Transformierte Laplace-Definition, Geschichte, wofür es steht, Eigenschaften

Die verwandelt von Laplace in den letzten Jahren von großer Bedeutung in Studien der Technik, Mathematik, Physik, neben anderen wissenschaftlichen Bereichen, da neben der von großem Interesse für die theoretische, bietet eine einfache Möglichkeit, Probleme zu lösen, die aus der Wissenschaft und Technik kommen .

Ursprünglich wurde die Laplace-Transformation von Pierre-Simon Laplace in seinem Studium der Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt und anfänglich als ein mathematisches Objekt von lediglich theoretischem Interesse behandelt.

Aktuelle Anwendungen ergeben sich, wenn verschiedene Mathematiker versuchten, die von Heaviside verwendeten "Betriebsregeln" bei der Untersuchung von Gleichungen der elektromagnetischen Theorie formal zu begründen.

Index

• 1 Definition
  • 1.1 Beispiele
  • 1.2 Satz (Ausreichende Existenzbedingungen)
  • 1.3 Laplace-Transformation einiger Grundfunktionen
• 2 Geschichte
  • 2.1 1782, Laplace
  • 2.2 Oliver Heaviside
• 3 Eigenschaften
  • 3.1 Linearität
  • 3.2 Erster Translationssatz
  • 3.3 Zweiter Übersetzungstheorem
  • 3.4 Maßstabsveränderung
  • 3.5 Umwandlung von Laplace der Derivate
  • 3.6 Laplace-Transformation von Integralen
  • 3.7 Multiplikation mit tn
  • 3.8 Division durch t
  • 3.9 Periodische Funktionen
  • 3.10 Verhalten von F (s), wenn s gegen unendlich geht
• 4 Inverse Transformationen
  • 4.1 Übung
• 5 Anwendungen der Laplace-Transformation
  • 5.1 Differentialgleichungen
  • 5.2 Systeme von Differentialgleichungen
  • 5.3 Mechanik und elektrische Schaltungen
• 6 Referenzen

Definition

Sei f eine definierte Funktion für t ≥ 0. Die Laplace-Transformation ist wie folgt definiert:

Es wird gesagt, dass die Laplace-Transformation existiert, wenn das vorherige Integral konvergiert, andernfalls wird gesagt, dass die Laplace-Transformation nicht existiert.

Um die Funktion zu bezeichnen, die man transformieren möchte, werden im Allgemeinen Kleinbuchstaben verwendet und der Großbuchstabe entspricht seiner Transformation. Auf diese Weise werden wir:

Beispiele

Betrachten Sie die konstante Funktion f (t) = 1. Wir haben, dass seine Transformation ist:

Immer wenn das Integral konvergiert, wird immer vorausgesetzt, dass s> 0. Andernfalls, s <0, divergiert das Integral.

Sei g (t) = t. Seine Laplace-Transformation ist gegeben durch

Durch die Integration in Teile und das Wissen, dass Sie^-st es neigt zu 0, wenn t gegen unendlich geht und s> 0, zusammen mit dem vorherigen Beispiel haben wir das:

Die Transformation kann oder kann nicht existieren, zum Beispiel für die Funktion f (t) = 1 / t konvergiert das Integral, das seine Laplace-Transformation definiert, nicht und deshalb existiert seine Transformation nicht.

Ausreichende Bedingungen, um zu garantieren, dass die Laplace-Transformation einer Funktion f existiert, sind, dass f in Teilen für t ≥ 0 kontinuierlich ist und exponentiell ist.

Es wird gesagt, dass eine Funktion in Teilen für t ≥ 0 kontinuierlich ist, wenn für jedes Intervall [a, b] mit a> 0 eine endliche Anzahl von Punkten t existiert_k, wobei f Diskontinuitäten aufweist und in jedem Subintervall [t_k-1, t_k].

Auf der anderen Seite wird gesagt, dass eine Funktion der Exponentialordnung c ist, wenn es reale Konstanten M> 0, c und T> 0 gibt, so dass:

Als Beispiele haben wir das f (t) = t² ist exponentiell, da | t²| <e^3t für alle t> 0.

