Trinomial der Form x ^ 2 + bx + c (mit Beispielen)

Bevor Sie lernen, das zu lösen Trinom der Form x ^ 2 + bx + cund bevor man den Trinomialbegriff kennt, ist es wichtig, zwei wesentliche Begriffe zu kennen; nämlich die Konzepte von Monomial und Polynom. Ein Monom ist ein Ausdruck des Typs a * xⁿ, wobei a eine rationale Zahl ist, n eine natürliche Zahl ist und x eine Variable ist.

Ein Polynom ist eine lineare Kombination von Monomen der Form a_n* xⁿ+ a_n-1* x^n-1+ ... + a₂* x²+ a₁* x + a₀, wo jeder_ich, mit i = 0, ..., n, ist eine rationale Zahl, n ist eine natürliche Zahl und a_n ist ungleich Null. In diesem Fall wird gesagt, dass der Grad des Polynoms n ist.

Ein Polynom, das aus der Summe von nur zwei Termen (zwei Monomen) unterschiedlicher Grade gebildet wird, ist als Binom bekannt.

Index

• 1 Trinome
  • 1.1 Perfektes quadratisches Trinom
• 2 Merkmale von Trinomen der Grade 2
  • 2.1 Perfektes Quadrat
  • 2.2 Lösungsmittelformel
  • 2.3 Geometrische Interpretation
  • 2.4 Faktorisierung von Trinomen
• 3 Beispiele
  • 3.1 Beispiel 1
  • 3.2 Beispiel 2
• 4 Referenzen

Trinome

Ein Polynom, das aus der Summe von nur drei Termen (drei Monomen) verschiedener Grade gebildet wird, wird als Trinom bezeichnet. Die folgenden sind Beispiele für Trinome:

• x³+ x²+ 5x
• 2x⁴-x³+5
• x²+ 6x + 3

Es gibt verschiedene Arten von Trinomen. Von diesen Highlights das perfekte quadratische Trinom.

Perfektes quadratisches Trinom

Ein perfektes quadratisches Trinom ist das Ergebnis der Quadrierung eines Binoms. Zum Beispiel:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+ y)²= 4x⁶+ 4x³y + y²
• (4x²-2j⁴)²= 16x⁴-16x²und⁴+ 4J⁸
• 1 / 16x²und⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴-z)²

Merkmale von Trinomen der Klasse 2

Perfektes Quadrat

In der Regel ein Trinom der Form ax²+ bx + c ist ein perfektes Quadrat, wenn seine Diskriminante gleich Null ist; das heißt, wenn b²-4ac = 0, da es in diesem Fall nur eine Wurzel hat und in der Form a (x-d) ausgedrückt werden kann²= (√a (x-d))², wobei d die bereits erwähnte Wurzel ist.

Eine Wurzel eines Polynoms ist eine Zahl, in der das Polynom Null wird; mit anderen Worten, eine Zahl, die, indem sie in x im Ausdruck des Polynoms ersetzt wird, zu Null führt.

Lösungsmittel Formel

Eine allgemeine Formel zur Berechnung der Wurzeln eines Polynoms zweiten Grades der Form ax²+ bx + c ist die Formel des Resolvers, die besagt, dass diese Wurzeln gegeben sind durch (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a, wobei b²-4ac ist als Diskriminante bekannt und wird üblicherweise mit Δ bezeichnet. Aus dieser Formel folgt, dass ax²+ bx + c hat:

- Zwei verschiedene echte Wurzeln, wenn Δ> 0.

- Eine einzelne reale Wurzel, wenn Δ = 0.

- Es hat keine echte Wurzel, wenn Δ <0.

Im Folgenden werden nur die Trinome der Form x betrachtet²+ bx + c, wobei eindeutig c eine von Null verschiedene Zahl sein muss (sonst wäre es ein Binom). Diese Art von Trinomen hat bestimmte Vorteile, wenn sie mit ihnen faktorisiert und betrieben werden.

Geometrische Interpretation

Geometrisch ist das Trinomial x²+ bx + c ist eine Parabel, die sich nach oben öffnet und den Scheitelpunkt am Punkt (-b / 2, -b²/ 4 + c) der kartesischen Ebene, weil x²+ bx + c = (x + b / 2)²-b²/ 4 + c.

