Vektor-Algebra-Grundlagen, Größen, Vektoren

Die Vektoralgebra ist ein Zweig der Mathematik, der für das Studium von linearen Gleichungssystemen, Vektoren, Matrizen, Vektorräumen und deren linearen Transformationen zuständig ist. Es ist mit Bereichen wie Engineering, Lösen von Differentialgleichungen, Funktionsanalyse, Operations Research, Computergrafik, unter anderem verwandt.

Ein weiterer Bereich, der von der Linearen Algebra übernommen wurde, ist die Physik, da dadurch das Studium physikalischer Phänomene entwickelt und durch Vektoren beschrieben werden konnte. Dies hat ein besseres Verständnis des Universums ermöglicht.

Index

• 1 Grundlagen
  • 1.1 Geometrisch
  • 1.2 Analytisch
  • 1.3 Axiomatisch
• 2 Größen
  • 2.1 Skalare Größe
  • 2.2 Vektorgröße
• 3 Was sind Vektoren?
  • 3.1 Modul
  • 3.2 Adresse
  • 3.3 Sinn
• 4 Klassifizierung von Vektoren
  • 4.1 Fester Vektor
  • 4.2 Freier Vektor
  • 4.3 Gleitender Vektor
• 5 Eigenschaften von Vektoren
  • 5.1 equipolentes Vektoren
  • 5.2 Äquivalente Vektoren
  • 5.3 Gleichheit der Vektoren
  • 5.4 Gegensätzliche Vektoren
  • 5.5 Einheitsvektor
  • 5.6 Nullvektor
• 6 Komponenten eines Vektors
  • 6.1 Beispiele
• 7 Operationen mit Vektoren
  • 7.1 Vektoren addieren und subtrahieren
  • 7.2 Multiplikation von Vektoren
• 8 Referenzen

Grundlagen

Die Vektoralgebra entstand aus der Untersuchung von Quaternionen (Erweiterung der reellen Zahlen) 1, i, j und k, sowie der kartesischen Geometrie, die von Gibbs und Heaviside gefördert wurde, die erkannten, dass Vektoren als Instrument für repräsentieren verschiedene physikalische Phänomene.

Die Vektoralgebra wird anhand von drei Grundlagen untersucht:

Geometrisch

Vektoren werden durch Linien dargestellt, die eine Orientierung haben, und Operationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation mit reellen Zahlen werden durch geometrische Methoden definiert.

Analytisch

Die Beschreibung der Vektoren und ihrer Operationen erfolgt mit Zahlen, die als Komponenten bezeichnet werden. Diese Art der Beschreibung ist das Ergebnis einer geometrischen Darstellung, weil ein Koordinatensystem verwendet wird.

Axiomatisch

Eine Beschreibung der Vektoren erfolgt unabhängig vom Koordinatensystem oder einer beliebigen Art von geometrischer Darstellung.

Das Studium von Figuren im Raum erfolgt durch ihre Darstellung in einem Bezugssystem, das in einer oder mehreren Dimensionen vorliegen kann. Zu den wichtigsten Systemen gehören:

- Eindimensionales System, bei dem es sich um eine Linie handelt, bei der ein Punkt (O) den Ursprung und ein anderer Punkt (P) die Skalierung (Länge) und die Richtung davon bestimmt:

- Rechteckiges Koordinatensystem (zweidimensional), das aus zwei senkrechten Linien besteht, die x-Achse und y-Achse genannt werden, die durch einen Ursprungspunkt (O) verlaufen; Auf diese Weise ist die Ebene in vier Bereiche unterteilt, die als Quadranten bezeichnet werden. In diesem Fall ist ein Punkt (P) in der Ebene durch die Abstände zwischen den Achsen und P gegeben.

- Polarkoordinatensystem (zweidimensional). In diesem Fall besteht das System aus einem Punkt O (Ursprung), der als Pol bezeichnet wird, und einem Strahl mit Ursprung O, der Polarachse genannt wird. In diesem Fall ist der Punkt P der Ebene in Bezug auf den Pol und die Polarachse durch den Winkel (Ɵ) gegeben, der durch den Abstand zwischen dem Ursprung und dem Punkt P gebildet wird.

- Rechteckiges dreidimensionales System, gebildet aus drei senkrechten Linien (x, y, z), die als Ausgangspunkt einen Punkt O im Raum haben. Drei Koordinatenebenen werden gebildet: xy, xz und yz; Der Raum wird in acht Regionen unterteilt, die Oktanten genannt werden. Die Referenz eines Punktes P des Raumes ist gegeben durch die Abstände zwischen den Ebenen und P.