Formal haben wir das folgende Theorem

Satz (Ausreichende Existenzbedingungen)

Wenn f für t> 0 und für die Exponentialordnung c eine stetige Funktion pro Teil ist, dann gibt es die Laplace-Transformation für s> c.

Es ist wichtig hervorzuheben, dass dies eine Bedingung der Suffizienz ist, das heißt, es könnte der Fall sein, dass es eine Funktion gibt, die diese Bedingungen nicht erfüllt, und selbst dann existiert ihre Laplace-Transformation.

Ein Beispiel hierfür ist die Funktion f (t) = t^-1/2 das ist in Teilen für t ≥ 0 nicht zusammenhängend, aber seine Laplace-Transformation existiert.

Laplace-Transformation einiger Grundfunktionen

Die folgende Tabelle zeigt die Laplace-Transformationen der gebräuchlichsten Funktionen.

Geschichte

Die Laplace-Transformation verdankt ihren Namen Pierre-Simon Laplace, Mathematiker und französischer theoretischer Astronom, der 1749 geboren wurde und 1827 starb. Sein Ruhm war so, dass er als Newton von Frankreich bekannt wurde.

Im Jahr 1744 widmete Leonard Euler seine Studien Integralen mit der Form

als Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen, gab aber diese Untersuchung schnell auf. Später hat auch Joseph Louis Lagrange, der Euler sehr bewunderte, diese Art von Integralen untersucht und mit der Wahrscheinlichkeitstheorie in Beziehung gebracht.

1782, Laplace

Im Jahr 1782 begann Laplace, diese Integrale als Lösungen für Differentialgleichungen zu untersuchen und 1785 entschied er sich laut Historikern, das Problem neu zu formulieren, das später die Laplace-Transformationen hervorbrachte, wie sie heute verstanden werden.

Da sie in die Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt wurde, war sie für die Wissenschaftler der Zeit von geringem Interesse und wurde nur als ein mathematisches Objekt von theoretischem Interesse angesehen.

Oliver Heaviside

Es war in der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts, als der englische Ingenieur Oliver Heaviside entdeckte, dass Differentialoperatoren als algebraische Variablen behandelt werden können und somit ihre moderne Anwendung den Laplace-Transformationen geben.

Oliver Heaviside war ein englischer Physiker, Elektrotechniker und Mathematiker, der 1850 in London geboren wurde und 1925 starb.Während er versuchte, Probleme der Differentialgleichungen zu lösen, die auf die Schwingungstheorie angewendet wurden und die Laplace-Studien verwendeten, begann er, die modernen Anwendungen der Laplace-Transformationen zu formen.

Die von Heaviside gezeigten Ergebnisse verbreiteten sich schnell in der wissenschaftlichen Gemeinschaft der Zeit, aber da ihre Arbeit nicht streng war, wurde sie schnell von traditionelleren Mathematikern kritisiert.

Die Nützlichkeit der Arbeit von Heaviside bei der Lösung physikalischer Gleichungen machte seine Methoden jedoch bei Physikern und Ingenieuren beliebt.

Trotz dieser Rückschläge und nach einigen Jahrzehnten gescheiterter Versuche konnte zu Beginn des 20. Jahrhunderts eine strenge Rechtfertigung für die von Heaviside gegebenen Betriebsregeln gegeben werden.

Diese Versuche zahlten sich dank der Bemühungen verschiedener Mathematiker wie Bromwich, Carson, van der Pol und anderen aus.

Eigenschaften

Unter den Eigenschaften der Laplace-Transformation fallen die folgenden auf:

Linearität

Seien c1 und c2 Konstanten und f (t) und g (t) Funktionen, deren Laplace-Transformationen F (s) bzw. G (s) sind, dann müssen wir:

Aufgrund dieser Eigenschaft wird gesagt, dass die Laplace-Transformation ein linearer Operator ist.

