Isometrische Transformationen Zusammensetzung, Arten und Beispiele



Die Isometrische Transformationen sie sind Änderungen der Position oder Orientierung einer bestimmten Figur, die weder ihre Form noch ihre Größe verändern. Diese Transformationen werden in drei Arten klassifiziert: Translation, Rotation und Reflexion (Isometrie). Im Allgemeinen erlauben geometrische Transformationen das Erstellen einer neuen Figur aus einer anderen gegebenen.

Eine Umwandlung in eine geometrische Figur bedeutet, dass sie in gewisser Weise verändert wurde; das heißt, dass es verändert wurde. Nach dem Sinn des Originals und der Ähnlichkeit in der Ebene können geometrische Transformationen in drei Arten eingeteilt werden: isometrisch, isomorph und anamorph.

Index

  • 1 Eigenschaften
  • 2 Arten
    • 2.1 Durch Übersetzung
    • 2.2 Durch Rotation
    • 2.3 Durch Reflexion oder Symmetrie
  • 3 Zusammensetzung
    • 3.1 Zusammensetzung einer Übersetzung
    • 3.2 Zusammensetzung einer Rotation
    • 3.3 Zusammensetzung einer Symmetrie
  • 4 Referenzen

Eigenschaften

Isometrische Transformationen treten auf, wenn die Größen der Segmente und die Winkel zwischen der ursprünglichen und der transformierten Figur erhalten bleiben.

Bei dieser Art von Transformation werden weder die Form noch die Größe der Figur verändert (sie sind kongruent), es ist nur eine Veränderung der Position der Figur, entweder in der Orientierung oder in der Richtung. Auf diese Weise werden die Anfangs- und Endfiguren ähnlich und geometrisch kongruent sein.

Isometrie bezieht sich auf Gleichheit; das heißt, dass die geometrischen Figuren isometrisch sind, wenn sie die gleiche Form und Größe haben.

Bei isometrischen Transformationen kann nur eine Änderung der Position in der Ebene beobachtet werden, eine starre Bewegung tritt auf, dank der die Figur von einer Anfangsposition in eine Endposition wechselt. Diese Figur wird als homolog (ähnlich) zum Original bezeichnet.

Es gibt drei Arten von Bewegungen, die eine isometrische Transformation klassifizieren: Translation, Rotation und Reflexion oder Symmetrie.

Typen

Durch Übersetzung

Sind jene Isometrien, die es erlauben, alle Punkte der Ebene in einer bestimmten Richtung und Entfernung in einer geraden Linie zu bewegen.

Wenn eine Figur durch Translation transformiert wird, ändert sie weder ihre Orientierung in Bezug auf die ursprüngliche Position, noch verliert sie ihre inneren Maße, die Maße ihrer Winkel und Seiten. Diese Art der Verschiebung wird durch drei Parameter definiert:

- Eine Richtung, die horizontal, vertikal oder schräg sein kann.

- Ein Sinn, der links, rechts, oben oder unten sein kann.

- Abstand oder Größe, dh die Länge von der Anfangsposition bis zum Ende eines beliebigen Punktes, der sich bewegt.

Damit eine isometrische Transformation durch Translation erfüllt werden kann, muss sie folgende Bedingungen erfüllen:

- Die Figur muss immer alle ihre Dimensionen behalten, sowohl linear als auch eckig.

- Die Figur ändert ihre Position in Bezug auf die horizontale Achse nicht; das heißt, sein Winkel ändert sich nie.

- Die Übersetzungen werden immer in einem zusammengefasst, unabhängig von der Anzahl der Übersetzungen.

In einer Ebene, wo der Mittelpunkt ein Punkt O ist, mit Koordinaten (0,0), wird die Translation durch einen Vektor T (a, b) definiert, der die Verschiebung des Anfangspunktes anzeigt. Das ist:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Wenn zum Beispiel eine Translation T (-4, 7) auf den Koordinatenpunkt P (8, -2) angewendet wird, erhalten wir:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

Im folgenden Bild (links) kann beobachtet werden, wie der Punkt C verschoben wurde, bis er mit D zusammenfiel. In vertikaler Richtung war die Richtung nach oben gerichtet und die Entfernung oder CD-Größe war 8 Meter. Im rechten Bild wird die Übersetzung eines Dreiecks beobachtet:

Durch Rotation

Sie sind jene Isometrien, die es der Figur erlauben, alle Punkte einer Ebene zu drehen. Jeder Punkt dreht sich nach einem Bogen, der einen konstanten Winkel und einen festgelegten Punkt (Drehpunkt) hat.

Das heißt, alle Drehungen werden durch ihren Drehpunkt und Drehwinkel definiert. Wenn eine Figur durch Rotation transformiert wird, behält sie das Maß ihrer Winkel und Seiten bei.

Die Drehung erfolgt in einer bestimmten Richtung, ist positiv, wenn die Drehung gegen den Uhrzeigersinn erfolgt (im Gegensatz zur Drehung der Uhrzeiger) und negativ, wenn die Drehung im Uhrzeigersinn erfolgt.

