Synthetische Teilungsmethode und gelöste Übungen

Die synthetische Teilung ist eine einfache Art, ein Polynom P (x) durch eine beliebige Form d (x) = x - c zu teilen. Es ist ein sehr nützliches Werkzeug, da neben so dass wir Polynome teilen, ermöglicht auch eine P (x) Polynom in einer beliebigen Anzahl c Auswertung, die wiederum sagt uns genau, wenn die Zahl Null oder nicht das Polynom ist.

Dank des Divisionsalgorithmus wissen wir, dass wir zwei Polynome haben P (x) und d (x) nicht konstant, es gibt Polynome q (x) und r (x) einzigartig, so dass es wahr ist, dass P (x) = q (x) d (x) + r (x), wobei r (x) null oder kleiner als q (x) ist. Diese Polynome sind als Quotient und Rest bzw. Rest bekannt.

Wenn das Polynom d (x) von der Form x-c ist, gibt uns die synthetische Division einen kurzen Weg, um herauszufinden, wer q (x) und r (x) ist.

Index

• 1 Synthetische Trennmethode
• 2 Übungen gelöst
  • 2.1 Beispiel 1
  • 2.2 Beispiel 2
  • 2.3 Beispiel 3
  • 2.4 Beispiel 4
• 3 Referenzen

Synthetische Trennmethode

Sei P (x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ ... + a₁x + a₀ das Polynom, das wir teilen wollen, und d (x) = x-c der Teiler. Um durch die synthetische Teilungsmethode zu teilen, gehen wir wie folgt vor:

1- Wir schreiben die Koeffizienten von P (x) in die erste Reihe. Wenn irgendeine Potenz von X nicht erscheint, setzen wir Null als ihren Koeffizienten.

2- In der zweiten Reihe, links von a_n Platzieren Sie c und zeichnen Sie Trennlinien, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

3- Wir senken den führenden Koeffizienten in die dritte Zeile.

In diesem Ausdruck b_n-1= a_n

4- Wir multiplizieren c mit dem Leitkoeffizienten b_n-1 und das Ergebnis wird in die zweite Zeile geschrieben, aber eine Spalte nach rechts.

5- Wir fügen die Spalte hinzu, in der wir das vorherige Ergebnis geschrieben haben, und das Ergebnis, das wir unter diese Summe setzen; das heißt, in derselben Spalte, dritte Zeile.

Wenn wir hinzufügen, haben wir als Ergebnis_n-1+ c * b_n-1, die wir aus Bequemlichkeit nennen werden b_n-2

6- Wir multiplizieren c mit dem vorherigen Ergebnis und schreiben das Ergebnis rechts davon in die zweite Zeile.

7- Wir wiederholen Schritt 5 und 6, bis wir den Koeffizienten a erreichen₀.

8- Schreibe die Antwort; das heißt, der Quotient und der Rest. Da wir die Division eines Polynoms vom Grad n zwischen einem Polynom vom Grad 1 durchführen, haben wir den schweren Quotienten vom Grad n-1.

Die Koeffizienten des Quotientenpolynoms sind die Zahlen der dritten Reihe außer der letzten, die das Restpolynom oder der Rest der Division sein wird.

Gelöste Übungen

Beispiel 1

Führen Sie die folgende Division nach der synthetischen Divisionsmethode durch:

(x⁵+ 3x⁴-7x³+ 2x²-8x + 1): (x + 1).

Lösung

Zuerst schreiben wir die Dividendenkoeffizienten wie folgt:

Dann schreiben wir c auf der linken Seite, in der zweiten Reihe, zusammen mit den Trennlinien. In diesem Beispiel ist c = -1.

Wir senken den Leitkoeffizienten (in diesem Fall b_n-1 = 1) und multipliziere es mit -1:

Wir schreiben Ihr Ergebnis rechts in der zweiten Zeile, wie unten gezeigt:

Wir fügen die Zahlen in der zweiten Spalte hinzu:

Wir multiplizieren 2 mit -1 und schreiben das Ergebnis in die dritte Spalte, zweite Zeile:

Wir fügen in der dritten Spalte hinzu:

Wir gehen analog vor, bis wir die letzte Spalte erreichen:

Wir haben also, dass die letzte erhaltene Zahl der Rest der Division ist und die übrigen Zahlen die Koeffizienten des Quotientenpolynoms sind. Dies ist wie folgt geschrieben:

Wenn wir überprüfen möchten, ob das Ergebnis korrekt ist, genügt es zu überprüfen, ob die folgende Gleichung erfüllt ist:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Auf diese Weise können wir überprüfen, ob das Ergebnis korrekt ist.

