Gleichschenkliges Dreieck Features, Formel und Bereich, Berechnung



A gleichschenkliges Dreieck Es ist ein Polygon mit drei Seiten, wo zwei von ihnen die gleiche Messung und die dritte Seite eine andere Messung haben. Diese letzte Seite heißt Base. Aufgrund dieser Eigenschaft wurde ihm dieser Name gegeben, der auf Griechisch "gleiche Beine" bedeutet.

Dreiecke sind Polygone, die in der Geometrie als die einfachsten betrachtet werden, weil sie von drei Seiten, drei Ecken und drei Ecken gebildet werden. Sie sind diejenigen, die die geringste Anzahl von Seiten und Winkeln in Bezug auf die anderen Polygone haben, ihre Verwendung ist jedoch sehr umfangreich.

Index

  • 1 Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken
    • 1.1 Komponenten
  • 2 Eigenschaften
    • 2.1 Innenwinkel
    • 2.2 Summe der Seiten
    • 2.3 Kongruente Seiten
    • 2.4 Kongruente Winkel
    • 2.5 Höhe, Mittel, Winkelhalbierende und Winkelhalbierende stimmen überein
    • 2.6 Relative Höhen
    • 2.7 Orthozentrum, Schwerpunkt, Mittelpunkt und Umkreismittelpunkt stimmen überein
  • 3 Wie berechnet man den Umfang?
  • 4 Wie berechnet man die Höhe?
  • 5 Wie berechnet man die Fläche?
  • 6 Wie berechnet man die Basis des Dreiecks?
  • 7 Übungen
    • 7.1 Erste Übung
    • 7.2 Zweite Übung
    • 7.3 Dritte Übung
  • 8 Referenzen

Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken

Das gleichschenklige Dreieck wurde mit dem Maß seiner Seiten als Parameter klassifiziert, da zwei seiner Seiten kongruent sind (sie haben die gleiche Länge).

Entsprechend der Amplitude der inneren Winkel werden die gleichschenkligen Dreiecke klassifiziert als:

  • Rechteckiges gleichschenkliges Dreieck: zwei seiner Seiten sind gleich. Einer seiner Winkel ist gerade (90o) und die anderen sind gleich (45o jeder)
  • Gleichschenkliges stumpfes Winkeldreieck: zwei seiner Seiten sind gleich. Einer seiner Winkel ist stumpf (> 90o).
  • Isozelen spitzwinkliges Dreieck: zwei seiner Seiten sind gleich. Alle Winkel sind scharf (<90o), wo zwei dasselbe Maß haben.

Komponenten

  • Der Median: ist eine Linie, die vom Mittelpunkt einer Seite abgeht und den gegenüberliegenden Eckpunkt erreicht. Die drei Mediane stimmen in einem Punkt überein, der Centrocenter oder Centro Centroid genannt wird.
  • Die Winkelhalbierende: ist ein Strahl, der den Winkel jeder Ecke in zwei gleich große Winkel teilt. Deshalb ist es als die Symmetrieachse bekannt und diese Art von Dreiecken hat nur eine.
  • Die Mediatorin: ist ein Segment senkrecht zu der Seite des Dreiecks, die in der Mitte von diesem stammt. Es gibt drei Medien in einem Dreieck und stimmen in einem Punkt überein, der Zirkumcenter genannt wird.
  • Die Höhe: ist die Linie, die vom Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite geht und auch diese Linie senkrecht zu dieser Seite ist. Alle Dreiecke haben drei Höhen, die an einem Punkt zusammenfallen, der als Orthofon bezeichnet wird.

Eigenschaften

Gleichschenklige Dreiecke werden definiert oder identifiziert, weil sie mehrere Eigenschaften haben, die sie repräsentieren, die aus den Sätzen entstanden sind, die von großen Mathematikern vorgeschlagen wurden:

Innenwinkel

Die Summe der internen Winkel ist immer gleich 180o.

Summe der Seiten

Die Summe der Maße zweier Seiten muss immer größer sein als das Maß der dritten Seite, a + b> c.

Kongruente Seiten

Gleichschenklige Dreiecke haben zwei Seiten mit demselben Maß oder derselben Länge; das heißt, sie sind kongruent und die dritte Seite ist anders als diese.

Kongruente Winkel

Gleichschenklige Dreiecke werden auch als Dreiwinkel-Dreiecke bezeichnet, weil sie zwei Winkel haben, die dasselbe Maß (Kongruenz) haben. Diese befinden sich an der Basis des Dreiecks, gegenüber den Seiten, die die gleiche Länge haben.

Aus diesem Grund stellt das Theorem fest, dass:

"Wenn ein Dreieck zwei kongruente Seiten hat, sind die Winkel gegenüber diesen Seiten ebenfalls kongruent." Wenn also ein Dreieck gleichschenklig ist, sind die Winkel seiner Basen kongruent.

