Partielle Brüche Fälle und Beispiele

Die Teilfraktionen sie sind Bruchteile, die durch Polynome gebildet werden, wobei der Nenner ein lineares oder quadratisches Polynom sein kann und zusätzlich auf eine gewisse Potenz gebracht werden kann. Manchmal, wenn wir rationale Funktionen sind nützlich, um die Funktion als Summe von Teilfraktionen und einfachen Fraktionen neu zu schreiben.

Dies ist so, weil wir auf diese Weise diese Funktionen besser manipulieren können, insbesondere in den Fällen, in denen es notwendig ist, diese Anwendung zu integrieren. Eine rationale Funktion ist einfach der Quotient zwischen zwei Polynomen und kann richtig oder unpassend sein.

Wenn der Grad des Polynoms des Zählers kleiner als der Nenner ist, wird es seine eigene rationale Funktion genannt; andernfalls ist es als eine unrichtige rationale Funktion bekannt.

Index

• 1 Definition
• 2 Fälle
  • 2.1 Fall 1
  • 2.2 Fall 2
  • 2.3 Fall 3
  • 2.4 Fall 4
• 3 Anwendungen
  • 3.1 Umfassende Berechnung
  • 3.2 Gesetz der Massenaktion
  • 3.3 Differentialgleichungen: logistische Gleichung
• 4 Referenzen

Definition

Wenn wir eine unsachgemäße rationale Funktion haben, können wir die Polynom-Zähler durch den Nenner-Polynom dividieren und dadurch den Anteil p umschreiben (x) / q (x) nach dem Divisionsalgorithmus als t (x) + S (x) / q (x), wobei t (x) ein Polynom ist und s (x) / q (x) eine eigene rationale Funktion ist.

Ein Teilbruch ist eine beliebige Funktion von Polynomen, deren Nenner die Form (ax + b) hat.ⁿ o (Axt²+ bx + c)ⁿ, wenn das Polynom ax² + bx + c hat keine echten Wurzeln und n ist eine natürliche Zahl.

Um eine rationale Funktion in Teilfraktionen neu zu schreiben, ist das erste, was zu tun, den Nenner q (x) als ein Produkt aus Faktoren linear und / oder quadratisch Faktor. Sobald dies erfolgt ist, werden die Teilfraktionen bestimmt, die von der Art dieser Faktoren abhängen.

Fälle

Wir betrachten mehrere Fälle getrennt.

Fall 1

Die Faktoren von q (x) sind alle linear und keiner wird wiederholt. Das ist:

q (x) = (a₁x + b₁) (a₂x + b₂) ... (a_sx + b_s)

Dort ist kein linearer Faktor identisch mit einem anderen. Wenn dieser Fall eintritt, schreiben wir:

p (x) / q (x) = A₁/ (a₁x + b₁) + A₂/ (a₂x + b₂) ... + A_s/ (a_sx + b_s).

Wo A₁A₂, ..., A_s Sie sind die Konstanten, die Sie finden möchten.

Beispiel

Wir wollen die rationale Funktion in einfache Brüche zerlegen:

(x - 1) / (x³+ 3x²+ 2x)

Wir fahren fort, den Nenner zu faktorisieren, das heißt:

x³ + 3x² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Dann:

(x - 1) / (x³+ 3x²+ 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Wenn Sie das kleinste gemeinsame Vielfache anwenden, können Sie Folgendes erhalten:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Wir wollen die Werte der Konstanten A, B und C erhalten, die durch Ersetzen der Nullstellen, die jeden der Terme aufheben, gefunden werden können. Setzen wir 0 für x ein, haben wir:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Ersetzen - 1 für x haben wir:

- 1 - 1 = (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2

Substitution - 2 für x haben wir:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Auf diese Weise werden die Werte A = -1/2, B = 2 und C = -3/2 erhalten.