Beispiel

Erster Übersetzungssatz

Wenn es passiert, dass:

Und 'a' ist eine reelle Zahl, dann:

Beispiel

Wie die Laplace-Transformation von cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) dann:

Zweiter Übersetzungstheorem

Ja

Dann

Beispiel

Wenn f (t) = t ^ 3, dann ist F (s) = 6 / s ^ 4. Und daher die Transformation von

ist G (s) = 6e^-2s/ s ^ 4

Änderung der Skala

Ja

Und 'a' ist ein Nicht-Null-Real, wir müssen

Beispiel

Da die Transformation von f (t) = sin (t) F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) ist, muss es sein

Umwandlung von Laplace von Derivaten

Wenn f, f ', f ", ..., f⁽ⁿ⁾ sind für t ≥ 0 stetig und haben eine exponentielle Ordnung und f⁽ⁿ⁾(t) ist dann in Teilen für t ≥ 0 zusammenhängend

Laplace-Transformation von Integralen

Ja

Dann

Multiplikation mit tⁿ

Wenn wir müssen

Dann

Division durch t

Wenn wir müssen

Dann

Periodische Funktionen

Sei f eine periodische Funktion mit der Periode T> 0, also f (t + T) = f (t)

Verhalten von F (s), wenn s gegen unendlich geht

Wenn f in Teilen und in exponentieller Reihenfolge stetig ist und

Dann

Inverse Transformationen

Wenn wir die Laplace-Transformation auf eine Funktion f (t) anwenden, erhalten wir F (s), was diese Transformation darstellt. Auf die gleiche Weise können wir sagen, dass f (t) die inverse Laplace-Transformation von F (s) ist und als geschrieben wird

Wir wissen, dass die Laplace-Transformationen von f (t) = 1 und g (t) = t F (s) = 1 / s und G (s) = 1 / s sind² entsprechend, also müssen wir

Einige übliche inverse Laplace-Transformationen sind wie folgt

Außerdem ist die inverse Laplace-Transformation linear, das heißt, dass sie erfüllt ist

Übung

Finden

Um diese Übung zu lösen, müssen wir die Funktion F (s) mit einer der vorherigen Tabelle abgleichen. In diesem Fall, wenn wir n + 1 = 5 nehmen und die Linearitätseigenschaft der inversen Transformation verwenden, multiplizieren wir und dividieren durch 4! Bekommen

Für die zweite inverse Transformation wenden wir partielle Brüche an, um die Funktion F (s) und dann die Eigenschaft der Linearität neu zu schreiben

Wie wir aus diesen Beispielen sehen können, ist es üblich, dass die Funktion F (s), die ausgewertet wird, nicht mit irgendeiner der in der Tabelle angegebenen Funktionen übereinstimmt. Für diese Fälle ist es wie erwähnt ausreichend, die Funktion neu zu schreiben, bis sie die geeignete Form erreicht.

Anwendungen der Laplace-Transformation

Differentialgleichungen

Die Hauptanwendung der Laplace-Transformationen besteht darin, Differentialgleichungen zu lösen.

Mit der Eigenschaft der Transformation eines Derivats ist klar, dass

Und von den n-1 Derivaten ausgewertet bei t = 0.

Diese Eigenschaft macht die Transformation sehr nützlich zum Lösen von Anfangswertproblemen, wo Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beteiligt sind.

Die folgenden Beispiele zeigen, wie die Laplace-Transformation zum Lösen von Differentialgleichungen verwendet wird.

Beispiel 1

Angesichts des folgenden Anfangswertproblems

Verwenden Sie die Laplace-Transformation, um die Lösung zu finden.

Wir wenden die Laplace-Transformation auf jedes Glied der Differentialgleichung an

Für die Eigenschaft der Umwandlung eines Derivats haben wir

Durch die Entwicklung aller Ausdruck und Clearing Y (s) sind wir übrig

Wir verwenden partielle Brüche, um die rechte Seite der Gleichung neu zu schreiben

Schließlich ist es unser Ziel, eine Funktion y (t) zu finden, die die Differentialgleichung erfüllt. Die Verwendung der inversen Laplace-Transformation gibt uns das Ergebnis

Beispiel 2

Lösen

Wie im vorherigen Fall wenden wir die Transformation auf beiden Seiten der Gleichung an und trennen Term für Term.