Diese Parabel schneidet die Y - Achse an der Stelle (0, c) und die X - Achse an den Punkten (d₁, 0) und (d)₂, 0); dann d₁ und d₂ Sie sind die Wurzeln des Trinomals. Es kann vorkommen, dass das Trinom eine einzelne Wurzel d hat, in diesem Fall wäre der einzige Schnitt mit der X-Achse (d, 0).

Es kann auch vorkommen, dass das Trinom keine wirklichen Wurzeln hat, in diesem Fall würde es die X-Achse an keinem Punkt schneiden.

Beispiel: x²+ 6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² ist die Parabel mit Scheitelpunkt in (-3,0), die die Y-Achse in (0,9) und die X-Achse in (-3,0) schneidet.

Trinomiale Faktorisierung

Ein sehr nützliches Werkzeug bei der Arbeit mit Polynomen ist das Factoring, das ein Polynom als Produkt von Faktoren ausdrücken soll. In der Regel gegeben ein Trinom der Form x²+ bx + c, wenn dieser zwei verschiedene Wurzeln hat d₁ und d₂, kann als (x-d) faktorisiert werden₁) (x-d)₂).

Wenn Sie nur eine Wurzel d haben, können Sie sie als (x-d) (x-d) = (x-d)²und wenn es keine wirklichen Wurzeln hat, bleibt es gleich; In diesem Fall unterstützt es Factoring nicht als Produkt anderer Faktoren als sich selbst.

Dies bedeutet, dass, wenn man die Wurzeln eines Trinomus der bereits etablierten Form kennt, seine Faktorisierung leicht ausgedrückt werden kann, und wie bereits erwähnt, können diese Wurzeln immer unter Verwendung des Resolvers bestimmt werden.

Es gibt jedoch eine signifikante Menge dieser Art von Trinomien, die faktorisiert werden können, ohne vorher ihre Wurzeln kennen zu müssen, was die Arbeit vereinfacht.

Die Wurzeln können direkt aus der Faktorisierung bestimmt werden, ohne dass die Formel des Resolvers verwendet werden muss; Dies sind die Polynome der Form x² + (a + b) x + ab. In diesem Fall haben wir:

x²+ (a + b) x + ab = x²+ ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Von hier aus wird leicht beobachtet, dass die Wurzeln -a und -b sind.

Mit anderen Worten, ein Trinomial x gegeben²+ bx + c, wenn es zwei Zahlen u und v gibt, so dass c = uv und b = u + v, dann x²+ bx + c = (x + u) (x + v).

Das heißt, ein Trinomial x gegeben²+ bx + c, zuerst verifizieren, ob es zwei Zahlen gibt, die multipliziert mit dem unabhängigen Ausdruck (c) und addiert (oder subtrahiert, abhängig vom Fall), den Ausdruck geben, der das x (b) begleitet.

Nicht mit allen Trinomen auf diese Weise kann diese Methode angewendet werden; wo Sie nicht können, gehen Sie zu der Lösung und wenden Sie die oben genannten an.

Beispiele

Beispiel 1

Um das folgende Trinomial x zu faktorisieren²+ 3x + 2 gehen wir wie folgt vor:

Sie müssen zwei Zahlen finden, so dass das Ergebnis 3 ist, wenn Sie sie hinzufügen, und wenn Sie sie multiplizieren, ist das Ergebnis 2.

Nach einer Inspektion kann geschlossen werden, dass die gesuchten Zahlen sind: 2 und 1. Daher x²+ 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Beispiel 2

Um das Trinom x zu faktorisieren²-5x + 6 suchen nach zwei Zahlen, deren Summe -5 ist und deren Produkt 6 ist. Die Zahlen, die diese beiden Bedingungen erfüllen, sind -3 und -2. Daher ist die Faktorisierung des gegebenen Trinomials x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

Referenzen

1. Quellen, A. (2016). BASISCHE MATHEMATIK. Eine Einführung in die Berechnung Lulu.com
2. Garo, M. (2014). Mathematik: quadratische Gleichungen: Wie löst man eine quadratische Gleichung? Marilù Garo.
3. Haeußler, E. F. & Paul, R. S. (2003). Mathematik für Verwaltung und Wirtschaft. Pearson Ausbildung.
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5. Preciado, C. T. (2005). Mathematikkurs 3. Fortschritt Editorial.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra I ist einfach! So einfach Team Rock Presse.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra und Trigonometrie Pearson Ausbildung.