Euklidsche Theoremformeln, Demonstration, Anwendung und Übungen



Die Euklids Theorem demonstriert die Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks durch Zeichnen einer Linie, die es in zwei neue rechtwinklige Dreiecke teilt, die einander ähnlich sind und wiederum dem ursprünglichen Dreieck ähneln; dann gibt es eine Beziehung der Proportionalität.

Euklid war einer der größten Mathematiker und Geometer des Altertums, der mehrere Demonstrationen wichtiger Theoreme machte. Einer der wichtigsten ist der, der seinen Namen trägt, der eine breite Anwendung gefunden hat.

Dies ist so, weil durch dieses Theorem auf einfache Weise die geometrischen Beziehungen erklärt werden, die im rechten Dreieck existieren, wo die Beine davon mit ihren Projektionen in der Hypotenuse verwandt sind.

Index

  • 1 Formeln und Demonstration
    • 1.1 Theorem der Höhe
    • 1.2 Satz der Beine
  • 2 Beziehung zwischen Euklids Theoremen
  • 3 Übungen gelöst
    • 3.1 Beispiel 1
    • 3.2 Beispiel 2
  • 4 Referenzen

Formeln und Demonstration

Der Satz von Euklid schlägt vor, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck, wenn eine Linie gezeichnet wird - die die Höhe darstellt, die dem Scheitelpunkt des rechten Winkels in Bezug auf die Hypotenuse entspricht - zwei rechtwinklige Dreiecke aus dem Original gebildet werden.

Diese Dreiecke sind einander ähnlich und ähneln auch dem ursprünglichen Dreieck, was bedeutet, dass ihre ähnlichen Seiten proportional zueinander sind:

Die Winkel der drei Dreiecke sind kongruent; das heißt, wenn er an seinem Scheitelpunkt um 180 Grad gedreht wird, fällt ein Winkel auf den anderen. Dies bedeutet, dass alle gleich sind.

Auf diese Weise können Sie auch die Ähnlichkeit zwischen den drei Dreiecken durch die Gleichheit ihrer Winkel überprüfen. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke legt Euklid die Proportionen dieser Dreiecke aus zwei Sätzen fest:

- Theorem der Höhe.

- Satz der Beine.

Dieser Satz hat eine breite Anwendung. In der Antike wurde es verwendet, um Höhen oder Entfernungen zu berechnen, was einen großen Fortschritt für die Trigonometrie darstellt.

Es wird derzeit in mehreren Bereichen angewendet, die auf Mathematik basieren, wie zum Beispiel Maschinenbau, Physik, Chemie und Astronomie, neben vielen anderen Bereichen.

Höhensatz

Dieser Satz besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck die Höhe, die vom rechten Winkel in Bezug auf die Hypotenuse gezogen wird, das geometrisch proportionale Mittel (das Quadrat der Höhe) zwischen den Projektionen der Beine ist, das die Hypotenuse bestimmt.

Das heißt, das Quadrat der Höhe ist gleich der Multiplikation der projizierten Beine, die die Hypotenuse bilden:

hc2 = m * n

Demonstration

Bei einem Dreieck ABC, das ein Rechteck am Scheitelpunkt C ist, werden beim Zeichnen der Höhe zwei ähnliche rechte Dreiecke, ADC und BCD, erzeugt; Daher sind ihre entsprechenden Seiten proportional:

So dass die Höhe hc was dem Segment CD entspricht, entspricht der Hypotenuse AB = c, also müssen wir:

Dies entspricht wiederum:

Löschen der Hypotenuse (hc), um die zwei Mitglieder der Gleichheit zu multiplizieren, müssen Sie:

hc * hc = m * n

hc2 = m * n

Somit ist der Wert der Hypotenuse gegeben durch:

Satz der Beine

Dieses Theorem besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck das Maß jedes Beines das geometrische proportionale Mittel (das Quadrat jedes Beines) zwischen der Messung der Hypotenuse (vollständig) und der Projektion von jedem darauf ist:

b2 = c * m

a2 = c* n

Demonstration

Bei einem Dreieck ABC, das am Eckpunkt C ein Rechteck ist, so dass seine Hypotenuse c ist, werden beim Zeichnen der Höhe (h) die Projektionen der Schenkel a und b, die die Segmente m bzw. n sind, bestimmt. die Hypotenuse.

Wir haben also, dass die Höhe, die auf dem rechten Dreieck ABC gezeichnet wird, zwei ähnliche rechte Dreiecke, ADC und BCD, erzeugt, so dass die entsprechenden Seiten proportional sind, wie folgt:

DB = n, was die Projektion des CB-Beines auf die Hypotenuse ist.

