Bozens Theorem Erklärung, Anwendungen und gelöste Übungen

Die Bozen Theorem besagt, dass, wenn eine Funktion in allen Punkten eines geschlossenen Intervalls kontinuierlich ist [a, b] und das Bild von „a“ und „b“ (low-Funktion) entgegengesetzte Vorzeichen haben, dann wird es mindestens einen Punkt hält "C" im offenen Intervall (a, b), so dass die in "c" ausgewertete Funktion gleich 0 ist.

Dieser Satz von der Philosoph, Theologe und Mathematiker Bernard Bolzano in 1850. Dieser Wissenschaftler verkündet wurde, geboren in der heutigen Tschechischen Republik war es einer der ersten Mathematiker in der Geschichte eine formale Demonstration der Eigenschaften von stetigen Funktionen zu machen.

Index

• 1 Erklärung
• 2 Demonstration
• 3 Wozu dient es?
• 4 Übungen gelöst
  • 4.1 Aufgabe 1
  • 4.2 Aufgabe 2
• 5 Referenzen

Erklärung

Bozens Theorem ist auch bekannt als der Zwischenwertsatz, der bei der Bestimmung bestimmter Werte, insbesondere Nullen, bestimmter realer Funktionen einer reellen Variablen hilft.

In einem gegebenen f (x) stetig, das heißt, f (a) und f (b) durch eine gekrümmte verbunden sind, wobei f (a) unter der x-Achse ist (negativ), f (b) -Funktion oberhalb der x-Achse (positiv) oder umgekehrt, bestehen graphisch einen Schnitt in der x-Achse einen Zwischenwert „c“ darstellt, die zwischen „a“ und „b“, und der Wert von F (c) wird gleich 0 sein

Wenn wir den Satz von Bozen graphisch analysieren, können wir wissen, dass für jede Funktion f zusammenhängend in einem Intervall [a, b] definiert ist, wobei f (a)_*f (b) ist kleiner als 0, es wird mindestens eine Wurzel "c" dieser Funktion innerhalb des Intervalls (a, b) geben.

Dieser Satz legt nicht die Anzahl der Punkte fest, die in diesem offenen Intervall existieren, sondern gibt nur an, dass es mindestens einen Punkt gibt.

Demonstration

Um den Satz von Bozen zu beweisen, wird ohne Verlust der Allgemeinheit angenommen, dass f (a) <0 und f (b)> 0; auf diese Weise kann es viele Werte zwischen "a" und "b" geben, für die gilt f (x) = 0, es muss jedoch nur eine davon existieren.

Beginne mit der Bewertung von f im Mittelpunkt (a + b) / 2. Wenn f ((a + b) / 2) = 0 ist, endet der Test hier; Andernfalls ist f ((a + b) / 2) positiv oder negativ.

Eine der Hälften des Intervalls [a, b] wird so gewählt, dass die Vorzeichen der an den Enden ausgewerteten Funktion verschieden sind. Dieses neue Intervall wird [a1, b1] sein.

Wenn nun f am Mittelpunkt von [a1, b1] nicht Null ist, wird dieselbe Operation wie zuvor ausgeführt; das heißt, eine Hälfte dieses Intervalls, das die Bedingung der Zeichen erfüllt, wird gewählt. Sei dieses neue Intervall [a2, b2].

Wenn dieser Prozess fortgesetzt wird, werden zwei Abfolgen {an} und {bn} verwendet, so dass:

{an} nimmt zu und {bn} sinkt:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Wenn Sie die Länge jedes Intervalls [ai, bi] berechnen, müssen Sie:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

… .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Daher ist die Grenze, wenn n gegen unendlich geht, gleich (bn-an) gleich 0.

Die Verwendung von {an} ist steigend und begrenzt und {bn} ist abnehmend und begrenzt, es muss ein Wert "c" sein, so dass:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Die Grenze von a ist "c" und die Grenze von {bn} ist auch "c". Wenn also δ> 0 gegeben ist, gibt es immer ein "n", so dass das Intervall [an, bn] innerhalb des Intervalls (c-δ, c + δ) enthalten ist.

Nun muss gezeigt werden, dass f (c) = 0 ist.

Wenn f (c)> 0, dann ist f kontinuierlich ist, da es ein ε> 0, so ist, dass f positive ganzes Intervall (c-ε, ε + c). Wie jedoch oben erwähnt, wird ein Wert "n", so dass f das Vorzeichen wechselt in [an, bn] sowie [an, bn] innerhalb (c-ε + ε c), wobei die enthaltenen Das ist ein Widerspruch.

Wenn f (c) <0, dann existiert, da f stetig ist, ein ε> 0, so dass f während des gesamten Intervalls negativ ist (c-ε, c + ε); aber es gibt einen Wert "n", so dass f das Vorzeichen [an, bn] ändert. Es stellt sich heraus, dass [a, bn] in (c-ε, c + ε) enthalten ist, was ebenfalls ein Widerspruch ist.