Beispiel:

Die folgende Abbildung zeigt ein Dreieck ABC. Beim Verfolgen der Winkelhalbierenden von der Ecke des Winkels B zur Basis wird das Dreieck in zwei Dreiecke geteilt, die gleich BDA und BDC sind:

Somit wurde der Winkel des Scheitelpunkts B ebenfalls in zwei gleiche Winkel unterteilt. Die Winkelhalbierende ist jetzt die Seite (BD), die zwischen diesen zwei neuen Dreiecken gemeinsam ist, während die Seiten AB und BC die kongruenten Seiten sind. Dies ist der Fall der Kongruenz Seite, Winkel, Seite (LAL).

Dies zeigt, dass die Winkel der Ecken A und C das gleiche Maß haben, ebenso wie gezeigt werden kann, dass, da die Dreiecke BDA und BDC kongruent sind, die AD- und DC-Seiten ebenfalls kongruent sind.

Höhe, Median, Bisektor und Bisektor stimmen überein

Die Linie, die vom Eckpunkt gegenüber der Basis zum Mittelpunkt der Basis des gleichschenkligen Dreiecks gezogen wird, ist zugleich die Höhe, der Median und die Winkelhalbierende sowie die Winkelhalbierende zum gegenüberliegenden Winkel der Basis.

Alle diese Segmente fallen in einem einzigen zusammen, der sie repräsentiert.

Beispiel:

Die folgende Abbildung zeigt das Dreieck ABC mit einem Mittelpunkt M, der die Basis in zwei Segmente BM und CM unterteilt.

Wenn Sie ein Segment vom Punkt M zum gegenüberliegenden Eckpunkt zeichnen, erhalten Sie per Definition den Median AM, der relativ zum Knoten A und zur Seite BC ist.

Da das AM-Segment das Dreieck ABC in zwei gleiche Dreiecke AMB und AMC teilt, bedeutet dies, dass der Fall der Seiten-, Winkel- und Seitenkongruenz genommen wird und AM daher auch die B- C-Winkelhalbierende ist.

Deshalb ist die Halbierung immer gleich dem Median und umgekehrt.

Das AM-Segment bildet Winkel mit dem gleichen Maß für die AMB- und AMC-Dreiecke. das heißt, sie ergänzen sich so, dass das Maß eines jeden sein wird:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180o

2 * Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o ÷ 2

Med. (AMC) = 90o

Es ist bekannt, dass die Winkel, die durch das AM-Segment in Bezug auf die Basis des Dreiecks gebildet werden, gerade sind, was anzeigt, dass dieses Segment vollständig senkrecht zur Basis ist.

Daher stellt es die Höhe und die Winkelhalbierende dar, wobei man weiß, dass M der Mittelpunkt ist.

Daher die Linie AM:

  • Es repräsentiert die Höhe von BC.
  • Es ist mittelgroß.
  • Es ist in der Mediatrix von BC enthalten.
  • Es ist die Winkelhalbierende des Scheitelwinkels

Relative Höhe

Die Höhen, die relativ zu den gleichen Seiten sind, haben das gleiche Maß.

Da das gleichschenklige Dreieck zwei gleiche Seiten hat, sind ihre jeweiligen zwei Höhen ebenfalls gleich.

Orthozentrum, Schwerpunkt, Zentrum und Umkreismitte stimmen überein

Da die Höhe, der Median, die Winkelhalbierende und die Winkelhalbierende relativ zur Basis gleichzeitig durch das gleiche Segment repräsentiert werden, sind das orthozentrum, das zentrozentrische Zentrum und das Umkreismittel kollineare Punkte, dh sie befinden sich auf derselben Linie:

Wie berechnet man den Umfang?

Der Umfang eines Polygons wird durch die Summe der Seiten berechnet.

Da in diesem Fall das gleichschenklige Dreieck zwei Seiten mit demselben Maß hat, wird sein Umfang mit der folgenden Formel berechnet:

P = 2*(Seite a) + (Seite b).

Wie berechnet man die Höhe?

Die Höhe ist die Linie senkrecht zur Basis, teilt das Dreieck in zwei gleiche Teile, indem sie sich zum gegenüberliegenden Eckpunkt erstreckt.

Die Höhe repräsentiert das gegenüberliegende Bein (a), die Hälfte der Basis (b / 2) zum benachbarten Bein und die "a" -Seite repräsentiert die Hypotenuse.

Mit dem Satz des Pythagoras können Sie den Wert der Höhe bestimmen:

a2 + b2 = c2

Wo:

a2 = Höhe (h).

b2 = b / 2.

c2 = Seite a.

Durch Einsetzen dieser Werte in den Satz des Pythagoras und durch Löschen der Höhe haben wir:

h2 + (b / 2)2 = a2

h2 + b2 / 4 = a2

h2 = a2 - b2 / 4

h = √ (a2 - b2 / 4).

Wenn der von den kongruenten Seiten gebildete Winkel bekannt ist, kann die Höhe mit der folgenden Formel berechnet werden:

Wie berechnet man die Fläche?

