Binomialsatz Demonstration und Beispiele

Die Binomialsatz ist eine Gleichung, die uns sagt, wie man einen Ausdruck der Form (a + b) entwickeltⁿ für eine natürliche Zahl n. Ein Binom ist nichts weiter als die Summe zweier Elemente, wie (a + b). Es erlaubt uns auch, für einen Ausdruck zu wissen, der von einem gegeben wird^kb^n-k Was ist der Koeffizient, der es begleitet?

Dieser Satz wird allgemein dem englischen Erfinder, Physiker und Mathematiker Sir Isaac Newton zugeschrieben; Es wurden jedoch mehrere Aufzeichnungen gefunden, die darauf hinweisen, dass ihre Existenz im Nahen Osten bereits um das Jahr 1000 bekannt war.

Index

• 1 kombinatorische Zahlen
• 2 Demonstration
• 3 Beispiele
  • 3.1 Identität 1
  • 3.2 Identität 2
• 4 Eine weitere Demonstration
  • 4.1 Demonstration durch Induktion
• 5 Kuriositäten
• 6 Referenzen

Kombinatorische Zahlen

Der Binomialsatz sagt uns mathematisch folgendes:

In diesem Ausdruck sind a und b reelle Zahlen und n ist eine natürliche Zahl.

Bevor wir die Demonstration geben, sehen wir uns einige grundlegende Konzepte an, die notwendig sind.

Die kombinatorische Anzahl oder Kombinationen von n in k werden wie folgt ausgedrückt:

Diese Form drückt den Wert aus, wie viele Teilmengen mit k Elementen aus einer Menge von n Elementen ausgewählt werden können. Sein algebraischer Ausdruck ist gegeben durch:

Lassen Sie uns ein Beispiel sehen: Nehmen wir an, wir haben eine Gruppe von sieben Bällen, von denen zwei rot sind und der Rest blau ist.

Wir möchten wissen, auf wie viele Arten wir sie nacheinander bestellen können. Ein Weg könnte sein, die zwei Rottöne in die erste und zweite Position und den Rest der Bälle in die verbleibenden Positionen zu bringen.

Ähnlich wie im vorherigen Fall könnten wir den roten Kugeln die erste und letzte Position geben und die anderen mit blauen Kugeln belegen.

Nun ist es eine effektive Art zu sagen, wie viele Arten wir die Bälle in einer Reihe ordnen können, indem wir die kombinatorischen Zahlen verwenden. Wir können jede Position als ein Element der folgenden Menge sehen:

Als nächstes ist es nur notwendig, eine Teilmenge von zwei Elementen zu wählen, wobei jedes dieser Elemente die Position darstellt, die die roten Kugeln einnehmen werden. Wir können diese Wahl treffen nach der Beziehung gegeben durch:

Auf diese Weise haben wir 21 Möglichkeiten, solche Bälle zu sortieren.

Die allgemeine Idee dieses Beispiels wird für die Demonstration des Binomialsatzes sehr nützlich sein. Betrachten wir einen bestimmten Fall: Wenn n = 4 ist, haben wir (a + b)⁴Das ist nichts mehr als:

Wenn wir dieses Produkt entwickeln, haben wir die Summe der Terme, die durch Multiplizieren eines Elements von jedem der vier Faktoren (a + b) erhalten werden. So werden wir Begriffe haben, die die Form haben werden:

Wenn wir den Ausdruck des Formulars bekommen wollten⁴, multipliziere einfach wie folgt:

Beachten Sie, dass es nur eine Möglichkeit gibt, dieses Element zu erhalten. aber was, wenn wir jetzt nach dem Ausdruck der Form suchen²b²? Da "a" und "b" reelle Zahlen sind und daher das Kommutativgesetz gültig ist, haben wir eine Möglichkeit, diesen Ausdruck zu erhalten, indem wir uns mit den Gliedern multiplizieren, wie durch die Pfeile angezeigt.

Die Ausführung all dieser Operationen ist normalerweise etwas mühsam, aber wenn wir den Begriff "a" als eine Kombination sehen, in der wir wissen wollen, wie viele Möglichkeiten wir zwei "a" aus einer Menge von vier Faktoren wählen können, können wir die Idee des vorherigen Beispiels verwenden. Also, wir haben folgendes:

So wissen wir, dass in der endgültigen Entwicklung des Ausdrucks (a + b)⁴ wir werden genau 6a haben²b². Wenn Sie dieselbe Idee für die anderen Elemente verwenden, müssen Sie:

Dann fügen wir die zuvor erhaltenen Ausdrücke hinzu und wir müssen:

Es ist eine formale Demonstration für den allgemeinen Fall, in dem "n" irgendeine natürliche Zahl ist.

