Mathematische Logik Herkunft, was Studien, Arten

Die mathematische Logik oder symbolische Logik ist eine mathematische Sprache, die die notwendigen Werkzeuge enthält, mit deren Hilfe mathematische Begründungen bestätigt oder geleugnet werden können.

Es ist bekannt, dass es in der Mathematik keine Unklarheiten gibt. Bei einem mathematischen Argument ist dies gültig oder nicht. Es kann nicht gleichzeitig falsch und wahr sein.

Ein besonderer Aspekt der Mathematik ist, dass sie eine formale und strenge Sprache hat, anhand derer die Gültigkeit einer Argumentation bestimmt werden kann. Was macht eine bestimmte Argumentation oder einen mathematischen Beweis unwiderlegbar? Darum geht es in der mathematischen Logik.

Somit ist die Logik die Disziplin der Mathematik, die für die Untersuchung der Argumentation und mathematische Demonstrationen verantwortlich ist, und die Bereitstellung der Werkzeuge in der Lage sein, richtig Schlussfolgerung aus einer früheren Aussagen oder Aussagen abzuleiten.

Um dies zu tun, verwendet es Axiome und andere mathematische Aspekte, die später entwickelt werden.

Index

• 1 Ursprung und Geschichte
  • 1.1 Aristoteles
• 2 Was lernt die mathematische Logik?
  • 2.1 Vorschläge
  • 2.2 Wahrheitstabellen
• 3 Arten von mathematischer Logik
  • 3.1 Bereiche
• 4 Referenzen

Herkunft und Geschichte

Die genauen Daten in Bezug auf viele Aspekte der mathematischen Logik sind unsicher. Die meisten Bibliographien zu diesem Thema lassen jedoch den Ursprung des antiken Griechenlands erkennen.

Aristoteles

Der Beginn der strengen Behandlung von Logik wird teilweise Aristoteles zugeschrieben, der eine Reihe von Arbeiten auf Logik geschrieben, das von verschiedenen Philosophen und Wissenschaftlern bis zum Mittelalter später zusammengestellt und entwickelt wurde. Dies könnte als "die alte Logik" betrachtet werden.

Dann, in dem als Gegenwarts Alter, Leibniz, angetrieben von einem tiefen Wunsch bekannt ist eine universelle Sprache zu etablieren, mathematisch zu denken, und andere Mathematiker wie Gottlob Frege und Giuseppe Peano, beeinflusste vor allem der Entwicklung der mathematischen Logik mit großen Beiträgen unter ihnen die Axiome von Peano, die unentbehrliche Eigenschaften natürlicher Zahlen formulieren.

War zu dieser Zeit auch Mathematiker George Boole und Georg Cantor, mit wichtigen Beiträgen einflussreiche Theorie und Wahrheitstabellen zu setzen, die hervorgehoben, unter anderem, Boolesche Algebra (von George Boole) und dem Auswahlaxiom (von George Cantor)

Augustus De Morgan auch mit den bekannten Gesetzen Morgan, erwägt Negationen, Konjunktionen, Disjunktionen und conditionals zwischen Sätzen, der Schlüssel zur Entwicklung der symbolischen Logik und den berühmten John Venn Venn-Diagramme.

Im 20. Jahrhundert, etwa zwischen 1910 und 1913, ragen Bertrand Russell und Alfred North Whitehead mit ihrer Veröffentlichung von Principia Mathematica, eine Sammlung von Büchern, die eine Reihe von Axiomen und logischen Ergebnissen sammelt, entwickelt und postuliert.

Was studiert die mathematische Logik?

Vorschläge

Mathematische Logik beginnt mit dem Studium von Sätzen. Ein Satz ist eine Bestätigung, dass ohne Zweideutigkeit gesagt werden kann, ob sie wahr ist oder nicht. Im Folgenden finden Sie Beispiele für Vorschläge:

• 2+4=6.
• 5²=35.
• Im Jahr 1930 gab es in Europa ein Erdbeben.

Der erste ist ein wahrer Satz und der zweite ist ein falscher Satz. Die dritte, obwohl es möglich ist, dass die Person, die nicht weiß, liest, ob es wahr oder richtig ist, es ist eine Aussage, die überprüft werden kann, um zu bestimmen, ob oder ob nicht tatsächlich passiert ist.

Im Folgenden finden Sie Beispiele für Ausdrücke, die keine Aussagen sind:

• Sie ist blond.
• 2x = 6
• Lass uns spielen!
• Magst du Filme?

Im ersten Satz wird nicht angegeben, wer "sie" ist, daher kann nichts bestätigt werden. Im zweiten Satz wurde nicht spezifiziert, was "x" darstellt. Wenn stattdessen gesagt würde, dass 2x = 6 für eine natürliche Zahl x wäre, würde sie in diesem Fall einer Aussage entsprechen, in der Tat wahr, denn für x = 3 ist sie erfüllt.

Die letzten beiden Aussagen entsprechen keinem Satz, da es keine Möglichkeit gibt, sie abzulehnen oder zu bestätigen.

Zwei oder mehr Vorschläge können unter Verwendung der bekannten Verbinder (oder Verbinder) kombiniert (oder verbunden) werden. Diese sind:

• Ablehnung: "Es regnet nicht."
• Disjunktion: "Luisa kaufte eine weiße oder graue Tasche".
• Konjunktion: "4²= 16 und 2 × 5 = 10 ".
• Konditional: "Wenn es regnet, gehe ich heute Nachmittag nicht ins Fitnessstudio."
• Biconditional: "Ich gehe heute Nachmittag ins Fitnessstudio, wenn und nur wenn es nicht regnet".