Die Fläche der Dreiecke wird immer mit der gleichen Formel berechnet, multipliziert die Basis mit der Höhe und dividiert durch zwei:

Es gibt Fälle, in denen nur die Maße von zwei Seiten des Dreiecks und der zwischen ihnen gebildete Winkel bekannt sind. In diesem Fall ist es zur Bestimmung der Fläche notwendig, die trigonometrischen Verhältnisse anzuwenden:

Wie berechnet man die Basis des Dreiecks?

Da das gleichschenklige Dreieck zwei gleiche Seiten hat, ist es notwendig, um den Wert seiner Basis zu bestimmen, mindestens das Maß der Höhe oder eines seiner Winkel zu kennen.

Kenntnis der Höhe des Satzes des Pythagoras:

a2 + b2 = c2

Wo:

a2 = Höhe (h).

c2 = Seite a.

b2 = b / 2, ist unbekannt.

Wir räumten b2 der Formel und wir müssen:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Da dieser Wert der Hälfte der Basis entspricht, muss er mit zwei multipliziert werden, um das volle Maß der Basis des gleichschenkligen Dreiecks zu erhalten:

b = 2 * (√ a2 - c2)

Für den Fall, dass nur der Wert seiner gleichen Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind, wird die Trigonometrie angewendet, indem eine Linie vom Scheitelpunkt zur Basis gezeichnet wird, die das gleichschenklige Dreieck in zwei rechte Dreiecke teilt.

Auf diese Weise wird die Hälfte der Basis berechnet mit:

Es ist auch möglich, dass nur der Wert der Höhe und des Winkels des Eckpunkts bekannt ist, der der Basis gegenüberliegt. In diesem Fall konnte die Basis durch Trigonometrie bestimmt werden:

Übungen

Erste Übung

Finden Sie die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks ABC, wobei Sie wissen, dass zwei seiner Seiten 10 cm und die dritte Seite 12 cm misst.

Lösung

Um die Fläche des Dreiecks zu finden, ist es notwendig, die Höhe mit der Formel des Gebietes zu berechnen, das mit dem Satz des Pythagoras verwandt ist, da der Wert des Winkels, der zwischen den gleichen Seiten gebildet wird, nicht bekannt ist.

Wir haben folgende Daten des gleichschenkligen Dreiecks:

  • Gleiche Seiten (a) = 10 cm.
  • Basis (b) = 12 cm.

Die Werte in der Formel werden ersetzt:

Zweite Übung

Die Länge der zwei gleichen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 42 cm, wobei die Vereinigung dieser Seiten einen Winkel von 130 bildeto. Bestimmen Sie den Wert der dritten Seite, die Fläche dieses Dreiecks und den Umfang.

Lösung

In diesem Fall sind die Maße der Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt.

Um den Wert der fehlenden Seite zu kennen, also die Basis dieses Dreiecks, zeichnen wir eine Linie senkrecht dazu und teilen den Winkel in zwei gleiche Teile, einen für jedes rechte Dreieck, das gebildet wird.

  • Gleiche Seiten (a) = 42 cm.
  • Winkel (Ɵ) = 130o

Jetzt wird durch Trigonometrie der Wert der Hälfte der Basis berechnet, was der Hälfte der Hypotenuse entspricht:

Um die Fläche zu berechnen, ist es notwendig, die Höhe dieses Dreiecks zu kennen, die durch Trigonometrie oder durch den Satz des Pythagoras berechnet werden kann, nachdem der Wert der Basis bereits bestimmt wurde.

Durch Trigonometrie wird es sein:

Der Umfang wird berechnet:

P = 2*(Seite a) + (Seite b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Dritte Übung

Berechnen Sie die inneren Winkel des gleichschenkligen Dreiecks, wobei Sie wissen, dass der Winkel der Basis  = 55 isto

Lösung

Um die beiden fehlenden Winkel (Ê und Ô) zu finden, müssen zwei Eigenschaften der Dreiecke beachtet werden:

  • Die Summe der Innenwinkel jedes Dreiecks ist immer = 180o:

 + Ê + Ô = 180 o

  • In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel der Basis immer kongruent, dh sie haben das gleiche Maß, also:

 = Ô

Ê = 55o

Um den Wert des Winkels Ê zu bestimmen, ersetzen Sie die Werte der anderen Winkel in der ersten Regel und löschen Sie Ê:

55o + 55o + Ô= 180 o

110 o + Ô = 180 o

Ô = 180 o - 110 o

Ô = 70 o.

Referenzen

  1. Álvarez, E. (2003). Elemente der Geometrie: mit zahlreichen Übungen und Geometrie des Kompasses. Universität von Medellín.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technisches Zeichnen: Aktivitätsnotizbuch.
  3. Engel, A. R. (2007). Elementare Algebra Pearson Ausbildung.
  4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
  5. Baldor, A. (1941). Algebra Havanna: Kultur.
  6. José Jiménez, L.J. (2006). Mathematik 2.
  7. Tuma, J. (1998). Ingenieurhandbuch Mathematik. Wolfram MathWorld.