Auf diese Weise haben wir als Ergebnis

Ersetzen durch die angegebenen Anfangswerte und Löschen von Y (s)

Mit einfachen Brüchen können wir die Gleichung wie folgt umschreiben

Und die Anwendung der inversen Transformation von Laplace gibt uns als Ergebnis

In diesen Beispielen könnte man zu der falschen Schlussfolgerung gelangen, dass diese Methode nicht viel besser ist als die traditionellen Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen.

Die Vorteile der Laplace-Transformation bestehen darin, dass es nicht notwendig ist, Parametervariationen zu verwenden oder sich um die verschiedenen Fälle der Methode mit unbestimmten Koeffizienten zu kümmern.

Zusätzlich zur Lösung von Anfangswertproblemen durch diese Methode verwenden wir von Anfang an die Anfangsbedingungen, so dass es nicht notwendig ist, andere Berechnungen durchzuführen, um die bestimmte Lösung zu finden.

Differentialgleichungssysteme

Die Laplace-Transformation kann auch verwendet werden, um Lösungen für simultane gewöhnliche Differentialgleichungen zu finden, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel

Lösen

Mit den Anfangsbedingungen gilt x (0) = 8 e und (0) = 3.

Wenn wir müssen

Dann

Die Ergebnisse in uns auflösen

Und wenn wir die umgekehrte Laplace-Transformation anwenden, haben wir

Mechanik und elektrische Schaltungen

Die Laplace-Transformation ist in der Physik von großer Bedeutung und hat hauptsächlich Anwendungen für Mechanik und elektrische Schaltungen.

Ein einfacher elektrischer Schaltkreis besteht aus den folgenden Elementen

Ein Schalter, eine Batterie oder eine Quelle, eine Induktivität, ein Widerstand und ein Kondensator. Wenn der Schalter geschlossen ist, wird ein elektrischer Strom erzeugt, der mit i (t) bezeichnet ist. Die Kondensatorladung ist mit q (t) bezeichnet.

Nach Kirchhoffs zweitem Gesetz muss die von der Quelle E an den geschlossenen Stromkreis angelegte Spannung gleich der Summe der einzelnen Spannungsabfälle sein.

Der elektrische Strom i (t) hängt mit der Ladung q (t) in dem Kondensator durch i = dq / dt zusammen. Auf der anderen Seite ist der Spannungsabfall in jedem der Elemente wie folgt definiert:

Der Spannungsabfall in einem Widerstand ist iR = R (dq / dt)

Der Spannungsabfall in einem Induktor ist L (di / dt) = L (d²q / dt²)

Der Spannungsabfall in einem Kondensator ist q / C

Mit diesen Daten und der Anwendung des zweiten Kirchhoff-Gesetzes auf die geschlossene einfache Schaltung wird eine Differentialgleichung zweiter Ordnung erhalten, die das System beschreibt und es uns ermöglicht, den Wert von q (t) zu bestimmen.

Beispiel

Ein Induktor, ein Kondensator und ein Widerstand sind mit einer Batterie E verbunden, wie in der Figur gezeigt. Der Induktor hat 2 Henry, der Kondensator 0,02 Farad und der Widerstand 16 Ohm. Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Schaltung geschlossen. Finden Sie die Last und den Strom zu jedem Zeitpunkt t> 0, wenn E = 300 Volt.

Wir haben die Differentialgleichung, die diese Schaltung beschreibt, wie folgt

Wo die Anfangsbedingungen q (0) = 0 sind, ist i (0) = 0 = q '(0).

Wenn wir die Laplace-Transformation anwenden, bekommen wir das

Und löschen Q (t)

Dann wenden wir die inverse Laplace-Transformation an

Referenzen

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplace-Transformation für Elektronikingenieure. Kalk.
2. Ruiz, L. M. & Hernandez, M. P. (2006). Differentialgleichungen und Laplace-Transformation mit Anwendungen. Redaktioneller UPV.
3. Simmons, G. F. (1993). Differentialgleichungen mit Anwendungen und historischen Notizen. McGraw-Hügel.
4. Spiegel, M.R. (1991). Von Laplace transformiert. McGraw-Hügel.
5. Zill, D.G., und Cullen, M.R. (2008). Differentialgleichungen mit Problemen von Werten an der Grenze. Cengage Learning Editores, S.A.