Definition der Sechseckpyramide, Eigenschaften und Berechnungsbeispiele

Eins Sechseckige Pyramide ist ein Polyeder, gebildet durch ein Sechseck, das die Basis ist, und sechs Dreiecke, die von den Ecken des Sechsecks ausgehen und in einem Punkt außerhalb der Ebene zusammentreffen, die die Basis enthält. An diesem Punkt der Übereinstimmung ist es bekannt als der Scheitel oder die Spitze der Pyramide.

Ein Polyeder ist ein geschlossener dreidimensionaler geometrischer Körper, dessen Gesichter flache Figuren sind. Ein Sechseck ist eine geschlossene flache Figur (Polygon), die von sechs Seiten gebildet wird. Wenn die sechs Seiten die gleiche Länge haben und gleiche Winkel bilden, wird gesagt, dass sie regelmäßig ist; Ansonsten ist es unregelmäßig.

Index

• 1 Definition
• 2 Eigenschaften
  • 2.1 Konkav oder konvex
  • 2.2 Kanten
  • 2.3 Apotema
  • 2.4 bezeichnet
• 3 Wie berechnet man die Fläche? Formeln
  • 3.1 Berechnung in unregelmäßigen hexagonalen Pyramiden
• 4 Wie berechnet man die Lautstärke? Formeln
  • 4.1 Berechnung in unregelmäßigen hexagonalen Pyramiden
• 5 Beispiel
  • 5.1 Lösung
• 6 Referenzen

Definition

Eine hexagonale Pyramide enthält sieben Flächen, die Basis und die sechs seitlichen Dreiecke, von denen die Basis die einzige ist, die den Scheitel nicht berührt.

Es wird gesagt, dass die Pyramide gerade ist, wenn alle seitlichen Dreiecke gleichschenklig sind. In diesem Fall ist die Höhe der Pyramide das Segment, das vom Scheitel bis zur Mitte des Sechsecks reicht.

Im Allgemeinen ist die Höhe einer Pyramide der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt und der Ebene der Basis. Es wird gesagt, dass die Pyramide schräg ist, wenn nicht alle seitlichen Dreiecke gleichschenklig sind.

Wenn das Sechseck regelmäßig ist und die Pyramide ebenfalls gerade ist, wird es als regelmäßige hexagonale Pyramide bezeichnet. In ähnlicher Weise wird, wenn das Sechseck unregelmäßig ist oder die Pyramide schräg ist, gesagt, dass es eine unregelmäßige hexagonale Pyramide ist.

Eigenschaften

Konkav oder konvex

Ein Polygon ist konvex, wenn das Maß aller Innenwinkel weniger als 180 Grad beträgt. Geometrisch entspricht dies der Aussage, dass bei einem Paar von Punkten innerhalb des Polygons das Liniensegment, das sie verbindet, im Polygon enthalten ist. Ansonsten wird gesagt, dass das Polygon konkav ist.

Wenn das Sechseck konvex ist, wird gesagt, dass die Pyramide eine hexagonale konvexe Pyramide ist. Ansonsten wird gesagt, dass es sich um eine konkave hexagonale Pyramide handelt.

Kanten

Die Kanten einer Pyramide sind die Seiten der sechs Dreiecke, aus denen sie besteht.

Apotema

Das Apothem der Pyramide ist der Abstand zwischen dem Eckpunkt und den Seiten der Basis der Pyramide. Diese Definition macht nur Sinn, wenn die Pyramide regelmäßig ist, denn wenn sie unregelmäßig ist, variiert diese Distanz in Abhängigkeit vom betrachteten Dreieck.

Im Gegensatz dazu entspricht in den regulären Pyramiden das Apothem der Höhe jedes Dreiecks (da jedes gleichschenklig ist) und ist in allen Dreiecken gleich.

Das Apotheum der Basis ist der Abstand zwischen einer der Seiten der Basis und ihrer Mitte. Nebenbei bemerkt, macht das Apothem der Basis auch nur in regulären Pyramiden Sinn.

Bezeichnet

Die Höhe einer sechseckigen Pyramide wird mit bezeichnet h, das Apothem der Basis (im regulären Fall) durch APb und das Apothem der Pyramide (auch im regulären Fall) durch AP.

Ein Merkmal der regelmäßigen hexagonalen Pyramiden ist das h, APb und AP Bilden Sie ein rechtwinkliges Hypotenusen-Dreieck AP und Beine h und APb. Nach dem Satz des Pythagoras musst du AP = √ (h^ 2 + APb ^ 2).

Das vorherige Bild repräsentiert eine reguläre Pyramide.