Größen

Eine Größe ist eine physikalische Größe, die wie bei einigen physikalischen Phänomenen durch einen Zahlenwert gezählt oder gemessen werden kann; Es ist jedoch oft notwendig, diese Phänomene mit anderen Faktoren als Zahlen zu beschreiben. Deshalb sind die Größen in zwei Arten eingeteilt:

Skalare Größe

Sie sind jene Größen, die numerisch definiert und dargestellt sind; das heißt, durch ein Modul zusammen mit einer Maßeinheit. Zum Beispiel:

a) Zeit: 5 Sekunden.

b) Masse: 10 kg.

c) Volumen: 40 ml.

d) Temperatur: 40 ºC.

Vektorgröße

Sie sind jene Größen, die durch ein Modul zusammen mit einer Einheit definiert und repräsentiert werden, sowie durch einen Sinn und eine Richtung. Zum Beispiel:

a) Geschwindigkeit: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Beschleunigung: 13 m / s²; S 45º E.

c) Kraft: 280 N, 120º.

d) Gewicht: -40 kg-f.

Die Vektorgrößen werden graphisch durch Vektoren dargestellt.

Was sind Vektoren?

Vektoren sind graphische Darstellungen einer Vektorgröße; das heißt, sie sind Liniensegmente, in denen ihr Endpunkt die Spitze eines Pfeils ist.

Diese werden bestimmt durch ihre Modul- oder Segmentlänge, ihre Bedeutung, die durch die Spitze ihres Pfeils angezeigt wird und ihre Richtung entsprechend der Linie, zu der sie gehört. Der Ursprung eines Vektors wird auch als Anwendungspunkt bezeichnet.

Die Elemente eines Vektors sind die folgenden:

Modul

Es ist die Entfernung vom Ursprung bis zum Ende eines Vektors, dargestellt durch eine reelle Zahl zusammen mit einer Einheit. Zum Beispiel:

| OM | = | A | = A = 6 cm

Adresse

Es ist das Maß für den Winkel zwischen der x-Achse (vom positiven) und dem Vektor, sowie die Himmelsrichtungen (Norden, Süden, Osten und Westen).

Sinn

Es wird durch die Pfeilspitze am Ende des Vektors angegeben und gibt an, wohin es führt.

Vektoren Klassifizierung

Im Allgemeinen werden die Vektoren wie folgt klassifiziert:

Fester Vektor

Es ist derjenige, dessen Anwendungspunkt (Ursprung) festgelegt ist; das heißt, dass es an einen Punkt des Raumes gebunden bleibt, weshalb es in diesem nicht verschoben werden kann.

Freier Vektor

Es kann sich frei im Raum bewegen, da sich sein Ursprung zu einem beliebigen Punkt bewegt, ohne sein Modul, seine Richtung oder Richtung zu ändern.

Gleitender Vektor

Es ist derjenige, der seinen Ursprung entlang seiner Wirkungslinie bewegen kann, ohne sein Modul, seinen Sinn oder seine Richtung zu ändern.

Vektoren Eigenschaften

Zu den Haupteigenschaften von Vektoren gehören:

Equipolentes Vektoren

Sie sind jene freien Vektoren, die das gleiche Modul haben, Richtung (oder sie sind parallel) und spüren, dass ein gleitender Vektor oder ein fester Vektor.

Äquivalente Vektoren

Es passiert, wenn zwei Vektoren die gleiche Richtung haben (oder parallel sind), den gleichen Sinn, und trotz verschiedener Module und Punkte der Anwendung, verursachen dieselben Effekte.

Gleichheit der Vektoren

Sie haben das gleiche Modul, Richtung und Sinn, obwohl ihre Startpunkte unterschiedlich sind, was es einem Parallelvektor ermöglicht, sich selbst zu bewegen, ohne ihn zu beeinflussen.

Gegenüberliegende Vektoren

Sie sind diejenigen, die das gleiche Modul und die gleiche Richtung haben, aber ihr Sinn ist entgegengesetzt.

Vektoreinheit

Es ist diejenige, in der das Modul der Einheit entspricht (1). Dies wird erhalten, indem der Vektor durch sein Modul dividiert wird und dazu verwendet wird, die Richtung und Richtung eines Vektors entweder in der Ebene oder im Raum unter Verwendung der Basis- oder vereinheitlichten normalisierten Vektoren zu bestimmen, die sind:

Nullvektor

Es ist eine, deren Modul gleich 0 ist; das heißt, ihr Ausgangspunkt und ihr Ende fallen in demselben Punkt zusammen.

Komponenten eines Vektors

Die Komponenten eines Vektors sind diejenigen Werte der Projektionen des Vektors auf den Achsen des Bezugssystems; Abhängig von der Zerlegung des Vektors, der zwei- oder dreidimensional sein kann, werden zwei oder drei Komponenten erhalten.

Die Komponenten eines Vektors sind reelle Zahlen, die positiv, negativ oder sogar null (0) sein können.

