Dimensional Analysis Techniken, Prinzip der Homogenität und Übungen



Die dimensionale Analyse ist ein Werkzeug, das in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik weit verbreitet ist, um die Phänomene besser zu verstehen, die die Anwesenheit von verschiedenen physikalischen Größen beinhalten. Die Größen haben Dimensionen und daraus werden die verschiedenen Maßeinheiten abgeleitet.

Der Ursprung des Dimensionsbegriffs findet sich im französischen Mathematiker Joseph Fourier, der ihn geprägt hat. Fourier hat auch verstanden, dass zwei Gleichungen, um vergleichbar zu sein, in ihren Dimensionen homogen sein müssen. Das heißt, Sie können keine Meter mit Kilogramm hinzufügen.

Somit ist die Dimensionsanalyse verantwortlich für die Untersuchung der Größen, Dimensionen und Homogenität von physikalischen Gleichungen. Aus diesem Grund wird es häufig verwendet, um Beziehungen und Berechnungen zu überprüfen oder Hypothesen über komplizierte Fragen zu erstellen, die anschließend experimentell getestet werden können.

Auf diese Weise ist die dimensionale Analyse ein perfektes Werkzeug, um Fehler in den Berechnungen zu erkennen, wenn die Kongruenz oder Inkongruenz der Einheiten, die in ihnen verwendet werden, überprüft wird, insbesondere bei der Fokussierung auf die Einheiten der Endergebnisse.

Zusätzlich wird die Dimensionsanalyse verwendet, um systematische Experimente zu projizieren. Es erlaubt, die Anzahl der notwendigen Experimente zu reduzieren und die Interpretation der erhaltenen Ergebnisse zu erleichtern.

Eine der fundamentalen Grundlagen der dimensionalen Analyse ist, dass es möglich ist, jede physikalische Größe als ein Produkt der Kräfte einer kleineren Menge darzustellen, die als fundamentale Größen bekannt sind, aus denen die anderen ableiten.

Index

  • 1 Fundamentale Größen und Dimensionsformel
  • 2-dimensionale Analysetechniken
    • 2.1 Rayleigh-Methode
    • 2.2 Buckingham-Methode
  • 3 Prinzip der Dimensionshomogenität
    • 3.1 Prinzip der Ähnlichkeit
  • 4 Anwendungen
  • 5 Übungen gelöst
    • 5.1 Erste Übung
    • 5.2 Zweite Übung
  • 6 Referenzen

Fundamentale Größen und dimensionale Formel

In der Physik werden fundamentale Größen als solche angesehen, die es anderen erlauben, sich in Bezug auf diese auszudrücken. Per Konvention wurde folgendes gewählt: die Länge (L), die Zeit (T), die Masse (M), die elektrische Stromstärke (I), die Temperatur (θ), die Lichtintensität (J) und die Menge an Substanz (N).

Im Gegenteil, der Rest wird als abgeleitete Größe betrachtet. Einige davon sind: die Fläche, Volumen, Dichte, Geschwindigkeit, Beschleunigung, unter anderem.

Es ist definiert als eine dimensionale Formel für die mathematische Gleichheit, die die Beziehung darstellt, die zwischen einer abgeleiteten Menge und den fundamentalen Werten auftritt.

Dimensionale Analysetechniken

Es gibt verschiedene Techniken oder Methoden der Dimensionsanalyse. Zwei der wichtigsten sind die folgenden:

Rayleigh-Methode

Rayleigh, der neben Fourier, einem der Vorläufer der dimensionalen Analyse, war, entwickelte eine direkte und sehr einfache Methode, um dimensionslose Elemente zu erhalten. In dieser Methode werden die folgenden Schritte befolgt:

1- Die mögliche Zeichenfunktion der abhängigen Variablen ist definiert.

2- Jede Variable wird durch ihre entsprechenden Dimensionen geändert.

3- Die Homogenitätsbedingungsgleichungen sind festgelegt.

4- Die n-p-Unbekannten sind festgelegt.

5- Ersetzen Sie die Exponenten, die in der Potentialgleichung berechnet und festgelegt wurden.

6- Verschieben Sie die Variablengruppen, um die dimensionslosen Zahlen zu definieren.