Ein Satz, der nichts von dem vorherigen Konnektiven hat, heißt einfacher Satz (oder Atom). Zum Beispiel ist "2 ist weniger als 4", ist eine einfache Aussage. Die Sätze, die irgendeine Verbindung haben, werden zusammengesetzte Aussagen genannt, wie zum Beispiel "1 + 3 = 4 und 4 ist eine gerade Zahl".

Die Aussagen, die mittels Aussagen gemacht werden, sind gewöhnlich lang, so dass es mühsam ist, sie immer so zu schreiben, wie wir es bisher gesehen haben.Daher wird eine symbolische Sprache verwendet. Vorschläge werden in der Regel durch Großbuchstaben wie z P, Q, R, Susw. Und das symbolische Bindeglied wie folgt:

Also das

Die umgekehrt eines bedingten Satzes

ist der Vorschlag

Und das Gegenreklamation (oder Contrapositive) eines Satzes

ist der Vorschlag

Wahrheitstabellen

Ein anderes wichtiges Konzept in der Logik ist das der Wahrheitstabellen. Die Wahrheitswerte eines Satzes sind die zwei Möglichkeiten, die Sie für einen Satz haben: wahr (das wird mit V bezeichnet und Sie werden sagen, dass sein Wahrheitswert V ist) oder falsch (was mit F bezeichnet wird und sein Wert wird gesagt) es ist wirklich F).

Der Wahrheitswert eines zusammengesetzten Satzes hängt ausschließlich von den Wahrheitswerten der einfachen Sätze ab, die in ihm erscheinen.

Um allgemeiner zu arbeiten, werden wir keine spezifischen Aussagen, sondern propositionale Variablen berücksichtigen p, q, r, susw., die irgendwelche Vorschläge darstellen.

Mit diesen Variablen und den logischen Konnektoren werden die wohlbekannten Aussagenformeln genauso gebildet wie zusammengesetzte Aussagen.

Wenn jede der Variablen, die in einer Aussagenformel vorkommen, durch eine Aussage ersetzt wird, erhält man eine zusammengesetzte Aussage.

Im Folgenden finden Sie die Wahrheitstabellen für logische Verknüpfungen:

Es gibt aussagenlogische Formeln, die in ihrer Wahrheitstabelle nur den Wert V erhalten, dh die letzte Spalte ihrer Wahrheitstabelle hat nur den Wert V. Diese Art von Formeln wird als Tautologie bezeichnet. Zum Beispiel:

Das Folgende ist die Wahrheitstabelle der Formel

Es wird gesagt, dass eine Formel α logisch eine andere Formel β impliziert, wenn α jedes Mal wahr ist, wenn β wahr ist. Das heißt, in der Wahrheitstabelle von α und β haben die Zeilen, in denen α ein V, β hat, ebenfalls V. Nur die Zeilen, in denen α den Wert V hat, sind interessant Die Schreibweise für die logische Implikation ist die folgende :

Die folgende Tabelle fasst die Eigenschaften der logischen Implikation zusammen:

Es wird gesagt, dass zwei aussagenlogische Formeln logisch äquivalent sind, wenn ihre Wahrheitstabellen identisch sind. Die folgende Notation wird verwendet, um die logische Äquivalenz auszudrücken:

Die folgenden Tabellen fassen die Eigenschaften der logischen Äquivalenz zusammen:

Arten der mathematischen Logik

Es gibt verschiedene Arten von Logik, besonders wenn man die pragmatische oder informelle Logik berücksichtigt, die unter anderem auf die Philosophie verweist.

Soweit es die Mathematik betrifft, könnten die Arten der Logik wie folgt zusammengefasst werden:

• Formale Logik oder Aristotelische Logik (alte Logik).
• Aussagenlogik: ist verantwortlich für das Studium von allem, was mit der Gültigkeit von Argumenten und Aussagen zusammenhängt, unter Verwendung einer formalen Sprache und auch symbolisch.
• Symbolische Logik: konzentriert sich auf das Studium von Mengen und ihren Eigenschaften, auch mit einer formalen und symbolischen Sprache, und ist tief mit der Aussagenlogik verbunden.
• Kombinatorische Logik: Eine der neuesten Entwicklungen, die Ergebnisse enthält, die durch Algorithmen entwickelt werden können.
• Logische Programmierung: wird in den verschiedenen Paketen und Programmiersprachen verwendet.

Bereiche

Unter den Gebieten, die die mathematische Logik in unentbehrlicher Weise für die Entwicklung ihrer Argumentation und Argumente nutzen, betonen sie Philosophie, Mengenlehre, Zahlentheorie, konstruktive algebraische Mathematik und Programmiersprachen.

Referenzen

1. Aylwin, C. U. (2011). Logik, Mengen und Zahlen. Mérida - Venezuela: Rat der Publikationen, Universidad de Los Andes.
2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M. & Soto, A. (1998). Einführung in die Zahlentheorie. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). Grundkurs in Zahlentheorie. Universität des Nordens.
4. Cofré, A. & Tapia, L. (1995). Wie man mathematisches logisches Schließen entwickelt Universitäts-Editorial.
5. Zaragoza, A. C. (s.f.). Theorie der Zahlen Editorial Vision Bücher.