Beispiele Varignon Satz und Übungen gemacht



Die Varignons Theorem stellt fest, dass, wenn in irgendeinem Viereck irgendwelche Punkte fortwährend mit den Seiten verbunden sind, ein Parallelogramm erzeugt wird. Dieser Satz wurde von Pierre Varignon formuliert und 1731 im Buch veröffentlicht Elemente der Mathematik”.

Die Veröffentlichung des Buches erfolgte Jahre nach seinem Tod. Da Varignon derjenige war, der diesen Satz vorlegte, ist das Parallelogramm nach ihm benannt. Der Satz basiert auf der Euklidischen Geometrie und zeigt geometrische Beziehungen von Vierecken.

Index

  • 1 Was ist Varignons Theorem?
  • 2 Beispiele
    • 2.1 Erstes Beispiel
    • 2.2 Zweites Beispiel
  • 3 Übungen gelöst
    • 3.1 Aufgabe 1
    • 3.2 Aufgabe 2
    • 3.3 Aufgabe 3
  • 4 Referenzen

Was ist Varignons Theorem?

Varignon behauptete, dass eine Figur, die durch die Mittelpunkte eines Vierecks definiert ist, immer zu einem Parallelogramm führt, und die Fläche davon wird immer die Hälfte der Fläche des Vierecks sein, wenn es flach und konvex ist. Zum Beispiel:

In der Figur sehen wir ein Viereck mit einer Fläche X, wo die Mittelpunkte der Seiten durch E, F, G und H dargestellt werden und, wenn sie verbunden sind, ein Parallelogramm bilden. Die Fläche des Vierecks ist die Summe der Bereiche der Dreiecke, die gebildet werden, und die Hälfte davon entspricht der Fläche des Parallelogramms.

Da die Fläche des Parallelogramms die Hälfte der Fläche des Vierecks ist, kann der Umfang dieses Parallelogramms bestimmt werden.

Somit ist der Umfang gleich der Summe der Längen der Diagonalen des Vierecks; Dies liegt daran, dass der Median des Vierecks die Diagonalen des Parallelogramms ist.

Wenn andererseits die Längen der Diagonalen des Vierecks genau gleich sind, wird das Parallelogramm ein Diamant sein. Zum Beispiel:

Aus der Figur ist ersichtlich, dass durch Verbinden der Mittelpunkte der Seiten des Vierecks ein Rhombus erhalten wird. Wenn andererseits die Diagonalen des Vierecks senkrecht sind, wird das Parallelogramm ein Rechteck sein.

Auch das Parallelogramm ist ein Quadrat, wenn das Viereck die Diagonalen gleicher Länge hat und auch senkrecht steht.

Der Satz wird nicht nur in flachen Vierecken erfüllt, sondern auch in räumlicher Geometrie oder in großen Dimensionen umgesetzt; das heißt, in jenen Vierecken, die nicht konvex sind. Ein Beispiel hierfür kann ein Oktaeder sein, wobei die Mittelpunkte die Flächenschwerpunkte jeder Fläche sind und ein Parallelepiped bilden.

Auf diese Weise können durch Verbinden der Mittelpunkte unterschiedlicher Figuren Parallelogramme erhalten werden. Ein einfacher Weg, um zu überprüfen, ob dies wirklich wahr ist, ist, dass die gegenüberliegenden Seiten parallel sein müssen, wenn sie erweitert werden.

Beispiele

Erstes Beispiel

Verlängerung der gegenüberliegenden Seiten, um zu zeigen, dass es sich um ein Parallelogramm handelt:

Zweites Beispiel

Indem wir die Mittelpunkte eines Diamanten verbinden, erhalten wir ein Rechteck:

Der Satz wird in der Vereinigung von Punkten verwendet, die sich in der Mitte der Seiten eines Vierecks befinden, und er kann auch für andere Arten von Punkten verwendet werden, wie in einer Dreiteilung, Penta-Sektion oder sogar einer unendlichen Anzahl von Abschnitten ( nth), um die Seiten eines beliebigen Vierecks in Segmente zu teilen, die proportional sind.

Gelöste Übungen

Übung 1

Wir haben in der Figur ein viereckiges ABCD der Fläche Z, wo die Mittelpunkte der Seiten davon PQSR sind. Stellen Sie sicher, dass ein Parallelogramm von Varignon gebildet wird.

Lösung

Es kann verifiziert werden, dass durch das Verbinden der PQSR-Punkte ein Varignon-Parallelogramm gebildet wird, gerade weil in der Aussage die Mittelpunkte eines Vierecks angegeben sind.

Um dies zu demonstrieren, sind die Mittelpunkte PQSR vereinigt, so dass ersichtlich ist, dass ein anderes Viereck gebildet wird. Um zu zeigen, dass es sich um ein Parallelogramm handelt, müssen Sie nur eine gerade Linie von Punkt C nach Punkt A zeichnen, damit Sie sehen, dass CA parallel zu PQ und RS ist.

In ähnlicher Weise kann man durch Erweiterung der PQRS-Seiten feststellen, dass PQ und RS parallel sind, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Übung 2

Es hat ein Rechteck, so dass die Längen aller seiner Seiten gleich sind. Wenn die Mittelpunkte dieser Seiten verbunden werden, wird ein Rhombus ABCD gebildet, der durch zwei Diagonalen AC = 7 cm und BD = 10 cm geteilt wird, die mit den Messungen der Seiten des Rechtecks ​​übereinstimmen. Bestimmen Sie die Diamant- und Rechteckflächen.

Lösung

Wenn Sie daran denken, dass die Fläche des resultierenden Parallelogramms die Hälfte des Vierecks ist, können Sie die Fläche dieser Quadrate bestimmen, wobei Sie wissen, dass das Maß der Diagonalen mit den Seiten des Rechtecks ​​übereinstimmt. Also musst du:

AB = D

CD = d

ARechteck = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

ARaute = A Rechteck / 2

ARaute = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Übung 3

Wir haben in der Figur ein Viereck, das die Vereinigung der Punkte EFGH hat, die Längen der Segmente sind angegeben. Bestimmen Sie, ob die Vereinigung von EFGH ein Parallelogramm ist.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

Lösung

Als die Längen der Segmente gegeben, kann es überprüft, ob die Proportionalität zwischen den Segmenten werden; das heißt, kann man sagen, wenn diese parallel Vierecks Verbindungssegmente sind wie folgt:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Dann wird die Proportionalität überprüft, da:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

In ähnlicher Weise durch eine Linie von Punkt B Punkt D Zeichnung kann gesehen werden, dass EH parallel zu BD ist und BD ist parallel zu FG. Auf der anderen Seite ist EF parallel zu GH.

Somit kann bestimmt werden, dass EFGH ein Parallelogramm ist, weil die gegenüberliegenden Seiten parallel sind.

Referenzen

  1. Andres, T. (2010). Mathematische Olympiade Tresure. Springer. New York
  2. Barbosa, J. L. (2006). Flache euklidische Geometrie. SBM. Rio de Janeiro.
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  4. Ramo, G. P. (1998). Unbekannte Lösungen für die Probleme von Fermat-Torricelli. ISBN - Unabhängige Arbeit.
  5. Vera, F. (1943). Elemente der Geometrie Bogotá
  6. Villiers, M. (1996). Einige Abenteuer in der Euklidischen Geometrie. Südafrika