Buckingham-Methode

Diese Methode basiert auf Buckingham's Theorem oder Pi-Theorem, welches folgendes besagt:

Wenn es auf einer homogenen Dimensionsebene eine Beziehung zwischen einer Anzahl "n" von physikalischen Größen oder Variablen gibt, bei denen "p" verschiedene fundamentale Dimensionen auftreten, gibt es auch eine Homogenitätsbeziehung zwischen n-p, unabhängigen dimensionslosen Gruppen.

Prinzip der Dimensionshomogenität

Das Fourier-Prinzip, auch bekannt als das Prinzip der dimensionalen Homogenität, beeinflusst die korrekte Strukturierung von Ausdrücken, die physikalische Größen algebraisch verknüpfen.

Es ist ein Prinzip, das mathematische Konsistenz hat und besagt, dass die einzige Option darin besteht, physikalische Größen, die von gleicher Natur sind, zu subtrahieren oder zu addieren. Daher ist es nicht möglich, eine Masse mit einer Länge oder einer Zeit mit einer Oberfläche usw. hinzuzufügen.

In ähnlicher Weise besagt das Prinzip, dass, damit die physikalischen Gleichungen auf der Dimensionsebene korrekt sind, die Terme der Glieder der beiden Seiten der Gleichheit die gleiche Dimension haben müssen. Dieses Prinzip erlaubt es, die Kohärenz der physikalischen Gleichungen zu garantieren.

Prinzip der Ähnlichkeit

Das Prinzip der Ähnlichkeit ist eine Erweiterung des dimensionalen Homogenitätscharakters der physikalischen Gleichungen. Es wird wie folgt angegeben:

Die physikalischen Gesetze bleiben unverändert angesichts der Änderung der Dimensionen (Größe) einer physikalischen Tatsache im selben System von Einheiten, unabhängig davon, ob es sich um Änderungen eines realen oder imaginären Charakters handelt.

Die klarste Anwendung des Ähnlichkeitsprinzips findet sich in der Analyse der physikalischen Eigenschaften eines Modells, das in einem kleineren Maßstab erstellt wurde, um später die Ergebnisse im realen Objekt zu verwenden.

Diese Praxis ist in Bereichen wie der Konstruktion und Herstellung von Flugzeugen und Schiffen und in großen hydraulischen Arbeiten von grundlegender Bedeutung.

Anwendungen

Unter den vielen Anwendungen der dimensionalen Analyse können wir die unten aufgeführten hervorheben.

- Lokalisieren Sie mögliche Fehler in den durchgeführten Operationen

- Lösen Sie Probleme, deren Auflösung eine unüberwindbare mathematische Schwierigkeit darstellt.

- Modelle in einem reduzierten Maßstab entwerfen und analysieren.

- Machen Sie Beobachtungen darüber, wie die möglichen Änderungen in einem Modell beeinflussen.

Darüber hinaus wird die Dimensionsanalyse häufig in der Strömungsmechanik verwendet.

Die Relevanz der Dimensionsanalyse in der Strömungsmechanik beruht auf der Schwierigkeit, Gleichungen in bestimmten Strömungen zu erstellen, sowie auf der Schwierigkeit, sie zu lösen, so dass es unmöglich ist, empirische Beziehungen zu erhalten. Aus diesem Grund ist es notwendig, auf die experimentelle Methode zurückzugreifen.

Gelöste Übungen

Erste Übung

Finde die Dimensionsgleichung für Geschwindigkeit und Beschleunigung.

Lösung

Da v = s / t gilt, gilt: [v] = L / T = L ∙ T-1

Ähnlich:

a = v / t

[a] = L / T2 = L ∙ T-2

Zweite Übung

Bestimmen Sie die Dimensionsgleichung der Bewegungsmenge.

Lösung

Da der Impuls das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit ist, ist p = m ∈ v erfüllt

Deshalb:

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T-2

Referenzen

  1. Dimensionsanalyse (n.d.) In Wikipedia. Abgerufen am 19. Mai 2018 von es.wikipedia.org.
  2. Dimensionsanalyse (n.d.) In Wikipedia. Abgerufen am 19. Mai 2018 von en.wikipedia.org.
  3. Langhaar, H. L. (1951),Dimensionsanalyse und Theorie der Modelle, Wiley.
  4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005).Physik und Chemie. Everest
  5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002).Physik verstehen. Birkhäuser.