Moivres Theorem Was es beinhaltet, Demonstrationen und aufgelöste Übungen

Die Moivres Theorem wendet fundamentale Prozesse der Algebra an, wie Mächte und Extraktion von Wurzeln in komplexen Zahlen. Das Theorem wurde vom berühmten französischen Mathematiker Abraham de Moivre (1730) verkündet, der komplexe Zahlen mit der Trigonometrie assoziierte.

Abraham Moivre hat diesen Zusammenhang durch die Ausdrücke der Brust und des Kosinus geschaffen. Dieser Mathematiker hat eine Art Formel erzeugt, durch die es möglich ist, eine komplexe Zahl z auf die Potenz n zu heben, die eine positive ganze Zahl größer oder gleich 1 ist.

Index

• 1 Was ist der Satz von Moivre?
• 2 Demonstration
  • 2.1 Induktive Basis
  • 2.2 Induktive Hypothese
  • 2.3 Überprüfung
  • 2.4 Negative Ganzzahl
• 3 Übungen gelöst
  • 3.1 Berechnung positiver Kräfte
  • 3.2 Berechnung der negativen Kräfte
• 4 Referenzen

Was ist der Satz von Moivre?

Moivres Theorem sagt Folgendes aus:

Wenn Sie eine komplexe Zahl in der polaren Form z = r haben_Ɵ, wo r das Modul der komplexen Zahl z ist und der Winkel the die Amplitude oder das Argument einer beliebigen komplexen Zahl mit 0 ≤ Ɵ ≤ 2π genannt wird, ist es zur Berechnung seiner n-ten Potenz nicht notwendig, sie n-mal mit sich selbst zu multiplizieren; das heißt, es ist nicht notwendig, das folgende Produkt zu machen:

Zⁿ = z _* z _* z_{*… *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ *… *} r_Ɵ n-mal.

Im Gegenteil, der Satz besagt, dass, wenn z in seiner trigonometrischen Form geschrieben wird, um die n-te Potenz zu berechnen, wie folgt verfahren wird:

Wenn z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) dann zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Zum Beispiel, wenn n = 2, dann z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Wenn Sie das n = 3 haben, dann z³ = z² _* z. Darüber hinaus:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Auf diese Weise können die trigonometrischen Verhältnisse von Sinus und Kosinus für Vielfache eines Winkels erhalten werden, solange die trigonometrischen Verhältnisse des Winkels bekannt sind.

Ähnlich kann es verwendet werden, um präzisere und weniger verwirrende Ausdrücke für die n-te Wurzel einer komplexen Zahl z zu finden, so dass zⁿ = 1.

Um den Satz von Moivre zu beweisen, wird das Prinzip der mathematischen Induktion verwendet: wenn eine ganze Zahl "a" eine Eigenschaft "P" hat und wenn für jede ganze Zahl "n" größer als "a" ist, die die Eigenschaft "P" hat erfüllt, dass n + 1 auch die Eigenschaft "P" hat, so haben alle ganzen Zahlen größer oder gleich "a" die Eigenschaft "P".

Demonstration

Auf diese Weise wird der Beweis des Theorems mit den folgenden Schritten durchgeführt:

induktive Basis

Zuerst wird es auf n = 1 überprüft.

Wie z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + ich _* sen (1_* Ɵ)], wir haben, dass für n = 1 der Satz erfüllt ist.

Induktive Hypothese

Es wird angenommen, dass die Formel für eine positive ganze Zahl wahr ist, das heißt, n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k = r^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

Überprüfung

Dies gilt für n = k + 1.

Wie z^{k + 1}= z^k _* z, dann z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos k + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Dann werden die Ausdrücke multipliziert:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(ich_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(ich_* senƟ)).

Für einen Moment wird der R-Faktor ignoriert^{k + 1}und gemeinsamer Faktor i wird entfernt:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(senƟ).

Wie ich² = -1, wir ersetzen es im Ausdruck und wir erhalten:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(senƟ).

Nun sind der Real- und der Imaginärteil geordnet:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

Um den Ausdruck zu vereinfachen, werden die trigonometrischen Identitäten der Summe der Winkel für den Kosinus und die Sünde angewendet, die sind:

cos (A + B) = cosA _* cos B - sen A _* sen B.

Sünde (A + B) = Sünde A _* cos B - cosA _* cos B.

In diesem Fall sind die Variablen die Winkel Ɵ und kƟ. Wir wenden die trigonometrischen Identitäten an:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Auf diese Weise bleibt der Ausdruck:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (k + +) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _* sin [(k +1) Ɵ]).

Somit konnte gezeigt werden, dass das Ergebnis für n = k + 1 gilt. Nach dem Prinzip der mathematischen Induktion wird gefolgert, dass das Ergebnis für alle positiven ganzen Zahlen gilt; das heißt, n ≥ 1.

Ganzzahl negativ

Der Satz von Moivre wird auch angewendet, wenn n ≤ 0. Betrachten Sie eine negative ganze Zahl "n"; dann kann "n" als "-m" geschrieben werden, das heißt, n = -m, wobei "m" eine positive ganze Zahl ist. Deshalb:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Um den Exponenten "m" positiv zu erhalten, wird der Ausdruck umgekehrt geschrieben:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* mƟ sen)

Wenn z = a + b * i eine komplexe Zahl ist, dann wird 1 ÷ z = a-b * i verwendet. Deshalb:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (m & sub0;) - i _* sen (mƟ).

