärke von Flugzeugen, in den Schornsteinen von Häusern und Industrien, in Wasserleitungen, unter anderem.

Index

• 1 Bernoulli-Gleichung
  • 1.1 Vereinfachte Form
• 2 Anwendungen
• 3 Übung gelöst
• 4 Referenzen

Bernoulli-Gleichung

Obwohl Bernoulli der Schluss gezogen hat, dass der Druck bei steigender Strömungsgeschwindigkeit abnimmt, ist es tatsächlich Leonhard Euler, der die Bernoulli-Gleichung tatsächlich so entwickelt hat, wie sie heute bekannt ist.

In jedem Fall lautet die Bernoulli-Gleichung, die nichts anderes als der mathematische Ausdruck seines Satzes ist:

v² ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = konstant

In diesem Ausdruck ist v die Geschwindigkeit des Fluids durch den betrachteten Abschnitt, ƿ ist die Dichte des Fluids, P ist der Fluiddruck, g ist der Wert der Erdbeschleunigung und z ist die Höhe, die in der Richtung gemessen wird der Schwerkraft.

In der Bernoulli-Gleichung ist enthalten, dass die Energie einer Flüssigkeit aus drei Komponenten besteht:

- Eine kinetische Komponente, die das Ergebnis der Geschwindigkeit ist, mit der sich die Flüssigkeit bewegt.

- Eine potentielle oder gravitative Komponente, die auf die Höhe der Flüssigkeit zurückzuführen ist.

- Eine Druckenergie, die das Fluid aufgrund des Drucks, dem es ausgesetzt ist, besitzt.

Auf der anderen Seite kann die Bernoulli-Gleichung auch so ausgedrückt werden:

v₁ ² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

Dieser letzte Ausdruck ist sehr praktisch, um die Veränderungen zu analysieren, die eine Flüssigkeit erfährt, wenn sich eines der Elemente ändert, die die Gleichung ausmachen.

Vereinfachte Form

In bestimmten Fällen ist die Änderung des Ausdrucks ρgz der Bernoulli-Gleichung im Vergleich zu den anderen Begriffen minimal, so dass es möglich ist, sie zu vernachlässigen. Dies geschieht beispielsweise in den Strömungen, die ein Flugzeug im Flug erfährt.

Bei diesen Gelegenheiten wird die Bernoulli-Gleichung wie folgt ausgedrückt:

P + q = P₀

In diesem Ausdruck ist q dynamischer Druck und entspricht v ² ∙ ƿ / 2 und P₀ ist der so genannte Gesamtdruck und ist die Summe aus dem statischen Druck P und dem dynamischen Druck q.

Anwendungen

Bernoulli Theorem hat viele verschiedene Anwendungen in so unterschiedlichen Bereichen wie Wissenschaft, Technik, Sport usw.

Eine interessante Anwendung findet sich im Design von Kaminen. Die Schornsteine ​​sind hoch gebaut, um einen größeren Druckunterschied zwischen der Basis und dem Ausgang des Schornsteins zu erreichen, wodurch es leichter ist, die Verbrennungsgase zu extrahieren.

Natürlich gilt die Bernoulli-Gleichung auch für die Untersuchung der Bewegung von Flüssigkeitsströmen in Rohren. Aus der Gleichung folgt, daß eine Verringerung der Querfläche des Rohres, um die Geschwindigkeit des durchströmenden Fluids zu erhöhen, auch eine Abnahme des Druckes impliziert.

Die Bernoulli-Gleichung wird auch in der Luftfahrt und in Formel-1-Fahrzeugen verwendet, im Fall der Luftfahrt ist der Bernoulli-Effekt der Ursprung der Flugzeugunterstützung.

Die Flügel des Flugzeugs sind mit dem Ziel konstruiert, eine größere Luftströmung im oberen Teil des Flügels zu erreichen.

Somit ist die Luftgeschwindigkeit im oberen Teil des Flügels hoch und daher der niedrigere Druck. Diese Druckdifferenz erzeugt eine vertikal nach oben gerichtete Kraft (Auftriebskraft), die es dem Flugzeug ermöglicht, sich in der Luft zu halten. Ein ähnlicher Effekt wird in den Querrudern von Formel-1-Autos erreicht.

Zielstrebige Übung

Durch ein Rohr mit einem Querschnitt von 4,2 cm² Ein Wasserstrahl fließt mit 5,18 m / s. Das Wasser steigt von einer Höhe von 9,66 m auf ein unteres Niveau mit einer Höhe von Null ab, während die Querfläche des Rohres auf 7,6 cm ansteigt².

a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Wasserflusses in der unteren Ebene.

b) Bestimmen Sie den Druck in der unteren Ebene, wobei Sie wissen, dass der Druck in der oberen Ebene 152000 Pa beträgt.

Lösung

a) Da der Fluss erhalten bleiben muss, folgt:

Q_{obere Ebene} = Q_{untere Ebene}

v₁ . S₁ = v₂ . S₂

5,18 m / s. 4,2 cm² = v₂ . 7,6 cm ^²

Clearing, du bekommst das:

v₂ = 2,86 m / s

b) Anwendung des Bernoulli-Theorems zwischen den beiden Ebenen unter Berücksichtigung der Wasserdichte von 1000 kg / m³ , das bekommst du:

v₁ ² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

(1/2). 1000 kg / m³ . (5,18 m / s)² + 152000 + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 9,66 m =

= (1/2). 1000 kg / m³ . (2,86 m / s)² + P₂ + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 0 m

Löschen P₂ du bekommst:

P₂ = 257926,4 Pa

Referenzen

1. Bernoulli's Prinzip. (n. d.) In Wikipedia. Abgerufen am 12. Mai 2018 von es.wikipedia.org.
2. Bernoulli's Prinzip. (n. d.) In Wikipedia. Abgerufen am 12. Mai 2018 von en.wikipedia.org.
3. Batchelor, G.K. (1967). Eine Einführung in die Fluiddynamik. Cambridge Universitätspresse.
4. Lamb, H. (1993). Hydrodynamik (6. Ausgabe). Cambridge Universitätspresse.
5. Mott, Robert (1996). Mechanik der angewandten Flüssigkeiten (4. Ausgabe). Mexiko: Pearson-Ausbildung.