Wenn wir also einen Vektor Ā haben, der aus einem rechtwinkligen Koordinatensystem in der xy (zweidimensionalen) Ebene stammt, ist die Projektion auf der x-Achse Àx und die Projektion auf der y-Achse ist Ày. Somit wird der Vektor als die Summe seiner Komponentenvektoren ausgedrückt.

Beispiele

Erstes Beispiel

Wir haben einen Vektor, der vom Ursprung ausgeht und die Koordinaten seiner Enden angibt. Daher ist der Vektor Ā = (Â_x; A_und) = (4; 5) cm.

Wenn der Vektor Ā am Ursprung eines dreidimensionalen Dreieckskoordinatensystems (im Raum) x, y, z zu einem anderen Punkt (P) wirkt, sind die Projektionen auf seinen Achsen Āx, Āy und Āz; somit wird der Vektor als die Summe seiner drei Komponentenvektoren ausgedrückt.

Zweites Beispiel

Wir haben einen Vektor, der vom Ursprung ausgeht und die Koordinaten seiner Enden angibt. Somit ist der Vektor Ā = (A_x; A_und; A_z) = (4; 6; -3) cm.

Die Vektoren, die ihre rechtwinkligen Koordinaten haben, können in Bezug auf ihre Basisvektoren ausgedrückt werden. Dazu muss nur jede Koordinate mit ihrem jeweiligen Einheitsvektor multipliziert werden, so dass sie für die Ebene und den Raum die folgenden sind:

Für das Flugzeug: A = A_xIch + A_undj.

Für den Raum: A = A_xIch + A_undj + A_zk.

Operationen mit Vektoren

Es gibt viele Größen, die ein Modul, einen Sinn und eine Richtung haben, wie zum Beispiel Beschleunigung, Geschwindigkeit, Verschiebung, Kraft.

Diese werden in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft angewendet, und um sie anzuwenden, ist es in einigen Fällen notwendig, Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Vektoren und Skalaren durchzuführen.

Addition und Subtraktion von Vektoren

Die Addition und Subtraktion von Vektoren wird als eine einzige algebraische Operation betrachtet, da die Subtraktion als eine Summe geschrieben werden kann; zum Beispiel kann die Subtraktion der Vektoren Ā und Ē wie folgt ausgedrückt werden:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Es gibt verschiedene Methoden, um Vektoren zu addieren und zu subtrahieren: Sie können grafisch oder analytisch sein.

Grafische Methoden

Wird verwendet, wenn ein Vektor ein Modul, einen Sinn und eine Richtung hat. Dazu werden Linien gezeichnet, die eine Figur bilden, die später die Resultierende bestimmt. Zu den bekanntesten gehören die folgenden:

Parallelogramm-Methode

Um die Addition oder Subtraktion von zwei Vektoren vorzunehmen, wird ein gemeinsamer Punkt auf der Koordinatenachse gewählt, der den Ursprungspunkt der Vektoren darstellt, wobei Modul, Richtung und Richtung beibehalten werden.

Dann werden Linien parallel zu den Vektoren gezeichnet, um ein Parallelogramm zu bilden. Der resultierende Vektor ist die Diagonale, die vom Ausgangspunkt beider Vektoren bis zum Scheitelpunkt des Parallelogramms geht:

Dreieck-Methode

Bei diesem Verfahren werden die Vektoren nacheinander angeordnet, wobei ihre Module, Richtungen und Richtungen beibehalten werden.Der resultierende Vektor wird die Vereinigung des Ursprungs des ersten Vektors mit dem Ende des zweiten Vektors sein:

Analytische Methoden

Sie können zwei oder mehr Vektoren durch eine geometrische oder Vektormethode hinzufügen oder subtrahieren:

Geometrische Methode

Wenn zwei Vektoren ein Dreieck oder Parallelogramm bilden, können der Modul und die Richtung des resultierenden Vektors unter Verwendung der Gesetze von Sinus und Kosinus bestimmt werden. Somit ist das Modul des resultierenden Vektors unter Anwendung des Kosinusgesetzes und der Dreiecksmethode gegeben durch:

In dieser Formel ist β der Winkel gegenüber der Seite R, und dies ist gleich 180º - ∞.

Im Gegensatz dazu ist das resultierende Vektormodul durch die Parallelogrammmethode:

Die Richtung des resultierenden Vektors ist durch den Winkel (α) gegeben, der das Ergebnis mit einem der Vektoren bildet.

Nach dem Gesetz des Sinus kann die Addition oder Subtraktion von Vektoren auch durch die Dreiecks- oder Parallelogrammmethode erfolgen, wobei man weiß, dass in jedem Dreieck die Seiten proportional zu den Brüsten der Winkel sind:

Vektor-Methode

Dies kann auf zwei Arten geschehen: abhängig von ihren rechtwinkligen Koordinaten oder ihren Basisvektoren.