Mit cos (x) = cos (-x) und -sen (x) = sin (-x) müssen wir:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (m & sub0;) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- m & sub0;) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (n & spplus;) - i _* Sünde (nƟ).

Auf diese Weise können wir sagen, dass der Satz für alle ganzzahligen Werte von "n" gilt.

Gelöste Übungen

Berechnung positiver Kräfte

Eine der Operationen mit komplexen Zahlen in ihrer polaren Form ist die Multiplikation zwischen zwei von diesen; In diesem Fall werden die Module multipliziert und die Argumente hinzugefügt.

Wenn Sie zwei komplexe Zahlen haben, z₁ und z₂ und du willst berechnen (z₁* z₂)², dann gehe wie folgt vor:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + ich _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ₂ + ich _* sen Ɵ₂)]

Die Verteilungseigenschaft wird angewendet:

z₁z₂ = r₁ r₂ (Cos ɵ_1* cos Ɵ₂ + ich _* cos Ɵ_1* ich _* sen Ɵ₂ + ich _* sen Ɵ_1* cos Ɵ₂ + ich²_* sen Ɵ_1* sen Ɵ₂).

Sie sind gruppiert und nehmen den Ausdruck "i" als einen gemeinsamen Faktor von Ausdrücken:

z₁z₂ = r₁ r₂ [Cos ɵ_1* cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos Ɵ₂) + ich²_* sen Ɵ_1* sen Ɵ₂]

Wie ich² = -1, wird im Ausdruck substituiert:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos Ɵ₂) - sen Ɵ_1* sen Ɵ₂]

Die realen Begriffe sind mit realen und imaginären mit imaginären gruppiert:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ - sen Ɵ_1* sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + sen Ɵ_1* cos Ɵ₂)]

Schließlich werden die trigonometrischen Eigenschaften angewendet:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Abschließend:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= r₁²r₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Übung 1

Schreiben Sie die komplexe Zahl in polare Form, wenn z = -2-2i. Dann, unter Verwendung des Satzes von Moivre, berechne z⁴.

Lösung

Die komplexe Zahl z = -2 -2i wird in der rechteckigen Form z = a + bi ausgedrückt, wobei

a = -2.

b = -2

Wissend, dass die polare Form ist z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), müssen Sie den Wert des Moduls "r" und den Wert des Arguments "Ɵ" bestimmen. Als r = √ (a² + b²) werden die angegebenen Werte ersetzt:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √(4+4)

= √(8)

= √(4*2)

= 2√2.

Um den Wert von "Ɵ" zu bestimmen, wird dann die rechteckige Form angewendet, die durch die Formel gegeben ist:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Da tan (Ɵ) = 1 und du musst <0, dann musst du:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π/4 + Π

= 5Π/4.

Da der Wert von "r" und "Ɵ" bereits erhalten wurde, kann die komplexe Zahl z = -2 -2i in der polaren Form ausgedrückt werden, indem die Werte ersetzt werden:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Jetzt wird der Moivre-Satz verwendet, um z zu berechnen⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Übung 2

Finden Sie das Produkt komplexer Zahlen, indem Sie es in seiner polaren Form ausdrücken:

z1 = 4 (cos 50^o + ich_* 50 sen^o)

z2 = 7 (cos 100^o + ich_* 100 sen^o).

Dann berechne (z1 * z2) ².

Lösung

Zuerst wird das Produkt der gegebenen Zahlen gebildet:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^o + ich_* 50 sen^o)] * [7 (cos 100^o + ich_* 100 sen^o)]

Dann werden die Module miteinander multipliziert und die Argumente hinzugefügt:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [Cos (50^o + 100^o) + ich_* sen (50^o + 100^o)]

Der Ausdruck ist vereinfacht:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o).

Schließlich wird das Moivre-Theorem angewendet:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o)) ² = 784 (cos 300^o + (i_* 300 sen^o)).

Berechnung der negativen Kräfte

Um zwei komplexe Zahlen z₁ und z₂ In seiner polaren Form wird das Modul geteilt und die Argumente werden subtrahiert. Somit ist der Quotient z₁ ÷ z₂ und es wird wie folgt ausgedrückt:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Wie im vorherigen Fall, wenn Sie (z1 ÷ z2) ³ zuerst berechnen wollen, wird die Division gemacht und dann wird das Moivre-Theorem verwendet.

Übung 3

Gegeben:

z1 = 12 (cos (3 & pgr; / 4) + i * sin (3 & pgr; / 4)),

z2 = 4 (cos (& pgr; / 4) + i * sin (& pgr; / 4)),

berechne (z1 ÷ z2) ³.

Lösung

Nach den oben beschriebenen Schritten kann geschlossen werden, dass

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4)) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3 & pgr; / 2) + i * sin (3 & pgr; / 2)).

Referenzen

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
2. Croucher, M. (s.f.). Aus Moivres Theorem für Trig Identities. Wolfram Demonstrations Projekt.
3. Hazewinkel, M. (2001). Enzyklopädie der Mathematik.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra und Trigonometrie
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Ausbildung.
6. Stanley, G. (s.f.). Lineare Algebra Graw-Hügel.
7. , M. (1997). Vorberechnung Pearson Ausbildung.