Wenn ein Punkt (x, y) in Bezug auf den Ursprung gedreht wird - das heißt, sein Rotationszentrum ist (0,0) - in einem Winkel von 90 °o bis 360o Die Koordinaten der Punkte sind:

In dem Fall, in dem die Drehung keine Mitte im Ursprung hat, muss der Ursprung des Koordinatensystems auf den neuen gegebenen Ursprung übertragen werden, um die Figur mit dem Ursprung als Mittelpunkt drehen zu können.

Wenn zum Beispiel eine Drehung von 90 auf den Punkt P angewendet wird (-5,2)o, um den Ursprung und im positiven Sinn werden seine neuen Koordinaten sein (-2,5).

Durch Reflexion oder Symmetrie

Sie sind jene Transformationen, die die Punkte und Figuren der Ebene invertieren. Diese Investition kann in Bezug auf einen Punkt oder auch in Bezug auf eine Linie erfolgen.

Mit anderen Worten, bei dieser Art der Transformation ist jeder Punkt der ursprünglichen Figur mit einem anderen Punkt (Bild) der homologen Figur verbunden, so dass der Punkt und sein Bild denselben Abstand von einer Symmetrieachse haben .

Somit wird der linke Teil der Figur eine Reflexion des rechten Teils sein, ohne seine Form oder seine Abmessungen zu ändern. Die Symmetrie transformiert eine Figur in eine andere, wenn auch in die entgegengesetzte Richtung, wie das folgende Bild zeigt:

Symmetrie ist in vielen Aspekten vorhanden, wie in einigen Pflanzen (Sonnenblumen), Tieren (Pfau) und natürlichen Phänomenen (Schneeflocken). Der Mensch spiegelt es in seinem Gesicht wider, das als ein Faktor der Schönheit gilt. Die Reflexion oder Symmetrie kann zwei Arten sein:

Zentrale Symmetrie

Es ist diese Transformation, die in Bezug auf einen Punkt auftritt, in dem die Figur ihre Orientierung ändern kann. Jeder Punkt der ursprünglichen Figur und sein Bild haben denselben Abstand von einem Punkt O, der als Symmetriezentrum bezeichnet wird. Die Symmetrie ist zentral, wenn:

- Sowohl der Punkt als auch sein Bild und Mittelpunkt gehören zu derselben Linie.

- Mit einer Drehung von 180o Von Mitte O erhalten Sie eine Figur, die dem Original entspricht.

- Die Striche der Ausgangsfigur sind parallel zu den Strichen der geformten Figur.

- Der Sinn der Figur ändert sich nicht, es wird immer im Uhrzeigersinn sein.

Axiale Symmetrie

Diese Transformation erfolgt in Bezug auf die Symmetrieachse, wobei jeder Punkt der ursprünglichen Figur einem anderen Punkt des Bildes zugeordnet ist und diese von der Symmetrieachse denselben Abstand haben. Die Symmetrie ist axial, wenn:

- Das Segment, das einen Punkt mit seinem Bild verbindet, ist senkrecht zu seiner Symmetrieachse.

- Die Zahlen ändern die Richtung in Bezug auf die Drehung oder im Uhrzeigersinn.

- Wenn man die Figur mit einer Mittellinie (Symmetrieachse) teilt, passt eine der resultierenden Hälften vollständig zu einer anderen der Hälften.

Zusammensetzung

Eine Zusammensetzung isometrischer Transformationen bezieht sich auf die sukzessive Anwendung isometrischer Transformationen auf dieselbe Figur.

Zusammensetzung einer Übersetzung

Die Zusammensetzung von zwei Übersetzungen führt zu einer anderen Übersetzung. Bei der Ausführung in der Ebene ändern sich auf der horizontalen Achse (x) nur die Koordinaten dieser Achse, während die Koordinaten der vertikalen Achse (y) gleich bleiben und umgekehrt.

Zusammensetzung einer Rotation

Die Zusammensetzung von zwei Windungen mit derselben Mitte ergibt eine andere Windung, die denselben Mittelpunkt hat und deren Amplitude die Summe der Amplituden der zwei Windungen ist.

Wenn die Mitte der Windungen einen anderen Mittelpunkt hat, ist der Schnitt der Winkelhalbierenden zweier Segmente mit ähnlichen Punkten das Rotationszentrum.

Zusammensetzung einer Symmetrie

In diesem Fall hängt die Zusammensetzung davon ab, wie sie angewendet wird:

- Wenn die gleiche Symmetrie zweimal angewendet wird, wird das Ergebnis eine Identität sein.

- Wenn zwei Symmetrien in Bezug auf zwei parallele Achsen angewendet werden, ist das Ergebnis eine Translation, und ihre Verschiebung ist doppelt so groß wie die Entfernung dieser Achsen:

- Wenn zwei Symmetrien in Bezug auf zwei Achsen angewendet werden, die am Punkt O (Mitte) geschnitten werden, wird eine Drehung mit Mittelpunkt bei O erhalten und ihr Winkel ist doppelt so groß wie der Winkel, der von den Achsen gebildet wird:

Referenzen

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