Demonstration

Beachten Sie, dass die Begriffe, die beim Entwickeln bleiben (a + b)ⁿ sind von der Form zu^kb^n-k, wobei k = 0,1, ..., n. Mit der Idee des vorherigen Beispiels haben wir die Möglichkeit, "k" Variablen "a" aus den "n" Faktoren zu wählen:

Indem wir auf diese Weise wählen, wählen wir automatisch n-k Variablen "b". Daraus folgt, dass:

Beispiele

Betrachtet man (a + b)⁵Was wäre seine Entwicklung?

Nach dem Binomialsatz müssen wir:

Das binomische Theorem ist sehr nützlich, wenn wir einen Ausdruck haben, in dem wir wissen wollen, was der Koeffizient eines bestimmten Begriffs ist, ohne die volle Entwicklung durchführen zu müssen. Als ein Beispiel können wir die folgende Frage annehmen: Was ist der Koeffizient von x?⁷und⁹ in der Entwicklung von (x + y)¹⁶?

Nach dem Binomialsatz haben wir, dass der Koeffizient ist:

Ein anderes Beispiel wäre: Was ist der Koeffizient von x?⁵und⁸ in der Entwicklung von (3x-7y)¹³?

Zuerst schreiben wir den Ausdruck auf eine bequeme Weise um; das ist:

Dann haben wir mit dem Binomialsatz, dass der gesuchte Koeffizient ist, wenn wir k = 5 haben

Ein anderes Beispiel für die Verwendung dieses Theorems ist die Demonstration einiger gemeinsamer Identitäten, wie die unten erwähnten.

Identität 1

Wenn "n" eine natürliche Zahl ist, müssen wir:

Für die Demonstration verwenden wir den Binomialsatz, wobei sowohl "a" als auch "b" den Wert 1 annehmen.Dann sind wir gegangen:

Auf diese Weise haben wir die erste Identität bewiesen.

Identität 2

Wenn "n" eine natürliche Zahl ist, dann

Nach dem Binomialsatz müssen wir:

Eine weitere Demonstration

Wir können eine andere Demonstration für den Binomialsatz unter Verwendung der induktiven Methode und der Pascal-Identität machen, die uns sagt, dass, wenn "n" und "k" positive ganze Zahlen sind, die n ≥ k erfüllen, dann:

Demonstration durch Induktion

Zuerst sehen wir, dass die induktive Basis erfüllt ist. Wenn n = 1, müssen wir:

Wirklich sehen wir, dass es erfüllt ist. Nun, n = j so, dass es erfüllt ist:

Wir wollen sehen, dass für n = j + 1 erfüllt ist, dass:

Also müssen wir:

Nach der Hypothese wissen wir:

Dann mit der distributiven Eigenschaft:

Anschließend entwickeln wir jede der Summierungen:

Wenn wir uns nun auf eine bequeme Art und Weise zusammenschließen, müssen wir:

Mit der Identität von Pascal müssen wir:

Beachten Sie schließlich Folgendes:

Wir sehen also, dass der Binomialsatz für alle zur natürlichen Zahl gehörenden "n" erfüllt ist, und damit endet der Test.

Kuriositäten

Die kombinatorische Zahl (nk) wird auch Binomialkoeffizient genannt, weil genau der Koeffizient in der Entwicklung des Binoms (a + b) erscheintⁿ.

Isaac Newton gab eine Verallgemeinerung dieses Satzes für den Fall, in dem der Exponent eine reelle Zahl ist; Dieser Satz ist bekannt als der Binomialsatz von Newton.

In der Antike war dieses Ergebnis für den besonderen Fall bekannt, in dem n = 2 ist. Dieser Fall wird in der Elemente von Euklid

Referenzen

1. Johnsonbaugh Richard. Diskrete Mathematik PHH
2. Kenneth.H. Rosen, Diskrete Mathematik und ihre Anwendungen. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschütz Ph.D & Marc Lipson. Diskrete Mathematik. McGRAW-HÜGEL.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskrete und Kombinierende Mathematik. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Diskrete Mathematik und Combinatoria.Anthropos