AD = m, das ist die Projektion des Katheten AC auf die Hypotenuse.

Dann wird die Hypotenuse c durch die Summe der Beine ihrer Projektionen bestimmt:

c = m + n

Aufgrund der Ähnlichkeit der Dreiecke ADC und BCD müssen wir:

Das obige ist das gleiche wie:

Löschen Sie das Bein "a", um die zwei Mitglieder der Gleichheit zu multiplizieren, müssen Sie:

a * a = c * n

a2 = c * n

Somit ist der Wert des Beines "a" gegeben durch:

Ähnlich müssen wir durch die Ähnlichkeit der Dreiecke ACB und ADC:

Das obige ist gleich:

Indem man das Bein "b" löscht, um die zwei Mitglieder der Gleichheit zu multiplizieren, muss man:

b * b = c * m

b2 = c * m

Somit ist der Wert des Beins "b" gegeben durch:

Beziehung zwischen Euklids Theoremen

Die Sätze in Bezug auf Höhe und Beine sind miteinander verwandt, weil die Messung von beiden in Bezug auf die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks erfolgt.

Durch die Beziehung von Euklids Theoremen kann auch der Wert der Höhe gefunden werden; das ist möglich, indem man die Werte von m und n des Beinsatzes löscht und sie im Höhensatz ersetzt werden. Auf diese Weise ist die Höhe gleich der Multiplikation der Beine geteilt durch die Hypotenuse:

b2 = c * m

m = b2 ÷ c 

a2 = c * n

n = a2 ÷ c

Im Höhentheorem werden m und n ersetzt:

hc2 = m * n

hc2 = (b2 ÷ c) * (a2 ÷ c)

hc = (b2 * a2) ÷ c

Gelöste Übungen

Beispiel 1

Gegeben das Dreieck ABC, Rechteck in A, bestimmen Sie das Maß von AC und AD, wenn AB = 30 cm und BD = 18 cm

Lösung

In diesem Fall haben wir die Maße eines der projizierten Beine (BD) und eines der Beine des ursprünglichen Dreiecks (AB). Auf diese Weise kann der Beinsatz angewendet werden, um den Wert des BC-Beines zu finden.

AB2 = BD * BC

(30)2 = 18 * BC

900 = 18 * BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Der Wert des CD-Kathetens kann mit dem Wissen BC = 50 gefunden werden:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Jetzt ist es möglich, den Wert des Katheten AC zu bestimmen, indem wir erneut den Beinsatz anwenden:

Wechselstrom2 = CD * BD

Wechselstrom2 = 32 * 50

Wechselstrom2 = 160

AC = 1600 = 40 cm

Um den Wert der Höhe (AD) zu bestimmen, wird der Höhensatz angewendet, da die Werte der projizierten Beine CD und BD bekannt sind:

AD2 = 32 * 18

AD2 = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Beispiel 2

Bestimmen Sie den Wert der Höhe (h) eines Dreiecks MNL, Rechteck in N, die Messungen der Segmente kennen:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Lösung

Sie haben die Messung eines der an der Hypotenuse (PM) projizierten Beine sowie die Maße der Beine des ursprünglichen Dreiecks. Auf diese Weise können Sie den Beinsatz anwenden, um den Wert des anderen projizierten Katheten (LN) zu finden:

NL2 = PM * LM

(10)2 = 5 * LM

100 = 5 * LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Wie wir bereits den Wert der Beine und der Hypotenuse kennen, kann durch die Beziehung der Sätze der Höhe und der Beine der Wert der Höhe bestimmt werden:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b2 * a2) ÷ c.

h = (102 * 52)  ÷ (20)

h = (100 * 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Referenzen

  1. Braun, E. (2011). Chaos, Fraktale und seltsame Dinge. Wirtschaftskulturfonds.
  2. Cabrera, V. M. (1974). Moderne Mathematik, Band 3.
  3. Daniel Hernandez, D. P. (2014). 3. Jahr Mathe Caracas: Santillana.
  4. Encyclopaedia Britannica, ich. (1995). Hispanische Enzyklopädie: Macropedia. Enzyklopädie Britannica Verleger.
  5. Euklid, R. P. (1886). Euklids Elemente der Geometrie.
  6. Guardeño, A.J. (2000). Das Erbe der Mathematik: von Euklid bis Newton, die Genies durch seine Bücher. Universität von Sevilla.