Wie berechnet man die Fläche? Formeln

Betrachten Sie eine regelmäßige hexagonale Pyramide. Auf jede Seite des Sechsecks zugeschnitten sein. Dann entspricht A dem Maß der Basis jedes Dreiecks der Pyramide und daher den Rändern der Basis.

Die Fläche eines Polygons ist das Produkt des Umfangs (die Summe der Seiten) durch das Apotheum der Basis geteilt durch zwei. Im Fall eines Sechsecks wäre es 3 * A * APb.

Man kann sehen, dass die Fläche einer regelmäßigen hexagonalen Pyramide gleich der sechsfachen Fläche jedes Dreiecks der Pyramide plus der Fläche der Basis ist. Wie bereits erwähnt, entspricht die Höhe jedes Dreiecks dem Apotheum der Pyramide AP.

Daher ist die Fläche jedes Dreiecks der Pyramide durch A * AP / 2 gegeben. Somit ist die Fläche einer regulären hexagonalen Pyramide 3 * A * (APb + AP), wobei A eine Kante der Basis, APb das Apothem der Basis und AP das Apothem der Pyramide ist.

Berechnung in unregelmäßigen hexagonalen Pyramiden

Im Fall einer unregelmäßigen hexagonalen Pyramide gibt es keine direkte Formel für die Berechnung der Fläche wie im vorherigen Fall. Dies liegt daran, dass jedes Dreieck der Pyramide eine andere Fläche hat.

In diesem Fall muss die Fläche jedes Dreiecks separat und die Fläche der Basis berechnet werden. Dann wird die Fläche der Pyramide die Summe aller zuvor berechneten Flächen sein.

Wie berechnet man das Volumen? Formeln

Das Volumen einer Pyramide von regelmäßiger hexagonaler Form ist das Produkt der Höhe der Pyramide durch die Fläche der Basis zwischen drei.Somit ist das Volumen einer regelmäßigen hexagonalen Pyramide durch A * APb * h gegeben, wobei A eine Kante der Basis, APb das Apothem der Basis und h die Höhe der Pyramide ist.

Berechnung in unregelmäßigen hexagonalen Pyramiden

Analog zur Fläche gibt es im Falle einer unregelmäßigen hexagonalen Pyramide keine direkte Formel zur Berechnung des Volumens, da die Kanten der Basis nicht das gleiche Maß haben, da es sich um ein unregelmäßiges Polygon handelt.

In diesem Fall muss die Grundfläche separat berechnet werden und das Volumen wird (h * Grundfläche) / 3 sein.

Beispiel

Berechnen Sie die Fläche und das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide mit einer Höhe von 3 cm, deren Basis ein regelmäßiges Sechseck von 2 cm auf jeder Seite ist und das Apothem der Basis 4 cm ist.

Lösung

Zuerst müssen Sie das Apothem der Pyramide (AP) berechnen, die die einzigen fehlenden Daten sind. Betrachtet man das Bild oben, sieht man, dass die Höhe der Pyramide (3 cm) und das Apotheum der Basis (4 cm) ein rechtes Dreieck bilden; Um das Apothem der Pyramide zu berechnen, verwenden wir daher den Satz des Pythagoras:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Unter Verwendung der oben beschriebenen Formel folgt daher, dass die Fläche gleich 3 * 2 * (4 + 5) = 54 cm ^ 2 ist.

Auf der anderen Seite erhalten wir anhand der Volumenformel, dass das Volumen der gegebenen Pyramide 2 * 4 * 3 = 24 cm ^ 3 ist.

Referenzen

1. Billstein, R., Libeskind, S., und Lott, J. W. (2013).Mathematik: ein Problemlösungsansatz für Grundschullehrer. López Mateos Editores.
2. Fregoso, R. S. & Carrera, S. A. (2005).Mathematik 3. Fortschritt Editorial.
3. Gallardo, G. & Pilar, P. M. (2005).Mathematik 6. Fortschritt Editorial.
4. Gutiérrez, C. T. & Cisneros, M. P. (2005).Mathematikkurs 3. Fortschritt Editorial.
5. Kinsey, L., und Moore, T.E. (2006).Symmetrie, Form und Raum: Eine Einführung in die Mathematik durch Geometrie (illustriert, Nachdruck ed.). Springer Wissenschafts- und Wirtschaftsmedien.
6. Mitchell, C. (1999).Schillernde Math Line Designs (Illustrierte Ausgabe). Scholastic Inc.
7. R., M. P. (2005).Ich zeichne 6. Fortschritt Editorial.