Es ist eine weitere Methode, die Werte von A, B und C. Wenn sich auf der rechten Seite der Gleichung x zu erhalten, - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) + C x (x + 1) x wir kombinieren Begriffe, wir haben:

x - 1 = (A + B + C) x² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Da dies eine Gleichheit von Polynomen ist, müssen die Koeffizienten der linken Seite gleich denen der rechten Seite sein. Dies führt zu dem folgenden Gleichungssystem:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Bei der Lösung dieses Gleichungssystems erhalten wir die Ergebnisse A = -1/2, B = 2 und C = -3/2.

Schließlich müssen wir die erhaltenen Werte ersetzen:

(X - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2 x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Fall 2

Die Faktoren von q (x) sind alle linear und einige werden wiederholt. Angenommen, (ax + b) ist ein Faktor, der "s" mal wiederholt wird; dann entspricht diesem Faktor die Summe der "s" Partialbrüche.

A_s/ (Axt + B)^s + A_s-1/ (Axt + B)^s-1 + ... + A₁/ (Axt + b).

Wo die A_sA_s-1, ..., A₁ Sie sind die zu bestimmenden Konstanten. Mit dem folgenden Beispiel zeigen wir, wie diese Konstanten zu bestimmen sind.

Beispiel

Zerlegen in Teilfraktionen:

(x - 1) / (x²(x - 2)³)

Wir schreiben die rationale Funktion als Summe der Teilbrüche wie folgt:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = A / x² + B / x + C / (x - 2)³ + D / (x - 2)² + E / (x - 2).

Dann:

x - 1 = A (x - 2)³ + B (x - 2)³x + Cx² + D (x - 2) x² + E (x - 2)²x²

Setzen wir 2 für x ein, müssen wir:

7 = 4C, dh C = 7/4.

Setzen wir 0 für x ein, haben wir:

- 1 = -8A oder A = 1/8.

Setzen wir diese Werte in die vorhergehende Gleichung ein und entwickeln wir:

x - 1 = 1/8 (x³ - 6x² + 12x - 8) + Bx (x³ - 6x² + 12x - 8) + 7 / 4x² + Dx³ - 2Dx² + Ex²(x² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x² + (3/2 - 8B) x - 1.

Gleichung Koeffizienten erhalten wir das folgende Gleichungssystem:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Um das System zu lösen, haben wir:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Aus diesem Grund müssen wir:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = (1/8) / x² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)³ + (5/4) / (x - 2)² - (3/16) / (x - 2).

Fall 3

Die Faktoren von q (x) sind quadratisch linear, ohne dass ein quadratischer Faktor wiederholt wird. Für diesen Fall wird der quadratische Faktor (ax² + bx + c) entspricht dem Teilbruch (Ax + B) / (ax)² + bx + c), wobei die Konstanten A und B zu bestimmen sind.

Das folgende Beispiel zeigt, wie in diesem Fall verfahren wird

Beispiel

Zerlege in einfache Brüche a (x + 1) / (x³ - 1).

Zuerst fahren wir fort, den Nenner zu faktorisieren, was uns folgendes ergibt:

(x - 1) = (x - 1) (x + x + 1).

Wir können das sehen (x² + x + 1) ist ein irreduzibles quadratisches Polynom; das heißt, es hat keine wirklichen Wurzeln. Seine Zerlegung in Teilfraktionen wird wie folgt sein:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x² + x +1)

Daraus erhalten wir die folgende Gleichung:

x + 1 = (A + B) x² + (A - B + C) x + (A - C)

Unter Verwendung der Gleichheit von Polynomen erhalten wir das folgende System:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Von diesem System haben wir A = 2/3, B = - 2/3 und C = 1/3. Ersetzend müssen wir:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x² + x +1)

Fall 4

Schließlich ist Fall 4 ein Fall, in dem die Faktoren von q (x) linear und quadratisch sind, wobei einige der linearen quadratischen Faktoren wiederholt werden.