Dies kann durch Übertragen der Vektoren, die addiert oder subtrahiert werden sollen, zum Ursprung der Koordinaten und dann aller Projektionen in jeder der Achsen für die Ebene (x, y) oder den Raum (x, und, z); Schließlich werden seine Komponenten algebraisch hinzugefügt. Also, für das Flugzeug ist es:

Das Modul des resultierenden Vektors ist:

Während für den Raum ist es:

Das Modul des resultierenden Vektors ist:

Bei Vektorsummen werden mehrere Eigenschaften angewendet, die sind:

- Assoziative Eigenschaft: Das Ergebnis ändert sich nicht, wenn zuerst zwei Vektoren hinzugefügt und dann ein dritter Vektor hinzugefügt wird.

- Kommutative Eigenschaft: Die Reihenfolge der Vektoren ändert das Ergebnis nicht.

- Vektor distributive Eigenschaft: Wenn ein Skalar mit der Summe zweier Vektoren multipliziert wird, ist es gleich der Multiplikation des Skalars für jeden Vektor.

- Skalare distributive Eigenschaft: Wenn ein Vektor mit der Summe zweier Skalare multipliziert wird, ist er gleich der Multiplikation des Vektors für jeden Skalar.

Multiplikation von Vektoren

Die Multiplikation oder das Produkt von Vektoren könnte als Addition oder Subtraktion ausgeführt werden, aber dabei verliert es die physikalische Bedeutung und wird fast nie in Anwendungen gefunden. Aus diesem Grund sind die am häufigsten verwendeten Arten von Produkten das skalare und vektorielle Produkt.

Skalarprodukt

Es ist auch bekannt als ein Skalarprodukt zweier Vektoren. Wenn die Module von zwei Vektoren mit dem Kosinus des kleineren Winkels multipliziert werden, der zwischen ihnen gebildet wird, wird ein Skalar erhalten. Um ein Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren auszudrücken, wird ein Punkt zwischen ihnen platziert, und dies kann wie folgt definiert werden:

Der Wert des Winkels, der zwischen den beiden Vektoren existiert, hängt davon ab, ob sie parallel oder senkrecht sind; Also musst du:

- Wenn die Vektoren parallel sind und denselben Sinn haben, ist Cosinus 0º = 1.

- Wenn die Vektoren parallel sind und entgegengesetzte Richtungen haben, Kosinus 180º = -1.

- Wenn die Vektoren senkrecht sind, Kosinus 90º = 0.

Dieser Winkel kann auch berechnet werden, wenn man weiß:

Das Skalarprodukt hat folgende Eigenschaften:

- Kommutative Eigenschaft: Die Reihenfolge der Vektoren ändert den Skalar nicht.

- Verteilungseigenschaft: Wenn ein Skalar mit der Summe zweier Vektoren multipliziert wird, entspricht dies der Multiplikation des Skalars für jeden Vektor.

Vektorprodukt

Die Vektormultiplikation oder das Kreuzprodukt von zwei Vektoren A und B wird zu einem neuen Vektor C führen und wird unter Verwendung einer Kreuzung zwischen den Vektoren ausgedrückt:

Der neue Vektor wird seine eigenen Eigenschaften haben. Auf diese Weise:

- Die Richtung: Dieser neue Vektor wird senkrecht zu der Ebene sein, die durch die ursprünglichen Vektoren bestimmt wird.

- Der Sinn: Dies wird mit der Regel der rechten Hand bestimmt, wo der Vektor A zu dem B gedreht wird, indem die Richtung der Drehung mit den Fingern gezeigt wird, und mit dem Daumen wird der Sinn des Vektors markiert.

- Das Modul: wird durch die Multiplikation der Module der Vektoren AxB bestimmt, durch den Sinus des kleinsten Winkels, der zwischen diesen Vektoren existiert. Es wird ausgedrückt:

Der Wert des Winkels, der zwischen den beiden Vektoren existiert, hängt davon ab, ob sie parallel oder senkrecht sind. Dann ist es möglich, Folgendes zu bestätigen:

- Wenn die Vektoren parallel sind und denselben Sinn haben, ist sin 0º = 0.

- Wenn die Vektoren parallel sind und entgegengesetzte Richtungen haben, Sinus 180º = 0.

- Wenn die Vektoren senkrecht sind, Sinus 90º = 1.

Wenn ein Vektorprodukt in Bezug auf seine Basisvektoren ausgedrückt wird, muss es:

Das Skalarprodukt hat folgende Eigenschaften:

- Es ist nicht kommutativ: Die Reihenfolge der Vektoren ändert den Skalar.

- Verteilungseigenschaft: Wenn ein Skalar mit der Summe zweier Vektoren multipliziert wird, entspricht dies der Multiplikation des Skalars für jeden Vektor.

Referenzen

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