Beispiel 2

Führen Sie die folgende Division von Polynomen mit der synthetischen Divisionsmethode durch

(7x³-x + 2): (x + 2)

Lösung

In diesem Fall haben wir den Begriff x² es erscheint nicht, also schreiben wir 0 als seinen Koeffizienten. Also wäre das Polynom wie 7x³+ 0x²-x + 2

Wir schreiben ihre Koeffizienten in einer Reihe, das ist:

Schreiben Sie den Wert von C = -2 auf die linke Seite in der zweiten Zeile und zeichnen Sie die Trennlinien.

Wir senken den Leitkoeffizienten b_n-1 = 7 und multipliziere es mit -2 und schreibe sein Ergebnis in die zweite Reihe rechts.

Wir fügen hinzu und fahren fort wie vorher erklärt, bis wir die letzte Periode erreichen:

In diesem Fall ist der Rest r (x) = - 52 und der erhaltene Quotient ist q (x) = 7x²-14x + 27

Beispiel 3

Eine andere Möglichkeit, die synthetische Division zu verwenden, ist die folgende: Angenommen, wir haben ein Polynom P (x) vom Grad n und wollen wissen, was Wert ist, wenn wir es in x = c auswerten.

Durch den Algorithmus der Division können wir das Polynom P (x) folgendermaßen schreiben:

In diesem Ausdruck sind q (x) und r (x) der Quotient bzw. der Rest. Nun, wenn d (x) = x-c, wenn wir in c im Polynom auswerten, finden wir folgendes:

Aus diesem Grund müssen wir nur r (x) finden, und das können wir dank der synthetischen Teilung tun.

Zum Beispiel haben wir das Polynom P (x) = x⁷-9x⁶+ 19x⁵+ 12x⁴-3x³+ 19x²-37x-37 und wir wollen wissen, was sein Wert ist, wenn man es bei x = 5 auswertet.Um dies zu tun, führen wir die Teilung zwischen P (x) und d (x) = x -5 durch die synthetische Teilung Methode:

Sobald die Operationen abgeschlossen sind, wissen wir, dass wir P (x) folgendermaßen schreiben können:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ + 32x² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Daher müssen wir bei der Bewertung:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Wie wir sehen können, ist es möglich, eine synthetische Division zu verwenden, um den Wert eines Polynoms zu finden, wenn es in c bewertet wird, anstatt einfach c durch x zu ersetzen.

Wenn wir versuchen würden, P (5) auf traditionelle Weise zu bewerten, müssten wir einige Berechnungen durchführen, die dazu neigen, langweilig zu werden.

Beispiel 4

Der Divisionsalgorithmus für Polynome gilt auch für Polynome mit komplexen Koeffizienten und als Konsequenz haben wir, dass die synthetische Division auch für diese Polynome funktioniert. Als nächstes sehen wir ein Beispiel.

Wir verwenden die synthetische Divisionsmethode, um zu zeigen, dass z = 1 + 2i eine Nullstelle des Polynoms P (x) = x ist³+ (1 + i) x² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); das heißt, dass der Rest der Division P (x) zwischen d (x) = x - z gleich Null ist.

Wir gehen wie vorher vor: In der ersten Zeile schreiben wir die Koeffizienten von P (x), in der zweiten schreiben wir z und zeichnen die Trennlinien.

Wir haben die Teilung wie zuvor gemacht; das ist:

Wir können sehen, dass der Rückstand Null ist; Daher folgern wir, dass z = 1 + 2i eine Nullstelle von P (x) ist.

Referenzen

1. Baldor Aurelio. Algebra. Grupo Redaktion Patria.
2. Demana, Waits, Foley und Kennedy. Vorkalkulus: Graph, numerisch, algebraisch 7. Ed. Pearson-Ausbildung.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. Vorkalkulus 4. Ed. Pearson Ausbildung.
5. Rot Armando O. Algebra 1 6. Ed. Das Athenäum