In diesem Fall, wenn (ax² + bx + c) ist ein quadratischer Faktor, der "s" mal wiederholt wird, dann der Teilbruch entsprechend dem Faktor (ax)² + bx + c) wird sein:

(A₁x + B) / (ax² + bx + c) + ... + (A_s-1x + B_s-1) / (Axt)² + bx + c)^s-1 + (A_sx + B_s) / (Axt)² + bx + c)^s

Wo die A_sA_s-1, ..., A und B_s, B_s-1, ..., B sind die Konstanten, die Sie bestimmen möchten.

Beispiel

Wir wollen die folgende rationale Funktion in Teilbrüche zerlegen:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²)

Wie x² - 4x + 5 ist ein nicht reduzierbarer quadratischer Faktor, wir haben, dass seine Zerlegung in Teilbrüche gegeben ist durch:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = A / x + (Bx + C) / (x² - 4x +5) + (Dx + E) / (x² - 4x + 5)²

Vereinfachung und Entwicklung haben wir:

x - 2 = A (x² - 4x + 5)² + (Bx + C) (x² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x⁴ + (- 8A - 4B + C) x³ + (26A + 5B - 4C + D) x² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Aus dem obigen haben wir das folgende Gleichungssystem:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Wenn wir das System lösen, müssen wir:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 und E = - 3/5.

Wenn wir die erhaltenen Werte ersetzen, haben wir:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x² - 4x + 5)²

Anwendungen

Umfassende Berechnung

Partielle Brüche werden hauptsächlich für das Studium der Integralrechnung verwendet. Als nächstes werden wir einige Beispiele sehen, wie man Integrale mit partiellen Brüchen macht.

Beispiel 1

Wir wollen das Integral berechnen von:

Wir können sehen, dass der Nenner q (x) = (t + 2)²(t + 1) besteht aus linearen Faktoren, von denen einer wiederholt wird; Deshalb sind wir in Fall 2.

Wir müssen:

1 / (t + 2)²(t + 1) = A / (t + 2)² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Wir schreiben die Gleichung um und wir haben:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)²

Wenn t = -1, müssen wir:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Wenn t = - 2, gibt es uns:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = -1

Dann, wenn t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Ersetzen der Werte von A und C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Aus dem obigen haben wir, dass B = - 1.

Wir schreiben das Integral wie folgt um:

Wir fahren fort, es durch die Substitutionsmethode zu lösen:

Dies führt zu:

Beispiel 2

Löse das folgende Integral:

In diesem Fall können wir zu q (x) = x faktorisieren² - 4 als q (x) = (x - 2) (x + 2). Klar sind wir in Fall 1. Deshalb:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Es kann auch ausgedrückt werden als:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Wenn x = - 2, haben wir:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Und wenn x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Also müssen wir das gegebene Integral lösen um gleich zu lösen:

Dies gibt uns als Ergebnis:

Beispiel 3

Löse das Integral:

Wir haben q (x) = 9x⁴ + x² , dass wir q (x) = x einbeziehen können²(9x² + 1).

Bei dieser Gelegenheit haben wir einen wiederholten linearen Faktor und einen quadratischen Faktor; das heißt, wir sind in Fall 3.

Wir müssen:

1 / x²(9x² + 1) = A / x² + B / x + (Cx + D) / (9x² + 1)

1 = A (9x² + 1) + Bx (9x² + 1) + Cx² + Dx²

Durch Gruppieren und Verwenden der Gleichheit von Polynomen haben wir:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Aus diesem Gleichungssystem müssen wir:

D = - 9 und C = 0

Auf diese Weise haben wir:

Durch die Lösung des obigen haben wir:

Gesetz der Massenaktion

Eine interessante Anwendung der Teilfraktionen, die auf die Integralrechnung angewendet werden, findet sich in der Chemie, genauer gesagt im Gesetz der Massenwirkung.

Nehmen wir an, wir haben zwei Substanzen, A und B, die zusammenkommen und eine Substanz C bilden, so dass die Ableitung der Menge von C in Bezug auf die Zeit proportional zu dem Produkt der Mengen von A und B in jedem gegebenen Moment ist.

