Verteilungen von diskreten Wahrscheinlichkeitsmerkmalen und Übungen

Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen sie sind eine Funktion, die jedem Element von X (S) = {x1, x2, ..., xi, ...} zuweist, wobei X eine gegebene diskrete Zufallsvariable ist und S sein Abtastraum ist, die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis auftritt. Diese Funktion f von X (S) definiert als f (xi) = P (X = xi) wird manchmal als die Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion bezeichnet.

Diese Masse von Wahrscheinlichkeiten wird normalerweise als Tabelle dargestellt. Da X eine diskrete Zufallsvariable ist, hat X (S) eine endliche Anzahl von Ereignissen oder eine zählbare Unendlichkeit. Zu den gebräuchlichsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gehören die Gleichverteilung, die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung.

Index

• 1 Eigenschaften
• 2 Arten
  • 2.1 Einheitliche Verteilung über n Punkte
  • 2.2 Binomialverteilung
  • 2.3 Poisson-Verteilung
  • 2.4 Hypergeometrische Verteilung
• 3 Übungen gelöst
  • 3.1 Erste Übung
  • 3.2 Zweite Übung
  • 3.3 Dritte Übung
  • 3.4 Dritte Übung
• 4 Referenzen

Eigenschaften

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion muss die folgenden Bedingungen erfüllen:

Wenn X nur eine endliche Anzahl von Werten annimmt (zum Beispiel x1, x2, ..., xn), dann ist p (xi) = 0, wenn i> ny, daher wird die unendliche Reihe der Bedingung b zu a Endgültige Serie.

Diese Funktion erfüllt auch folgende Eigenschaften:

Sei B ein Ereignis, das der Zufallsvariablen X zugeordnet ist. Dies bedeutet, dass B in X (S) enthalten ist. Nehmen wir an, B = {xi1, xi2, ...}. Deshalb:

Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse, die mit B verknüpft sind.

Daraus können wir schließen, dass wenn a <b, die Ereignisse (X ≤ a) und (a <X ≤ b) sich gegenseitig ausschließen und zusätzlich ihre Vereinigung das Ereignis (X ≤ b) ist, so haben wir:

Typen

Gleichmäßige Verteilung über n Punkte

Es wird gesagt, dass eine Zufallsvariable X einer Verteilung folgt, die dadurch gekennzeichnet ist, dass sie in n Punkten gleichförmig ist, wenn jedem Wert die gleiche Wahrscheinlichkeit zugewiesen wird. Seine Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion ist:

Angenommen, wir haben ein Experiment, das zwei mögliche Ergebnisse hat, kann das Werfen einer Münze sein, deren mögliche Ergebnisse Gesicht oder Stempel sind, oder die Wahl einer ganzen Zahl, deren Ergebnis eine gerade Zahl oder eine ungerade Zahl sein kann; Diese Art von Experiment ist als Bernoulli-Tests bekannt.

Im Allgemeinen werden die zwei möglichen Ergebnisse Erfolg und Misserfolg genannt, wobei p die Erfolgswahrscheinlichkeit und 1-p die des Scheiterns ist. Wir können die Wahrscheinlichkeit von x-Erfolgen in n Bernoulli-Tests, die unabhängig voneinander sind, mit der folgenden Verteilung bestimmen.

Binomialverteilung

Es ist diese Funktion, die die Wahrscheinlichkeit darstellt, x Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Tests zu erhalten, deren Erfolgswahrscheinlichkeit p ist. Seine Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion ist:

Das folgende Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion für verschiedene Werte der Parameter der Binomialverteilung.

Die folgende Verteilung verdankt ihren Namen dem französischen Mathematiker Simeon Poisson (1781-1840), der sie als Grenze der Binomialverteilung erhielt.

Poisson-Verteilung

Es wird gesagt, dass eine Zufallsvariable X eine Poisson-Verteilung des Parameters λ hat, wenn sie die positiven ganzzahligen Werte 0,1,2,3, ... mit der folgenden Wahrscheinlichkeit annehmen kann:

In diesem Ausdruck ist λ die durchschnittliche Zahl, die dem Auftreten des Ereignisses für jede Zeiteinheit entspricht, und x ist die Häufigkeit, mit der das Ereignis auftritt.

