Morgans Gesetze

Die lAugen von Morgan sie sind Schlußfolgerungsregeln, die in der propositionalen Logik verwendet werden und die das Ergebnis der Leugnung einer Disjunktion und einer Konjunktion von Sätzen oder Aussagenvariablen festlegen. Diese Gesetze wurden vom Mathematiker Augustus De Morgan definiert.

Die Gesetze von Morgan stellen ein sehr nützliches Werkzeug dar, um die Gültigkeit einer mathematischen Argumentation zu demonstrieren. Später wurden sie vom Mathematiker George Boole im Konzept der Sätze verallgemeinert.

Diese von Boole verallgemeinerte Verallgemeinerung entspricht vollständig den ursprünglichen Gesetzen Morgans, ist aber speziell für Mengen und nicht für Propositionen entwickelt worden. Diese Verallgemeinerung wird auch als Morgans Gesetze bezeichnet.

Index

• 1 Überprüfung der Aussagenlogik
  • 1.1 Irrtum
  • 1.2 Vorschläge
• 2 Morgans Gesetze
  • 2.1 Demonstration
• 3 Sätze
  • 3.1 Union, Kreuzung und Ergänzungen von Sätzen
• 4 Morgans Gesetze für Sets
• 5 Referenzen

Überprüfung der Aussagenlogik

Bevor wir uns ansehen, was Morgans Gesetze speziell sind und wie sie verwendet werden, ist es angebracht, sich ein paar grundlegende Begriffe propositionaler Logik zu merken. (Für weitere Details siehe den Artikel zur Aussagenlogik).

Im Bereich der mathematischen (oder propositionalen) Logik ist eine Schlussfolgerung eine Schlussfolgerung, die aus einer Menge von Prämissen oder Hypothesen hervorgeht. Diese Schlussfolgerung führt zusammen mit den oben genannten Prämissen zu dem, was als mathematische Argumentation bekannt ist.

Diese Begründung muss bewiesen oder verweigert werden können; das heißt, dass nicht alle Schlussfolgerungen oder Schlussfolgerungen in einer mathematischen Begründung gültig sind.

Irrtum

Eine falsche Schlussfolgerung aus bestimmten Annahmen, die als wahr angenommen werden, wird als Fehlschluss bezeichnet. Irrtümer haben die Besonderheit, Argumente zu sein, die richtig erscheinen, mathematisch aber nicht.

Die propositionale Logik ist dafür verantwortlich, Methoden genau zu entwickeln und bereitzustellen, mit denen man eine mathematische Argumentation ohne Zweifel validieren oder widerlegen kann; das heißt, folgern Sie eine gültige Schlussfolgerung von Voraussetzungen. Diese Methoden sind als Inferenzregeln bekannt, zu denen Morgans Gesetze gehören.

Vorschläge

Die wesentlichen Elemente der Aussagenlogik sind Sätze. Vorschläge sind Aussagen, über die man sagen kann, ob sie gültig sind oder nicht, aber sie können nicht gleichzeitig wahr oder falsch sein. Es sollte keine Zweideutigkeit in dieser Angelegenheit geben.

So wie Zahlen durch die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division kombiniert werden können, können die Sätze mit Hilfe der bekannten Konnektiven (oder Konnektoren) logisch: Negation (¬, "Nein"), Disjunktion (V , "O"), Konjunktion (Ʌ, "und"), konditional (→, "wenn ..., dann ...") und bikonditional (↔, "ja, und nur wenn").

Um allgemeiner zu arbeiten, betrachten wir, statt bestimmte Aussagen zu betrachten, Aussagenvariablen, die beliebige Sätze darstellen und gewöhnlich mit Kleinbuchstaben p, q, r, s usw. bezeichnet werden.

Eine Aussagenformel ist eine Kombination von Aussagenvariablen durch einige der logischen Verknüpfungen. Mit anderen Worten, es ist eine Zusammensetzung von Aussagenvariablen. Sie werden normalerweise mit griechischen Buchstaben bezeichnet.

Es wird gesagt, dass eine propositionale Formel logisch eine andere impliziert, wenn die letztere wahr ist, jedes Mal wenn die erste wahr ist. Dies wird bezeichnet durch:

Wenn die logische Implikation zwischen zwei propositionalen Formeln reziprok ist - das heißt, wenn die vorhergehende Implikation auch in der entgegengesetzten Richtung gültig ist -, so wird gesagt, dass die Formeln logisch äquivalent sind, und es wird mit bezeichnet

Logische Äquivalenz ist eine Art von Gleichheit zwischen Aussagenformeln und erlaubt es, bei Bedarf durch die andere ersetzt zu werden.

Morgans Gesetze

Morgans Gesetze bestehen aus zwei logischen Äquivalenzen zwischen zwei Aussagenformen, nämlich:

Diese Gesetze erlauben es, die Negation einer Disjunktion oder Konjunktion als Negation der beteiligten Variablen zu trennen.