Wir können das Massenwirkungsgesetz wie folgt ausdrücken:

In diesem Ausdruck ist α die Anfangsmenge von Gramm entsprechend A und β die Anfangsmenge von Gramm entsprechend B.

Zusätzlich stellen r und s die Anzahl von Gramm von A bzw. B dar, die kombinieren, um r + s Gramm C zu bilden. Ihrerseits steht x für die Anzahl von Gramm der Substanz C zur Zeit t, und K ist die Proportionalitätskonstante. Die obige Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden:

Die folgende Änderung vornehmen:

Wir haben, dass die Gleichung verwandelt sich in:

Aus diesem Ausdruck können wir erhalten:

Wo ja a ≠ b, können Teilbrüche für die Integration verwendet werden.

Beispiel

Nehmen wir zum Beispiel eine Substanz C, die aus der Kombination einer Substanz A mit einer B entsteht, so dass das Gesetz der Massen erfüllt ist, wo die Werte von a und b jeweils 8 und 6 sind. Gib eine Gleichung, die uns den Wert von Gramm C als Funktion der Zeit gibt.

Durch Einsetzen der Werte in das gegebene Massengesetz haben wir:

Wenn wir Variablen trennen, haben wir:

Hier kann 1 / (8 - x) (6 - x) wie folgt als Summe von Teilbrüchen geschrieben werden:

Also, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Wenn wir x durch 6 ersetzen, haben wir B = 1/2; und durch Einsetzen von x für 8 haben wir A = - 1/2.

Integrierend durch partielle Brüche haben wir:

Dies gibt uns als Ergebnis:

Differentialgleichungen: logistische Gleichung

Eine andere Anwendung, die zu Teilbrüchen gegeben werden kann, ist in der logistischen Differentialgleichung. In einfachen Modellen haben wir, dass die Wachstumsrate einer Population proportional zu ihrer Größe ist; das ist:

Dieser Fall ist ein Ideal und gilt als realistisch, bis die Ressourcen in einem System nicht ausreichen, um die Bevölkerung zu erhalten.

In diesen Situationen ist es vernünftiger zu denken, dass es eine maximale Kapazität gibt, die wir L nennen, die das System aufrechterhalten kann, und dass die Wachstumsrate proportional zur Größe der Bevölkerung multipliziert mit der verfügbaren Größe ist. Dieses Argument führt zu der folgenden Differentialgleichung:

Dieser Ausdruck wird logistische Differentialgleichung genannt. Es ist eine trennbare Differentialgleichung, die mit der Methode der Integration durch partielle Brüche gelöst werden kann.

Beispiel

Ein Beispiel wäre eine Population, die gemäß der folgenden logistischen Differentialgleichung y '= 0.0004y (1000 - y) wächst, deren Ausgangsdaten 400 sind. Wir wollen die Größe der Population zum Zeitpunkt t = 2 wissen, wobei t gemessen wird in Jahren

Wenn wir a und 'mit der Leibniz-Notation als Funktion schreiben, die von t abhängt, müssen wir:

Das Integral der linken Seite kann mit der Methode der Integration durch partielle Brüche gelöst werden:

Diese letzte Gleichheit kann wie folgt umgeschrieben werden:

- Durch Einsetzen von y = 0 haben wir, dass A gleich 1/1000 ist.

- Durch Einsetzen von y = 1000 haben wir, dass B gleich 1/1000 ist.

Mit diesen Werten bleibt das Integral wie folgt:

Die Lösung ist:

Verwenden der Ausgangsdaten:

Beim Clearing und wir sind gegangen:

Dann haben wir das bei t = 2:

Zusammenfassend ist die Populationsgröße nach 2 Jahren ungefähr 597,37.

Referenzen

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2. Cortez, I., und Sanchez, C. (s.f.). 801 aufgelöste Integrale. Nationale experimentelle Universität von Tachira.
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