Daher ist f (c) = 0 und das wollten wir zeigen.

Wofür ist es?

Aus seiner grafischen Interpretation wird der Satz von Bozen verwendet, um Wurzeln oder Nullen in einer kontinuierlichen Funktion zu finden, durch die Bisektion (Approximation), die eine inkrementelle Suchmethode ist, die die Intervalle immer in 2 unterteilt.

Wenn also die Funktion das Vorzeichen über ein Intervall ändert, wird die Funktion f am Mittelpunkt ausgewertet, was wie folgt ausgedrückt wird:Die Wurzel wird gefunden, wenn f (c) = 0 ist. Wenn nicht, wird das Vorzeichen von f (c) analysiert, um festzustellen, ob es dem Vorzeichen von f (a) oder dem von f (b) entgegengesetzt ist.

Dann nehmen Sie ein Intervall [a, c] oder [c, b], wo die Änderung des Vorzeichens auftritt, und wiederholen Sie den Vorgang, bis das Intervall kleiner und kleiner ist, so dass Sie den gewünschten Wert erreichen können; das ist der Wert, den die Funktion 0 macht.

Zusammengefasst, um den Satz von Bozen anzuwenden und somit die Wurzeln zu finden, die Nullstellen einer Funktion abzugrenzen oder eine Gleichung zu lösen, werden die folgenden Schritte ausgeführt:

- Überprüfen Sie, ob im Intervall [a, b] eine stetige Funktion ist.

- Wenn das Intervall nicht angegeben ist, muss man gefunden werden, wo die Funktion kontinuierlich ist.

- Überprüfen Sie, ob die Extremwerte des Intervalls bei der Auswertung in f entgegengesetzte Vorzeichen ergeben.

- Wenn keine entgegengesetzten Vorzeichen erhalten werden, sollte das Intervall in zwei Teilintervalle unter Verwendung des Mittelpunkts unterteilt werden.

- Bewerten Sie die Funktion in der Mitte und verifizieren Sie, dass die Bozen-Hypothese erfüllt ist, wobei f (a) _* f (b) <0.

- Abhängig vom Vorzeichen (positiv oder negativ) des gefundenen Wertes wird der Prozess mit einem neuen Subintervall solange wiederholt, bis die oben genannte Hypothese erfüllt ist.

Gelöste Übungen

Übung 1

Bestimmen Sie, ob die Funktion f (x) = x ist² - 2, hat im Intervall [1,2] mindestens eine echte Lösung.

Lösung

Wir haben die Funktion f (x) = x² - 2. Da es Polynom ist, bedeutet es, dass es in jedem Intervall kontinuierlich ist.

Sie werden gefragt, ob Sie eine echte Lösung im Intervall [1, 2] haben, also müssen Sie jetzt nur die Enden des Intervalls in der Funktion ersetzen, um das Vorzeichen dieser zu kennen und zu wissen, ob sie die Bedingung erfüllen, anders zu sein:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negativ)

f (2) = 2² - 2 = 2 (positiv)

Daher Vorzeichen von f (1) ≠ Vorzeichen f (2).

Dies stellt sicher, dass es mindestens einen Punkt "c" gibt, der zu dem Intervall [1,2] gehört, wobei f (c) = 0 ist.

In diesem Fall kann der Wert von "c" leicht wie folgt berechnet werden:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Somit gehört √2 ∈ 1.4 zum Intervall [1,2] und erfüllt f (√2) = 0.

Übung 2

Beweisen Sie, dass die Gleichung x⁵ + x + 1 = 0 hat mindestens eine echte Lösung.

Lösung

Beachten Sie zuerst, dass f (x) = x ist⁵ + x + 1 ist eine Polynomfunktion, was bedeutet, dass sie in allen reellen Zahlen stetig ist.

In diesem Fall ist kein Intervall angegeben, daher sollten Sie Werte intuitiv wählen, vorzugsweise nahe bei 0, um die Funktion zu bewerten und die Vorzeichenänderungen zu finden:

Wenn Sie das Intervall [0, 1] verwenden, müssen Sie:

f (x) = x⁵ + x + 1

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Da es keine Vorzeichenänderung gibt, wird der Prozess mit einem anderen Intervall wiederholt.

Wenn Sie das Intervall [-1, 0] verwenden, müssen Sie:

f (x) = x⁵ + x + 1

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 =  1 > 0.

In diesem Intervall gibt es eine Änderung des Vorzeichens: Vorzeichen von f (-1) ≠ Vorzeichen von f (0), was bedeutet, dass die Funktion f (x) = x ist⁵ + x + 1 hat mindestens eine echte Wurzel "c" im Intervall [-1, 0], so dass f (c) = 0 ist. Mit anderen Worten, es ist wahr, dass x⁵ + x + 1 = 0 hat eine echte Lösung im Intervall [-1,0].

Referenzen

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