Seine Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion ist:

Als nächstes ein Graph, der die Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion für verschiedene Werte der Parameter der Poisson-Verteilung darstellt.

Beachten Sie, dass, solange die Anzahl der Erfolge gering ist und die Anzahl n der in einer Binomialverteilung durchgeführten Tests hoch ist, wir diese Verteilungen immer annähern können, da die Poisson-Verteilung die Grenze der Binomialverteilung ist.

Der Hauptunterschied zwischen diesen beiden Verteilungen ist, dass, während das Binom von zwei Parametern abhängt - nämlich n und p -, die Poissons nur von λ abhängen, was manchmal die Intensität der Verteilung genannt wird.

Bis jetzt haben wir nur Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Fälle diskutiert, in denen die verschiedenen Experimente unabhängig voneinander sind; das heißt, wenn das Ergebnis von eins nicht von einem anderen Ergebnis beeinflusst wird.

Bei nicht unabhängigen Experimenten ist die hypergeometrische Verteilung sehr nützlich.

Hypergeometrische Verteilung

Sei N die Gesamtzahl der Objekte einer endlichen Menge, von der wir k auf irgendeine Weise identifizieren können, indem wir eine Teilmenge K bilden, deren Komplement von den übrigen N-k Elementen gebildet wird.

Wenn wir zufällig n Objekte wählen, hat die Zufallsvariable X, die die Anzahl von Objekten repräsentiert, die zu K gehören, eine hypergeometrische Verteilung der Parameter N, n und k. Seine Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion ist:

Das folgende Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion für verschiedene Werte der Parameter der hypergeometrischen Verteilung.

Gelöste Übungen

Erste Übung

Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Funkröhre (die in einem bestimmten Gerätetyp untergebracht ist) länger als 500 Stunden dauert, 0,2 beträgt. Wenn 20 Röhren getestet werden, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau k davon mehr als 500 Stunden funktioniert, k = 0, 1.2, ..., 20?

Lösung

Wenn X die Anzahl der Röhren ist, die mehr als 500 Stunden arbeiten, nehmen wir an, dass X eine Binomialverteilung aufweist. Dann

Und so:

Für k≥11 sind die Wahrscheinlichkeiten kleiner als 0,001

So können wir beobachten, wie die Wahrscheinlichkeit, dass k von diesen mehr als 500 Stunden arbeitet, bis zu ihrem Maximalwert (mit k = 4) steigt und dann abnimmt.

Zweite Übung

Eine Münze wird 6 Mal geworfen. Wenn das Ergebnis teuer ist, werden wir sagen, dass es ein Erfolg ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Gesichter genau herauskommen?

Lösung

Für diesen Fall haben wir das n = 6 und sowohl die Erfolgs- als auch die Erfolgswahrscheinlichkeit sind p = q = 1/2

Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Gesichter gegeben sind (dh k = 2)

Dritte Übung

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens vier Gesichter zu finden?

Lösung

Für diesen Fall haben wir das k = 4, 5 oder 6

Dritte Übung

Angenommen, 2% der in einer Fabrik hergestellten Artikel sind defekt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit P, dass es drei fehlerhafte Artikel in einer Stichprobe von 100 Artikeln gibt.

Lösung

Für diesen Fall könnten wir die Binomialverteilung für n = 100 und p = 0,02 anwenden, um als Ergebnis zu erhalten:

Da p jedoch klein ist, verwenden wir die Poisson-Näherung mit λ = np = 2. Also,

Referenzen

1. Kai Lai Chung Elementare Propositionstheorie mit stochastischen Prozessen. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, Diskrete Mathematik und ihre Anwendungen. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Wahrscheinlichkeit und statistische Anwendungen. S.A. ALHAMBRA MEXIKANISCHE.
4. Seymour Lipschütz Ph.D. 2000 Diskrete Mathematik löste Probleme. McGRAW-HÜGEL.
5. Seymour Lipschütz Ph.D. Theorie und Probleme der Wahrscheinlichkeit. McGRAW-HÜGEL.