Die erste kann wie folgt gelesen werden: Die Negation einer Disjunktion ist gleich der Konjunktion der Negationen. Und der zweite liest sich so: Die Negation einer Konjunktion ist die Disjunktion der Negationen.

Mit anderen Worten, die Disjunktion zweier propositionaler Variablen zu leugnen ist äquivalent zur Konjunktion der Negationen beider Variablen. In ähnlicher Weise ist die Verweigerung der Konjunktion zweier propositionaler Variablen der Disjunktion der Negationen beider Variablen gleichzusetzen.

Wie bereits erwähnt, trägt die Substitution dieser logischen Äquivalenz dazu bei, wichtige Ergebnisse zusammen mit den anderen existierenden Inferenzregeln zu demonstrieren. Mit diesen können Sie viele aussagekräftige Formeln vereinfachen, so dass sie nützlicher sind.

Das Folgende ist ein Beispiel für einen mathematischen Beweis unter Verwendung von Inferenzregeln, unter diesen Morganschen Gesetzen. Insbesondere wird gezeigt, dass die Formel:

entspricht:

Letzteres ist einfacher zu verstehen und zu entwickeln.

Demonstration

Es ist erwähnenswert, dass die Gültigkeit von Morgans Gesetzen mathematisch nachgewiesen werden kann. Eine Möglichkeit besteht darin, deine Wahrheitstabellen zu vergleichen.

Sätze

Die gleichen Schlußregeln und die auf Sätze bezogenen Begriffe der Logik können auch unter Berücksichtigung von Mengen entwickelt werden. Dies ist, was als Boolean Algebra bekannt ist, nach dem Mathematiker George Boole.

Um die Fälle zu unterscheiden, ist es notwendig, die Notation zu ändern und auf Sätze zu übertragen, alle bereits erwähnten Begriffe der Aussagenlogik.

Ein Set ist eine Sammlung von Objekten. Die Mengen sind mit Großbuchstaben A, B, C, X, ... bezeichnet, und die Elemente einer Menge sind mit Kleinbuchstaben a, b, c, x usw. bezeichnet. Wenn ein Element a zu einer X-Menge gehört, wird es wie folgt bezeichnet:

Wenn es nicht zu X gehört, lautet die Notation:

Die Art und Weise, die Sets zu repräsentieren, besteht darin, ihre Elemente innerhalb von Schlüsseln zu platzieren. Zum Beispiel wird die Menge natürlicher Zahlen repräsentiert durch:

Sätze können auch dargestellt werden, ohne eine explizite Liste ihrer Elemente zu schreiben. Sie können in der Form {:} ausgedrückt werden. Die zwei Punkte lauten "so dass". Eine Variable, die die Elemente der Menge darstellt, wird links von den zwei Punkten platziert, und die Eigenschaft oder Bedingung, die sie erfüllen, wird auf der rechten Seite platziert. Das ist:

Zum Beispiel kann der Satz von ganzen Zahlen größer als -4 wie folgt ausgedrückt werden:

Oder äquivalent und abgekürzter als:

In ähnlicher Weise stellen die folgenden Ausdrücke die Mengen von geraden und ungeraden Zahlen dar:

Union, Kreuzung und Ergänzungen von Sätzen

Als nächstes sehen wir die Analoga der logischen Verknüpfung im Fall von Mengen, die Teil der Grundoperationen zwischen Mengen sind.

Union und Kreuzung

Die Vereinigung und der Schnittpunkt von Mengen sind folgendermaßen definiert:

Betrachten Sie zum Beispiel die Mengen:

Dann musst du:

Ergänzung

Das Komplement einer Menge wird von den Elementen gebildet, die nicht zu dieser Menge gehören (vom selben Typ, der das Original darstellt). Das Komplement einer Menge A ist gekennzeichnet durch:

Zum Beispiel ist innerhalb der natürlichen Zahlen das Komplement der Menge der geraden Zahlen das der ungeraden Zahlen und umgekehrt.

Um das Komplement einer Menge zu bestimmen, muss von Anfang an klar sein, welche universellen oder hauptsächlichen Elemente in Betracht gezogen werden. Zum Beispiel ist es nicht gleichbedeutend, das Komplement einer Menge auf den natürlichen Zahlen, die auf den rationalen Zahlen stehen, zu betrachten.

Die folgende Tabelle zeigt die Beziehung oder Analogie, die zwischen den Operationen an zuvor definierten Mengen und den Konnektiven der Aussagenlogik besteht:

Morgans Gesetze für Sets

Schließlich sind Morgans Gesetzestexte:

In Worten: Das Komplement einer Vereinigung ist der Schnittpunkt der Komplemente, und das Komplement einer Kreuzung ist die Vereinigung der Komplemente.

Ein mathematischer Beweis der ersten Gleichheit wäre folgendes:

Die Demonstration der zweiten ist analog.

Referenzen

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