Akutwinkel-Dreiecksmerkmale und -typen

Die Dreiecke Dreiecke sind diejenigen, deren drei innere Winkel spitze Winkel sind; Das heißt, die Messung jedes dieser Winkel beträgt weniger als 90 Grad. Da wir keinen rechten Winkel haben, haben wir den Satz des Pythagoras für diese geometrische Figur nicht erfüllt.

Wenn wir also irgendeine Art von Information auf einer ihrer Seiten oder Winkel haben wollen, ist es notwendig, andere Sätze zu verwenden, die es uns ermöglichen, auf diese Daten zuzugreifen. Die, die wir verwenden können, sind das Sinus-Theorem und das Kosinussatz.

Index

• 1 Eigenschaften
  • 1.1 Satz des Sinus
  • 1.2 Kosinussatz
• 2 Arten
  • 2.1 Gleichseitige dreieckige Dreiecke
  • 2.2 Isozelen akute Dreiecke
  • 2.3 Scale acután Dreiecke
• 3 Auflösung von spitzen Dreiecken
  • 3.1 Beispiel 1
  • 3.2 Beispiel 2
• 4 Referenzen

Eigenschaften

Unter den Eigenschaften dieser geometrischen Figur können wir diejenigen hervorheben, die durch die einfache Tatsache, ein Dreieck zu sein, gegeben sind. Unter diesen müssen wir:

- Ein Dreieck ist ein Polygon mit drei Seiten und drei Winkeln.

- Die Summe seiner drei inneren Winkel ist gleich 180 °.

- Die Summe zweier Seiten ist immer größer als die dritte.

Als Beispiel sehen wir das folgende Dreieck ABC. Im Allgemeinen identifizieren wir ihre Seiten mit Kleinbuchstaben und ihre Winkel mit Großbuchstaben, so dass eine Seite und ihr gegenüberliegender Winkel den gleichen Buchstaben haben.

Für die bereits angegebenen Eigenschaften wissen wir:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b und b + c> a

Das Hauptmerkmal, das diese Art von Dreieck vom Rest unterscheidet, ist, dass, wie bereits erwähnt, seine Innenwinkel scharf sind; das heißt, die Messung jedes ihrer Winkel ist weniger als 90 °.

Die Dreiecke acutángulos, zusammen mit Dreiecken obtusángulos (diejenigen, in denen einer seiner Winkel ein Maß größer als 90 ° hat), sind ein Teil des Satzes der Dreiecke schräg. Dieser Satz besteht aus Dreiecken, die keine Rechtecke sind.

Um schräge Dreiecke zu bilden, müssen wir den Sinus-Satz und den Kosinus-Satz verwenden, um Probleme mit spitzen Dreiecken zu lösen.

Sinus-Theorem

Der Brustsatz besagt, dass das Verhältnis einer Seite zum Sinus des entgegengesetzten Winkels gleich dem doppelten Radius des Kreises ist, der durch die drei Ecken dieses Dreiecks gebildet wird. Das ist:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Kosinussatz

Auf der anderen Seite gibt uns das Kosinussatz diese drei Gleichheiten für jedes ABC-Dreieck:

a²= b² + c² -2bc * cos (A)

b²= a² + c² -2ac * cos (B)

c²= a² + b² -2ab * cos (C)

Diese Sätze werden auch als das Gesetz des Sinus bzw. das Gesetz des Kosinus bezeichnet.

Ein weiteres Merkmal der Dreiecke ist, dass zwei davon gleich sind, wenn sie eines der folgenden Kriterien erfüllen:

- Wenn sie alle drei Seiten gleich haben.

- Wenn sie eine Seite und zwei Winkel zueinander haben.

- Wenn sie zwei Seiten und einen gleichen Winkel haben.

Typen

Wir können sie mit Dreiecken basierend auf ihren Seiten klassifizieren. Diese können sein:

Dreiecke mit gleichseitigen Dreiecken

Sie sind die Dreiecke acutángulos, die alle ihre gleichen Seiten haben und daher haben alle ihre inneren Winkel den gleichen Wert, der A = B = C = 60 Grad ist.

Als Beispiel nehmen wir das folgende Dreieck, dessen Seiten a, b und c den Wert 4 haben.

Isozelen akute Dreiecke

Diese Dreiecke haben nicht nur spitzwinklige innere Winkel, sondern haben auch die Eigenschaft, zwei ihrer Seiten gleich und die dritte, die allgemein als Basis genommen wird, verschieden zu machen.

Ein Beispiel für diese Art von Dreiecken kann eines sein, dessen Basis 3 ist und dessen andere zwei Seiten einen Wert von 5 haben. Mit diesen Maßen würden die entgegengesetzten Winkel zu den gleichen Seiten mit dem Wert von 72,55 ° und dem entgegengesetzten Winkel von die Basis wäre 34,9 °.

Scale acutángulos Dreiecke

Dies sind die Dreiecke, die alle ihre zwei oder zwei Seiten haben. Daher sind alle seine Winkel, abgesehen davon, dass sie weniger als 90 ° betragen, zwei oder zwei verschieden.

Das Dreieck DEF (dessen Maße d = 4, e = 5 und f = 6 sind und seine Winkel D = 41,41 °, E = 55,79 ° und F = 82,8 °) ist ein gutes Beispiel für ein spitzwinkliges Dreieck Scalene

Auflösung von spitzen Dreiecken

Wie bereits erwähnt, ist zur Lösung von Problemen mit spitzen Dreiecken die Verwendung der Sätze von Sinus und Kosinus notwendig.

Beispiel 1

Bei einem Dreieck ABC mit den Winkeln A = 30 °, B = 70 ° und der Seite a = 5 cm wollen wir den Wert des Winkels C und der Seiten b und c kennen.

Als erstes verwenden wir die Tatsache, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180 ° beträgt, um den Wert des Winkels C zu erhalten.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Wir klären C und wir sind gegangen:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Wie wir bereits die drei Winkel und die eine Seite kennen, können wir den Sinus-Satz verwenden, um den Wert der verbleibenden Seiten zu bestimmen. Nach dem Satz müssen wir:

a / sin (A) = b / sin (B) und a / sin (A) = c / (sin (C)

Wir klären b von der Gleichung und wir müssen:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9.4

Jetzt müssen wir nur den Wert von c berechnen. Wir gehen analog wie im vorherigen Fall vor:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84

So erhalten wir alle Daten des Dreiecks. Wie wir sehen können, fällt dieses Dreieck in die Kategorie des spitzen Dreiecks.

Beispiel 2

Bei einem Dreieck DEF mit den Seiten d = 4 cm, e = 5 cm und f = 6 cm wollen wir den Wert der Winkel des Dreiecks kennen.

Für diesen Fall werden wir das Kosinusgesetz verwenden, das uns sagt:

d²= e² + f² - 2efcos (D)

Aus dieser Gleichung können wir cos (D) ableiten, was uns folgendes ergibt:

Cos (D) = ((4)² - (5)² -(6)²)/(-2*5*6) =0.75

Von hier haben wir das D 41,41 °

Mit dem Satz des Senoms haben wir folgende Gleichung:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Clearing sin (E), wir müssen:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 · 0,66) / 4 ≈ 0,827

Von hier haben wir das 55,79 °

Wenn wir schließlich die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks als 180 ° betrachten, haben wir F≈82,8 °.

Referenzen

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie (Reprint ed.). Fortschritt
2. Leake, D. (2006). Dreiecke (illustriert ed.). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel (2003). Metrische Geometrie plana.CODEPRE
4. Ruiz, Á., Und Barrantes, H. (2006). Geometrien CR-Technologie
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometrie und analytische Geometrie. Pearson Ausbildung.